指数函数与对数函数(讲义及答案)

指数函数与对数函数（讲义） 知识点睛
1.指数函数及对数函数的图象和性质：
指数函数x
y a=对数函数log a
y x
=
图象
定义域R(0，+∞)
值域(0，+∞)R
性质
过定点(0，1)过定点(1，0)
01
a<<时，在R上是减
函数；
1
a>时，在R上是增函
数；
01
a<<时，在(0，+∞)上是减
函数；
1
a>时，在(0，+∞)上是增函
数
2.利用指数函数、对数函数比大小
（1）同底指数函数，利用单调性比较大小；
（2）异底指数函数比大小，可采用化同底、商比法、取中间值、图解法；
（3）同底数对数函数比大小，直接利用单调性求解；若底数为字母，需分类讨论；
（4）异底数对数函数比大小，可化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，0，1），或借助图象高低数形结合．
3.换底公式及常用变形：
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）
1
log
log
a
b
b
a
=（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1）
log log
m
n
a
a
n
b b
m
=（a>0，且a≠1；b>0，且b≠1）
log
a
b
a b=（a>0，且a≠1；b>0）
精讲精练
1.若a ，b ，c ∈R +，则3a =4b =6c ，则（
）A ．b
a c 111+=B ．
b a
c 122+=C ．b a c 221+=D ．b a c 212+=2.计算：
（1）若集合{lg()}{0||}x xy xy x y =，，
，，，则228log ()x y +=_________；
（2）设0()ln 0x e x g x x x ⎧=⎨>⎩≤（），（）则1(())2g g =_____________；（3）若2(3)6()log 6f x x f x x x +<⎧=⎨⎩≥（）（）
，则)1(-f 的值为________．
3.（1）函数22()log (1)f x x x =+-是_______函数（奇或偶）；
（2）设函数()1x
x a e f x ae
-=+（a 为常数）在定义域上是奇函数，则a =__________．
4.下列大小关系正确的是（
）A ．3
log 34.044.03<<B ．4.03434.03log <<C ．4.04333log 4.0<<D ．34.044.033log <<5.设a =3log 2，b =ln2，c =125
-，则（）A ．a <b <c B ．b <c <a
C ．c <a <b
D ．c <b <a
6.已知定义在R 上的函数()2
1x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.52(log 3)(log 5)(2)a f b f c f m ===，，，则a ，b ，c 的大小关系为（
）A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．c <b <a
7.（1）已知函数22()lg (1)(1)1f x a x a x ⎡⎤=-+++⎣⎦．若()f x 的定
义域为R ，则实数a 的取值范围是__________；
（2）若函数26()3log 2a x x f x x x -+⎧=⎨+>⎩≤（）（）
（0a >，且1a ≠）的值域是[4)+∞，
，则实数a 的取值范围是__________；（3）函数20.5()log (3)f x x ax a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．
8.已知函数221()log [(1)]4
f x ax a x =+-+．（1）若定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________；
（2）若值域为R ，则实数a 的取值范围是__________．
9.已知函数30()20x x a x f x a x --<⎧=⎨-⎩
≥（）（）（0a >且1a ≠）是R 上的减函数，则a 的取值范围是（
）A ．2(0]3，B ．1(0]3，C ．(01)，D ．(02]
，10.若函数5(3)41()log 1a
a x a x f x x x --⎧=⎨>⎩≤（）（）是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（
）A ．3[3)5，B ．3[1)5，C ．1(3)5，D ．1(1)5
，11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调
递增．若实数a 满足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是___________．
12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单
调递增．若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 的
取值范围是___________．
13.已知定义在R 上的函数2()ln(1)||f x x x =++，若
(21)(1)f x f x ->+，则x 的取值范围是___________．14.已知函数2()||f x x x =-，若3(log (1))(2)f m f +<，则实数m
的取值范围是____________________．
15.已知函数()ln()10x x f x a b a b =->>>（）
．（1）求函数f (x )的定义域I ；
（2）判断函数f (x )在定义域I 上的单调性，并说明理由；
（3）当a ，b 满足什么关系时，()f x 在[1)+∞，
上恒取正值．16.已知函数1()11
x x a f x a a -=>+（）．（1）判断f (x )奇偶性；
（2）求函数f (x )的值域；
（3）证明f (x )是区间()-∞+∞，上的增函数．
【参考答案】
1.B
2.（1）13；（2）13
；（3）3．3.（1）奇；（2）1
±4.C
5.C
6.C
7.（1）5(1]()3
-∞-+∞ ，，；（2）(1，2]；（3）(0][12)
-∞+∞ ，，8.（1）3535(
)22-+，；（2）3535[0][)22
-++∞ ，，9.B
10.A 11.13()22，12.1[2]2
，13.(0)(2)
-∞+∞ ，，14.8(8)9-，15.（1）(0)+∞，；（2）单调递增；（3）1
a b ->16.（1）奇函数；（2）(-1，1)；（3）略．。