2 二次函数的图象与性质(2)

倍 速 2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). 课 (2)最值不同:分别是c和0. 时 3.联系: y=ax²+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的图象沿y轴整体平移 学 |c|个单位得到的.(当c>0时向上平移;当c<0时,向下平移). 练
习题
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一想,如果需
二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2
y 3x 2 1
二次函数y=3x2+1的 图象形状与y=3x2 一样,仍是抛物线. 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
y 3x 2 1
y 3x2
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位置不同; 最大值不同 分别是1和0
二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?
…
18
8
2
0
2
8
18
…
(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象．
(3)二次函数y=2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线.
y x2
y 2x2
只是开口 大小不同.
的性质
1.抛物线y=ax2的 顶点是原点,对称 轴是y轴. 3.当a>0时,在对称轴 的左侧,y随着x的增大 而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增 大.当x=0时函数y的值 最小.当a<0时，在对 称轴的左侧,y随着x的 增大而增大；在对称 轴的右侧,y随着x增大 而减小,当x=0时,函数 y的值最大.
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二次函数y=2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2+1的 图象形状与y=2x2 一样,仍是抛物线.
y 2x2 1
y 2x2
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
1．二次函数y=-3x2和y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗
1 2 1 2 要,作草图看一看.二次函数y x 和 y x 呢? 2 2
2
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1 2．二次函数 y 3x 和y=3x2 的图象有什么关系?它是轴对称 2 图形吗? 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?先想一
位置不同 最小值不同 分别是1和
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二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1和 y=-2x2的图象,会是什么样?
二次函数y=-2x2+1的图象
y y 2 x 1
2
是什么形状?它与二次函数 y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
顶点都是 原点(0,0).
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二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=2x2的图象,会是什么样?
(4)二次函数y=-2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y ax
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=ax2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴 倍 速 课 时 学 练
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
y轴
想,如果需要,作草图看一看.
1 2 1 2 二次函数y x 3 和y x 呢? 2 2
北师大版 九年级（下）
2
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二次函数的图象与性质（2）
做一做
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象． (1)完成下表：
x … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …
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y=x2 y=2x2

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2.当a>0时， 物线y=ax2在 轴的上方(除 点外),它的开 口向上,并且 上无限伸展 当a<0时,抛物 线y=ax2在x轴 的下方(除顶 外),它的开口 向下,并且向 无限伸展.
4. a 越大,开口越小, a 越小,开口越大.
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
议一义
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² -1的图象与二次 函数y=3x² 的图象. 二次函数y=3x² 一l的图象与二次函数y=3x² 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 倍 和顶点坐标分别是什么?
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二次函数y=3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=0时,最小值为c.
当x=0时,最大值为c.
小结
拓展
二次函数y=ax² +c与=ax² 的关系
1.相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减小,在y轴右侧,y 都随 x的增大而增大. a<0时,开口向下,在y轴左侧,y都随x的增大 而增大,在y轴右侧,y都随 x的增大而减小 .
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位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1
二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.
二次函数y=ax2+c的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
y ax2 c
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 y=ax2 +c(a>0) y=ax2 +c(a<0) （0，c） y轴 向下
y ax
顶点坐标
倍 速 课 时 学 练 对称轴 位置 开口方向
（0，c） y轴
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限) 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
二次函数y=-2x2的 图象形状与y=-x2 一样,仍是抛物线.
y x
2
y 2 x 2
顶点都是 原点(0,0).
只是开口 大小不同
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二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.
请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.
二次函数y=ax2
y ax2
二次函数y=-2x2+1的 图象形状与y=-2x2 一样,仍是抛物线.
y 2 x 2
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).
位置不同; 最大值不同 分别是1和0
倍 速 课 时 学 练
二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.
想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?
向下
位置
开口方向 增减性 最值
开口大小
在x轴的下方( 除顶点外)
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
议一义
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=2x² +1的图象与二次 函数y=2x² 的图象. 二次函数y=2x² +1的图象与二次函数y=2x² 的图象有什 么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 倍 和顶点坐标分别是什么?作图看一看．