重庆市巴蜀中学2021-2022学年高一下学期3月月考数学试题含解析

重庆巴蜀中学2021-2022高一下学期月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥
，则m =（
）A.-6
B.6
C.
83
D.-2
2.在△ABC 中，sin 455
A AC
B ==∠= ，则B
C =（）
A. B.
C. D.
3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ；若()
sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（
）
A.30°
B.60︒
C.120︒
D.150︒
4.已知()4,1,0a b ==- ，且()
2a b b +⊥ ，则a 与b
的夹角为（
）
A.30°
B.60︒
C.120︒
D.150︒
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos cos cos +=B a C c A b ，
1
lg sin lg 3lg 22
C =
-，则△ABC 的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
6.已知1tan 43
πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则2
sin 22cos 1αα+-=()
A.1
B.
15
C.15
-
D.
5
7.已知πsin α123⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（）
A.
3 B.3
-
C.
13 D.1
3
-
8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅=
（）
A.-6
B.-8
C.-9
D.-12
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）
A.若//,//a b b c
，则//
a c
B.若a b = ，则23a b
<
C.对任意非零向量a
，a a
是和它共线的一个单位向量D.零向量没有方向
10.在△ABC 中，下列说法正确的是（
）
A.若2sin a b A =，则6
B π=
B.若A B >，则sin sin A B
>
C.45AB B ∠︒==
，若AC =
，则这样的三角形有两个
D.若222b c a +>，则△ABG 为锐角三角形11.下列说法正确的是（
）
A.在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263
DE AC AB
=-
B.已知非零向量AB 与AC
满足()0AB AC BC AB AC
+⋅=
，则△ABC 是等腰三角形C.已知(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b
的夹角是钝角，则2
λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且3BE EC =，点F 是CD 中点，则8
AE BF ⋅=
12.已知函数(
)()2
cos ωcosωω0f x x x x =+
>，，则下列说法正确的有（
）
A.若1ω2=
，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z
⎛
⎫-∈ ⎪⎝
⎭B.若f （x ）向左平移
6
π
个单位后，关于y 轴对称则ω的最小值为1C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则ω的取值范围是（32，116
]D.已知f （x ）在[
3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[1
2-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3
π
]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()()3,40,1a b ==-
，，则a 在b 上的投影向量是___________.
14.
2sin 35cos5sin 5
-
=________.15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为 1.5CD EF ==米，则季子
坝站站台F 的高度AB 为___________米.
16.在 ABC 中，AB a AC b ==
，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于
点F ，G 是 ABC 的重心，则GF =___________（用a b
，表示）
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量()()()
2,1,3,4,1,2a b c =-=-=
（1）若c a b λμ=+
，求实数λ，u 的值；
（2）若()
//ma b c + ，求mb c + 与a
夹角的余弦值.
18.在①sin sin sin B C b a A b c +-=-；②cos cos 2C c
B a b
=-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以
解答.
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.
（1）求角C ；
（2）若8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足37
AD AB =
，求线段CD 的长度
19.已知()32
cosαsin αβ5
2
=-=
，，
,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的值：（2）求()sin βa +的值.
20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），其中901ACB CPB AB CH AB ∠∠===⊥ ，，，设
πα0,3CBA ∠⎛⎫=∈ ⎪
⎝⎭
，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，
CA PB +达到最大值，最大值为多少？
（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，最大值为多少？
21.已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223a c b b
a c
b ⎧+=-⎨-=--⎩
，求()f C 的值.
22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =
且
222223a c b cosA bc AD ⎛⎫
+-=-= ⎪⎝⎭
，（1）求△ABC 的面积；
（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，
求AG EF ⋅
的最小值.
高2024届高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知()()2,3,,4a b m == ，若a b ⊥
，则m =（
）
A.-6
B.6
C.
83
D.
-2
【1题答案】【答案】A 【解析】
【分析】由a
b ⊥
，得0a b ⋅= ，列方程可求出m 的值【详解】因为(2,3),(,4),a
b m a b ==⊥
，
所以
2120a b m ⋅=+=
，解得6m =-，故选：A
2.在△ABC
中，sin
455
A AC
B =
=∠= ，则BC =（）
A.
B.
C.
D.
【2题答案】【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理直接计算即可.
【详解】由正弦定理知，
sin sin BC AC
A B
=
,sin sin 2
AC A
BC B
∴=
=
，故选：D 3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c
；若
()
sin sin sin a A b B A c C +=，则C =（
）
A.
30°
B.
60︒ C.
120︒
D.
150︒
【3题答案】【答案】D 【解析】
【分析】利用正弦定理将已知式转化为边的形式，然后再利用余弦定理可求得结果
【详解】因为sin (sin )sin a A b B A c C +=，
所以由正弦定理得2
2
()a b b c
++=，
化简得2
22a b c +-=，
所以由余弦定理得
222cos 222
a b c C ab ab +-===-
，因为(0,)C π∈，所以56
C
π=
，即
150C =︒故选：D
4.已知
()4,1,0a b ==- ，且()
2a b b +⊥ ，则a 与b
的夹角为（
）
A.
30°
B.
60︒
C.
120︒
D.
150︒
【4题答案】【答案】C 【解析】
【分析】由
(
)2a b b +⊥
，得()
20a b b +⋅= ，化简可得两向量的夹角
【详解】由(1,0)b =-
，得1b = ，
因为
(
)2a b b +⊥
，所以()
20a b b +⋅= ，
所以
2
20a b b ⋅+= ，
所以
2
cos ,20a b a b b
+= ，
因为
4a =
，
所以4cos ,20a b += ，所以1
cos ,2
a b =- ，
因为,[0,]a b π∈ ，所以2,3
a b π= ，即,120a b =︒ 故选：C
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知
()2cos cos cos +=B a C c A b ，1
lg sin lg 3lg 22
C =-，则△ABC
的形状为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
【5题答案】【答案】C 【解析】
【分析】结合
()2cos cos cos +=B a C c A b ，根据正弦定理边化角和三角恒等变换可求角B ；根据1
lg sin lg 3lg 22
C =-即可
求出C ，由此可判断三角形的形状.【详解】∵()2cos acos ccos B
C A b +=，
∴根据正弦定理得，()2cos sin cos cos sin sin B
A C A C
B +=，
()2cos sin sin +=B A C B ，
()2cos sin sin B B B π-=，
2cos sin sin B B B ⋅=，
()0,,sin 0B B π∈∴≠ ，1cos 2B ∴=
，3
B π∴=；
∵1lg sin lg 3lg 22C =
-，∴lg sin lg 2
C =，∴sin 2C =，()0,C π∈ ，3C π∴=
或23π，2,,333
B C C πππ
=∴≠∴= ，3
A B C π∴===
，∴△ABC 为等边三角形.
故选：C.
6.已知1tan 43πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭，则2sin 22cos 1αα+-=(
)
A.1
B.
1
5
C.
15
-
D.
5
【6题答案】【答案】B 【解析】
【分析】根据
1tan 43πα⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭，结合正切的差角公式求出tan α，
222222
22sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααα
αααα
αααα++-+-++=-=
，代值计算即可.
【详解】tan 11tan 3tan 31tan tan 2
41tan 3παααααα-⎛
⎫-==⇒-=+⇒=
⎪+⎝⎭
，
2222222
2sin cos cos 2tan 1tan s 2sin s t i in 1n 2cos a 1s n co ααα
αααα
αααα++-+-++=-=＝2
222121125
⨯+-=
+.故选：B.
7.已知πsin
α123⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则πsin 2α3⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）
A.
3
B.
3
-
C.
13
D.
13
-
【7题答案】【答案】C 【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式可得1
cos(2
)63
πα-=，利用诱导公式二、五可得
sin(2cos(236
ππ
αα+=-，进而得出结果.
【详解】因为sin(
123
πα-
=，
所以21cos(2cos[2()]12sin ()612123πππααα-=-=--=，
所以1
sin(2)cos[(2)]cos(2)]cos(2323663
πππππαααα+=-+=-=-=.
故选：C
8.在△ABC 中，24CA CB ==，F 为△ABC 的外心，则CF AB ⋅= （
）
A.-6
B.-8
C.-9
D.-12
【8题答案】【答案】A 【解析】
【分析】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA
CFB βα
∠=∠=.由余弦定理得到
22cos 2r r α=-，和22
cos 8r r β=-.把
CF AB ⋅ 整理为CF AB ⋅ 22
cos cos r r βα=-，整体代入即可.
【详解】设△ABC 的外接圆半径为r ，,CFA
CFB βα
∠=∠=
.
由余弦定理得：
2222cos BC BF CF BF CF α
=+- ，即222cos r r α=-,所以22cos 2
r r α=-2222cos AC AF CF AF CF β=+- ，即228
cos r r β=-.所以2
2cos 8r
r β=-.
所以()
CF AB CF AF FB
+⋅=⋅
CF AF CF FB
=+⋅⋅ 22cos cos cos cos r FC FA FC FB FC FA FC F r B βαβα
=⋅⋅⋅⋅-=-=-
因为2
2cos 2r r α=-，22
cos 8r r β=-，
所以()
2222
cos cos 826CF AB r r r r βα⋅=-=---=- .
故选：A
【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法错误的是（）
A.若//,//a b b c
，则
// a c
B.若a
b
=
，则23a
b
<
C.对任意非零向量a
，
a a
是和它共线的一个单位向量 D.零向量没有方向
【9题答案】【答案】ABD 【解析】
【分析】对于A ，举例判断即可，对于B ，向量不能比较大小，对于C ，由单位向量的定义判断，对于D ，由向量的定义判断【详解】对于A ，当0b
=
时，满足//,//a b b c
，而a 与c 不一定共线，所以A 错误，
对于B ，因为向量是有方向和大小的量，所以向量不能比较大小，所以B 错误，
对于C ，因为a
是非零向量，所以
a a
是和它共线的一个单位向量，所以C 正确，
对于D ，因为向量是有方向和大小的量，所以零向量是有方向的，它的方向是任意的，所以D 错误，故选：ABD
10.在△ABC 中，下列说法正确的是（
）
A.若
2sin a b A =，则6
B π=
B.
若A B >，则sin sin A B >
C.
45AB B ∠︒==
，若AC =，则这样的三角形有两个
D.若2
22b c a +>，则△ABG 为锐角三角形
【10题答案】【答案】BC 【解析】
【分析】由正弦定理对选项ABC 进行变形求解，由余弦定理判断D ．
【详解】选项A ，
2sin a b A =由正弦定理得sin 2sin sin A B A =，三角形中sin 0A ≠，所以1
sin 2
B =
，而(0,)B π∈，所以
6B π
=
或56
B π=，A 错；选项B ，
△ABC 中，sin sin a b
A B
=
，所以sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，B 正确；选项C ，由于sin sin AB AC
C B
=
，sin 3C π
=，又
AC AB <，所以C B >，C 角可能为锐角也可能为钝角，三角
形有两解，C 正确；选项D ，2
22b c a +>，由余弦定理得cos 0A >，A 为锐角，但,B C 两个角大小不确定，不能得出其为锐角三角形，D 错．故选：BC ．
11.下列说法正确的是（
）
A.
在△ABC 中，12BD DC = ，E 为AC 的中点，则1263
DE AC AB
=-
B.
已知非零向量AB 与AC
满足()0AB AC BC AB AC
+⋅=
，则△ABC 是等腰三角形
C.已知
(1,2),(,1)a b λ=-= ，若a 与b
的夹角是钝角，则2
λ<D.在边长为4的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且
3BE EC
=，点F 是CD 中点，则
8
AE BF ⋅=
【11题答案】【答案】AB 【解析】
【分析】对于A ，利用平面向量基本定理根据题意将DE
用
AB ，AC
表示出来再判断，对于B ，由向量的加法法则判断，对于C ，由题意可知，
a b ⋅<
，且两向量不共线，从而可求出λ的范围，对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，表示,AE BF ，然后利用数量积的万物复苏示运算求解
【详解】对于A ，因为△ABC 中，12
BD DC =
，E 为AC 的中点，
所以2132
DE DC CE BC CA
=+=+ 21()32
AC AB AC =--
1263
AC AB =-
,所以A 正确，对于B ，因为AB 与AC
是非零向量，所以AB AC AB AC
+
所在的直线平分BAC ∠，
因为()0AB AC BC AB AC
+⋅=
，所以)AC
BC AC +⊥
，所以△ABC 是等腰三角形，所以B 正确，对于C ，因为a 与b
的夹角是钝角，所以
0a b ⋅< ，且两向量不共线，由0a b ⋅< ，得20λ-<，得2λ<，当a 与b 共线时，112
λ=
-，得12λ=-，所以当a 与b 的夹角是钝角时，2λ<且1
2
λ≠-，所以C 错误，
对于D ，如图，以A 为原点建立直角坐标，则由题意可得
(0,0),(4,0),(4,3),(2,4)A B E F ，
所以
(4,3),(2,4)AE BF ==- ，所以8124AE BF ⋅=-+=
，所以D 错误，
故选：AB
12.已知函数
()()2cos ωcosωω0f x x x x =+>，，则下列说法正确的有（
）
A.若1ω2=
，则f （x ）的对称中心为ππ,06k k Z
⎛
⎫-∈ ⎪⎝⎭
B.若f （x ）向左平移
6
π
个单位后，关于y 轴对称则
ω的最小值为1
C.若f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，则
ω的取值范围是（
32，116
]D.已知f （x ）在[
3π，2π]上单调递增，且ω为整数，若f （x ）在[m ，n ]上的值域为[12
-，1]，则n m -的取值范围是[6π，3π]
【12题答案】【答案】BCD 【解析】【分析】把
()f x 为化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数的性质判断各选项．
【详解】
1cos 21
()sin 2sin(2)2262
x f x x x ωπωω+=
+=++,
选项A ，
12ω=
，1()sin(62
f x x π=++，6x k ππ+=，
6x k ππ=-
，对称中心是1
(,),62k k Z ππ-∈，A 错；选项B ，若f （x ）图象向左平移6π
个单位后得解析式为()sin[2()66g x x ππω=++sin(236
x ωππω=++，它的图象关于y 轴
对称，则362k ωππππ+=+，k Z ∈，
1ω=时，362
ωπππ
+=，满足题意，B 正确；
选项C ，f （x ）在（0，π）上恰有3个零点，即在(0,)π上1
sin(262
x πω+=-有三个解，
0x =时，266x ππω+=，且0>ω，因此
19232666πππωπ<+≤，解得311
26
ω<≤，C 正确；选项D ，
,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 是增函数，0>ω，
22[,[,636622x k k k Z πωπππππωωπππ+
∈++-+∈，23
ωπωππ-≤，3ω≤，正整数ω只能取1，2，3，
1ω=，257[,[,]36666ωπππππωπ++=，不合题意，
2ω=，231335[,][,[,3662622ωπππππππ
ωπ++=⊆，满足题意，3ω=，21119[,][,]36666
ωπππππ
ωπ++=，不合题意，所以2ω=，1462f (x )sin(x )π=++，11
sin(4)1262
x π-≤++≤，
则11sin(4)62
x π-≤+≤，74666k x k πππ
ππ-
+≤+≤+，k Z ∈，由周期性，不妨取0k =，03x π
-≤≤，其中()16
f π-=-，
因此为了满足题意，必须有：
3
m π
=-
时，06n π-≤≤或36m ππ-≤≤-
，
0n =，
因此
63
n m ππ
≤-≤，D 正确．故选：BCD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知()()3,40,1a
b ==-
，，则a 在b
上的投影向量是___________.
【13题答案】【答案】
()0,4【解析】
【分析】根据平面向量投影向量的运算公式进行计算.
【详解】a 在b
上的投影向量为()()()()3,40,10,10,411a b b b
b
⋅--⋅⋅
=
⨯=
故答案为：
()
0,414.
2sin 35cos5sin 5-
=________.
【14题答案】
【分析】利用两角和的正弦公式求解.
【详解】解：
2sin 35cos5sin 5-
，
()
2sin 305cos5sin 5
+-=
，
12cos55cos522sin 5
⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭==
，
15.李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多A 游客打卡拍照.阿伟为了测量李子坝站站台距离地面的高度AB ，采取了以下方法：在观最台的D 点处测得站台A 点处的仰角为45 ；后退15米后，在F 点处测很站台A 点处的仰角为30 ，已知阿伟的眼睛距离地面高度为
1.5CD EF ==米，则季子坝站站台F
的高度AB 为___________米
.
【15题答案】
【答案】
182
【解析】
【分析】假设
AG
长度，
AGC
使用勾股定理，
AEC
△使用正弦定理，解出
AG
高度，进而求出
AB 高度.
【详解】假设AG 高度为
x 米，则AC
米，对AEC
△使用正弦定理得：
sin sin AC CE
AEC CAE
=
行，
所以
sin 30sin(4530)AC CE
=
-o o
，
所以
15
sin 30sin 45cos30cos 45sin 30=
-o o o o o ，
所以
124
=
解得
15
1)2
x =
+，
所以
151318222）=
=AB +，
故答案为：
182
.16.在
ABC 中，
AB a AC b == ，，点D 在边AC 上，且满足2CD DA =，E 为AB 中点，CE 和BD 交于点F ，G 是
ABC 的重心，
则
GF
=___________（用a b
，表示）【16题答案】【答案】
121515
a b -
【解析】【分析】根据C ，F ，E 共线，设CF
CE =
λ，用,AB AC 表示AF ，同理由B ，F ，D 共线，设BF BD μ= ，用,AB AC 表示AF
，
利用向量相等，求得
AF
，再根据G 为重心，得到AG
，由GF AF AG =- 求解.【详解】解：如图所示：
因为C ，F ，E 共线，设CF
CE =
λ，
则
()
12AF AC AE AC AB AC λλ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
，
所以()112
AF AB AC λλ=+- ，
因为B ，F ，D 共线，设BF BD μ=
，
则
()
13AF AB AD AB AC AB μμ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭
，
所以()113
AF AB AC μμ=-+ ，
所以()()111123
AB AC AB AC λλμμ+-=-+
，
则1
12113λμμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
所以2155
AF AB AC =+ ，
又因为G 为重心，
所以2113233AB AC AG AB AC +=⨯=+
，
所以211112553315
15GF AF AG AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭
，即121515GF a b =- ，
故答案为；121515
a b -
.
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.
已知向量()()()
2,1,3,4,1,2a b c =-=-=
（1）若c
a b λμ=+
，求实数λ，u 的值；
（2）若
(
)
//ma b c + ，求mb c + 与a
夹角的余弦值.
【17~18题答案】【答案】（1）
2,1
λμ==（2）4
5
-
．【解析】【分析】（1）由平面向量线性运算的坐标表示求解；（2）由平面向量共线的坐标表示求出参数m 的值，然后由向量夹角的坐标表示计算．
【小问1详解】
(23,4)a b λμλμλμ+=--+ ，所以23142λμλμ-=⎧⎨
-+=⎩，解得2
1λμ=⎧⎨=⎩
；【小问2详解】
(23,4)ma b m m +=--+
，()
//ma b c + ，则2(23)(4)0m m ---+=，解得2m =，
(5,10)mb c +=-
，
()4
cos ,5mb c a mb c a mb c a
+⋅<+>==-+
．
18.在①
sin sin sin B C b a
A b c
+-=
-；②
cos cos 2C c
B a b
=
-；这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足.
（1）求角C ；
（2）若
8a =，5b =，D 在线段AB 上，且满足
37AD AB =
，求线段CD 的长度
【18~19题答案】【答案】（1）3
C
π
=
；
（2）7CD
=
【解析】【分析】（1）选择条件①：利用正弦定理和余弦定理得到1
cos 2
C
=
，即可求出角C ；选择条件②：把cos cos 2C c B a b =
-整理为2cos cos cos a C c B b C =+，利用正弦定理和诱导公式得到1
cos 2C =，即可求出角C.（2）用向量表示3477
CD CB CA =+
，利用数量积求模长.
【小问1详解】
选择条件①：
sin sin sin B C b a
A b c +-=
-.由正弦定理得：b c b a
a b c
+-=
-，即222b c ab a -=-，所以222b a c ab +-=.由余弦定理得：222
1cos 222
a b c ab C ab ab +-===
.
因为
()0,C π∈,所以3
C π=
.
选择条件②：
cos cos 2C c
B a b
=
-.所以
2cos cos cos a C b C c B -=，即2cos cos cos a C c B b C
=+由正弦定理得：
2sin cos sin cos sin cos A C C B B C =+，即()2sin cos sin +A C C B =.
因为
A B C π++=，所以B C A +=π-,所以()()sin sin sin B C A A π+=-=.
因为
()0,A π∈，所以sin 0A ≠，所以1cos 2
C =
.因为
()0,C π∈,所以3
C π=
.
【小问2详解】
因为D 在线段AB 上，且满足
37
AD AB = ，
所以()
3334777
7
CD CA AD CA AB CA CB CA CB
CA ==+==
.
所以22227234934169.774974CD CB CA CB CB CA CA
⎛⎫== ⎪++⨯⎝⎭+ 22934116
858549772249=
⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯1456
49
=.
所以7
CD
=.
19.已知()3cosα
sin αβ52
=-=，,(0,)2παβ∈（1）求πcos 2α4⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值：
（2）求
()sin βa +的值.【19~20题答案】
【答案】（1）50（2）
50
【解析】
【分析】（1）先由
cos α，求出sin α，再利用二倍角公式可求出cos 2,sin 2αα，然后利用两角差的余弦公式化简计算，
（2）由sin()αβ-，可求出cos()αβ-，而2()αβααβ+=--，利用两面三刀角和的正弦公式化简计算
【小问1详解】
因为3cos
,0,52παα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，
所以4
sin 5
α===，所以4324
sin 2
2sin cos 25525ααα==⨯⨯=，
2167
cos 212sin 122525
αα=-=-⨯=-，
所以cos 2
cos 2cos 2sin
444πππααα⎛
⎫-=+ ⎪⎝
⎭
72425225250
=-
⨯+⨯=，
【小问2详解】
因为
,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,22ππαβ⎛⎫-∈- ⎪
⎝⎭
因为sin()2
αβ-=
，
所以()cos
2
αβ-==
，
所以sin()sin[2()]
αβααβ+=--sin 2cos()cos 2sin()ααβααβ=---
24725225250
⎛⎫=
⨯--⨯= ⎪⎝⎭
20.为了庆祝重庆市直辖25周年，重庆市政府计划在部分主干道两旁的路灯杆上悬挂宣传板.该宣传板由两个三角形AB C 和PBC 拼接而成（如图），
其中
901ACB CPB AB CH AB
∠∠===⊥
，，，设
πα0,3CBA ∠⎛⎫
=∈ ⎪
⎝⎭
，（1）若要达到最好的宣传效果，则需要满足PBC CBA ∠∠=，且CA PB +达到最大值，求α为多少时，CA PB +达到最大值，最大
值为多少？
（2）若要让宣传板达到最佳稳定性，则需要满足
120PCH ∠= ，且CH CP +达到最大值，求a 为多少时，CH CP +达到最大值，
最大值为多少？
【20~21题答案】【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】
【分析】（1）分别在Rt ABC 和Rt PBC △中，利用三角函数的定义得到22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++求解；
（2）由22
11
ABC
S
AC B BC A CH =
⋅⋅= ，得到sin cos CH
αα
=⋅，由
()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦
，得到
CH CP +13
sin 2234
πα⎛⎫=++
⎪⎝⎭求解.【小问1详解】解：如图所示：
在Rt ABC 中，sin sin ,cos cos CA AB CB AB αααα=⋅=⋅=，
在
Rt PBC △中，2cos cos PB CB αα
=⋅=，
所以22cos sin sin sin 1CA PB αααα+=+=-++，
令3sin 0,2t
α⎛=∈ ⎝⎭
，
则
21y t t =-++，
2
15
24
t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，
当12t
=
，即6
πα=时，CA PB +达到最大值，最大值为54；
【小问2详解】因为22
11
ABC
S
AC B BC A CH =
⋅⋅= ，又
sin ,cos AC BC αα
==，
所以sin cos CH αα
=⋅，
()cos 12090PC BC α⎡⎤=⋅--⎣⎦
，
()cos 30BC α=⋅+ ，()cos cos 30αα=⋅+
，21
sin cos 22
ααα=
-⋅，
所以21
cos sin cos 22
CH CP ααα=
+⋅+
，
12sin 2444
αα=
++
，
1sin 2234
πα⎛⎫=++
⎪⎝⎭.因为
0,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
所以2
,33ππαπ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
，
所以sin 23πα
⎛⎫+
∈ ⎪⎝
⎭，所以当
232
ππα+
=，即12πα=时，
CH CP +
达到最大值，最大值为
24
+.
21.
已知向量()ππcos ω,sin 2ω,4sin ω,262a x x b x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ，其中0>ω，记()f x a b =⋅ ，且()f x 的最小正周
期为π（1）求
()f x 的单调递增区间；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且满足222223
a c
b b
a c
b ⎧+=-⎨-=--⎩，求()f C 的值.
【21~22题答案】【答案】（1）
,()36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
（2）1-【解析】
【分析】（1）由向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简变形可得
()2sin 216f x x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，再由周期为π，可求出1ω=，
从而可求得函数解析式，再由222,262
k x k k Z πππ
ππ-
+≤+≤+∈，可求出其增区间，
（2）先解已知的方程组可得221134241344a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，然后利用余弦定理可求出角C
，从而可求出()f C 的值
【小问1详解】
因为()cos ,sin 2,4sin ,262a x x b x ππωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()4sin cos 2sin 262f x a b x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=⋅=-++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
4sin cos cos sin sin 2cos 266x x x x
ππωωωω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭1
4sin sin 2cos 222x x x x ωωωω⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝
⎭2
cos 2sin 2cos 2x x x x
ωωωω=+
+2cos 21
x x ωω=++2sin 216x πω⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
因为
()f x 的最小正周期为π
，
所以
22ππω
=，所以1ω=，
所以
()2sin 216f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由222,262k x k k Z πππ
ππ-
+≤+≤+∈，得,36
k x k k Z ππ
ππ-+≤≤+∈，所以
()f x 的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢
⎥⎣⎦
，
【小问2详解】
由2
22223a c b b a c b ⎧+=-⎨-=--⎩，解得2211342413
44a b b c b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，
所以2
22
2
()()cos 22a
b c a c a c b C ab
ab
+-+-+=
=
2
22111322221132424b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫-- ⎪⎝⎭32321131
42
413222
b b b b b b -++==---因为()0,C π∈，所以23C π=，所以223()2sin 212sin 113362f C f ππππ⎛⎫⎛⎫==⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，AD 为∠BAC 的角平分线，已知2c =
且
222223a c b cosA bc AD ⎛⎫+-=-= ⎪⎝⎭
，（1）求△ABC 的面积；
（2）设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅ 的最小值.
【22~23题答案】【答案】（1）245（2）4825
【解析】【分析】（1）由余弦定理和正弦定理求得b =6.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-，利用余弦定理可得：表示出()cos ,cos πθθ-，
列方程解得边长5a
=
.求出4sin 5A =,即可求得△ABC 的面积；（2）设AE m = ，AF n = 由△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，得到6mn =.利用平面向量的运算表示出()()26mn mn AG AB AC m n m n =
+++ ，62n m EF AC AB =-
,得到24812156AG EF m ⎛⎫⋅=-+ ⎪+⎝⎭
，利用函数求最值.【小问1详解】
由余弦定理得：2222cos a c b ac B =+-，所以222223a c b cosA bc ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭可化为：22cos 23ac B cosA bc ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，即1cos .3a B bcosA b +=由正弦定理得：1 sin cos sin sin 3A B
BcosA A +=，所以1sin sin 3A B B +=（）因为C A B π++=，所以C A B π+=-，所以sin sin C sinC A B π+=-=，
即1sinC
sin 3B =.由正弦定理得：c 13
b =.因为2
c =，所以b =6.在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，所以62CD AC BD AB ==,不妨设,3BD t CD t ==.设ADB θ∠=,则ADC πθ∠=-.
由余弦定理可得：22222225cos 25
t AD BD AB AD BD θ⎛⎫+- ⎪+-==⋅，(
)(
)222222365cos 25
t AD CD AC AD CD πθ⎛⎫+- ⎪+--==⋅因为()cos cos πθθ-=-
(
)22222223655055
t t ⎛⎫⎛+-+- ⎪ ⎪
，解得：5t =.
所以边长45a t ==.
由余弦定理可得：2
222222653cos 2265
AB AC BC A ⎛+- +-⎝⎭===⨯⨯,且()0,A π∈，
所以4sin 5A ===,所以△ABC 的面积为11424sin 622255
bc A =⨯⨯⨯=.【小问2详解】设AE m = ，AF n = .
因为△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，所以
11412sin 2255mn A mn =⨯=，所以6mn =.因为AD 为∠BAC 的角平分线，所以31CD BD =，所以3144AD AB AC =+ 设3134444AG AD AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭
.
因为E 、F 、G 三点共线，所以()()1126m n AG AE AF AB AC μμμμ=+-=+-
.
所以()342146
m n λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ，得到n m n μ=+.所以()()26mn mn AG AB AC m n m n =+++
.而62
n m EF AC AB =- ,所以()()2662mn mn n m AG EF AB AC AC AB m n m n ⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦
()12362mn n m AB AC AC AB m n ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
()2222186mn m n n m AB AC AC AB m n -⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭
.而336cos 2655AC AB AC AB A ⋅=⨯⨯=⨯⨯= .
所以()()()
836222655mn n m mn n m AG EF n m m n m n --⎛⎫⋅=-+⨯= ⎪++⎝⎭
因为6mn =，02,06m n <≤<≤，所以606m
<≤，解得：12m ≤≤，所以()()22264848648121656565m m m AG EF m m m m ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭⋅===-+ ⎪+⎛⎫+⎝⎭+ ⎪⎝
⎭ .因为12m ≤≤，所以214m ≤≤，所以27610m ≤+≤，所以21111067
m ≤≤+，所以21212121067m ≤≤+，所以2212511067
m ≤-+≤+，所以248481248125567m ⎛⎫≤-+≤ ⎪+⎝⎭，所以AG EF ⋅ 的最小值为4825
.【点睛】（1）在几何图形中进行向量运算:①构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；②树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.
（2）在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：①从题目给出的条件，边角关系来选择；②从式子结构来选择．。