利用解析法证明平几问题受阻后的策略调整——2016年全国高中数学

６ 、 ＝ （ ｎ— ｃ ） ． 化简得 几 。ａ—ｂ —ｃ ） （ ｒ 上 ＋ｂ —ｃ ） ＝（ ａ ｍ ＋ｂ ｍ— ａ ｂ —ｃ ｍ） （ ａ ｂ ＋ｂ ｍ＋ｃ ｍ—ａ ｍ一２ ｂ ｃ ） ． ……・ ・ （ ： ｌ ｃ ）
又 由 点 ０ｌ 、０２ 是 ＡＡＣＸ 、ＡＡＢＹ 的 外
角形．
简得：ｎ （ ２ ｍ —ｂ —ｃ ） ｋ ＋２ ［ （ ｍ —ｃ ） （ ｍ —ｂ ） 一
ｎ ２ ］ ｋ 一２ ａｎ ｒ ＋ｂ ｎ ＋ｃ ｎ＝０ ． 再利用求根公式求
得 ＝ ．最 后
设法利用 （ 丰 ） 式证 明 ｋ ｏ ０ ・ ｋ Ａ Ｏ＝ －１ ， 却陷入
了 复杂 的运 算 难 以 自拔 ．
Ｖ
Ｃ
ｙ
图１
ｘ
Ｄ Ｃ
ｙ ｉ
１ 异 想 天 开 ，陷 入 困境 对考 生来说， 传 统 的 平 面 几 何 知 识 遗 忘 殆
图２
尽， 解 析 法又 是思 维 的最 近发 展 区， 所 以很 多 考生选择利 用解析法．但因缺乏较 强的运 算和 逻辑推理能力， 使得思维受阻， 无法进行下去 ． １ ． １ 受 阻情境 １ 以点 ｘ 为坐 标原 点，
＿ －ｍｃ＝ 后 ０ — — 一 ＝ ＝ ＝ 。 ‘ （ Ｉ 、 一 兰 ） ／ ｌ ， 与 勺 Ａ 一 １ ： １ 的 削 直 且
１ ０。 ・
建立直角坐标系 （ 如图２ ） ． 设 Ｂ（ ｂ ， ０ ） 、ｃ（ ｃ ， ０ ） 、
Ｙ（ ａ ， ０ ） 、Ａ（ ｍ， 佗 ） ，由 Ｂ ． Ｃ ＝ ＣＹ ・ ＡＢ 得
．
为 ， 由到角公式
＝
化
是直 线 Ｊ Ｅ ； Ｃ上 两 点 （ 、Ｂ、Ｃ、ｙ顺 次 排列） ， 使 得 Ｂ ． Ｃ ＝ Ｃｙ・ ＡＢ．设 △ 、△ Ｂｙ
的外 心分 别为 点 （ 二 ） ｌ 、ｏ２ ， 直 线 ０１ ０２ 与Ａ Ｂ、 Ｃ分 别交于 点 、 ．证 明 △Ａ 是等腰 三
线方程Ｙ＝÷
（ —ｂ ） 联立求解点 坐标，
同理求 得 点 坐标 ， 从 而 表 示 出 ＡＵ、Ａ Ｖ 的
６ － １ ８
冗 长 的运 算 ．
数 学教 学
２ ０ １ ７ 年第６ 期
长度， 最 后利用 （ 术 ） 式 证 明 ＡＵ ＝ ＡＶ， 也 陷入
证法 ２ ： 以 点 Ａ为 坐 标 原 点 ，以 与 ＢＣ 平 行 的 直 线 为 轴 建 立 直 角 坐 标 系 （ 如 图４ ） ，设
１ ． ３ 受阻情境 ３ 如图 ２ 建立直角 坐标系 ， 求 出点（ 二 ） 】 、 （ ＝ ） ２ 坐 标， 计 算ｋ ｏ ０ 。 ， 利用 到 角公 式计 算ｔ ａ ｎＺ ＡＵＶ 和ｔ ａ ｎＺＡＶＵ， 再 利 用 ６ 、 ＝ ＝ ＿ ：
Ｘ（ ａ ， ｎ ） 、 Ｂ（ ｂ ， ｎ ） 、 ｃ（ ｃ ， ｎ ） 、ｙ（ ｍ， 佗 ） ． 作／ ＢＡ Ｃ
的平分线交 Ｂ 于 （ ＝ ） ， 则 ＢＯ
＝
ＡＢ
＝
ＢＸ
＝
．
利 用 定 比分 点 坐 标 公 式 得
（ ａ～ ｃ ） 、 ／ （ ｍ 一６ ） ＋礼 证 明ｔ ａ ｎ Ａ Ｕ Ｖ ＝
ｔ ａ ｎ ＺＡＶＵ， 陷入 复 杂 的 字母 运 算 ． ２ 策略调整 ， 拨 云见 日 思 维 受 阻 后 怎 么 办 ？考 卷 中 反 映 出 考 生
２ ０ １ ７ 年第 ６ 期
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６ 一 ｌ
利 用解 析 法 证 明平几 问题 受 阻后 的策 略调 整
一
２ ０ １ ６ 年 全 国 高中数 学联 赛加试 平 面几何题 的解 法探 究
张亚 东
（ 上海市大 同中学， 上海 ２ ０ ０ ０ １ １ ）
本人 有幸 参加 了 ２ ０ １ ６ 年 全 国高 中数 学联 合竞 赛加试平 面几何题 的 阅卷工作 ， 发 现很 多 考生选择 解析法来证 明． 传统 的几何法 往往需 要 添加 辅助 线， 需 要较 高 的解 题技 巧， 而 利用 解 析法 证 明平几 问题 有 时思路 虽然清 晰简 洁， 但 需要较 强的运算和 推理能力 ， 往往会 因为 复 杂 的运 算 而 受 阻 ．阅卷 中发 现 本 题 的证 法 多样 ， 有 的构 思 巧妙， 有 的运 算冗 长， 甚至 出现 推理 错 误． 下面结合 本题谈谈 利用解析法 证 明平 几 问题 思 维 受 阻 后 的 策 略 调整 ． 题目 如图 １ 所 示， 在 △ＡＢ Ｃ ｒ 中， 、ｙ
ｏ （
Ａ ：
， ｎ ） ，
０仃 一 ａｃ
ｌ
的不 同应对 策略， 有 的“ 将错 就错” ， 其证 明过 程表面上看没 有任何 问题 ， 但 其 中某 一步存在 很大 的运算 或逻辑 错 误， 导致 全军 覆没： 也有 考 生及 时调整策略， 重新挖 掘题 中的已知条件 ， 调整证 明问题 的视角， 使得 问题迎刃而解 ． ２ ． １ 巧建 坐标系 在着手 利用解析 法证 明平几 问题之 前， 首 先 必须 考 虑 通 过 巧 妙 地 建 立 直 角 坐 标 系 以达 到 简 化 运 算 的 目的． 证法 １ ：作 ＺＢＡＣ的 平 分 线 交 ＢＣ于 点 （ ＝ ） ，
心 ， 可 求 得 （ 二 ） （ 三 ， — ｍ ２ — ＋ ｎ ２ ＇ 一 － ｍ ｃ ￣ ／ 、 （ 二 ） 。 （ ，
二
ａｂ＋
—
—
１ ． 进一 步 求 得 。 ：
－
ｃ ｍ
＿ ７—
，
＿
＇
—
ａｍ
—
－Baidu Nhomakorabea
、
ｂ ｍ
—
。 设 Ｂ … ‘ 一 …平 １ 分线 …ｎ 的斜率 ＿ …－
１ ． ２ 受 阻情境 ２ 如 图２ 建 立直 角坐 标 系， 可 求得 ｋ ｏ ０ ＝
ａ ｂ
— —
一 －
ｂ ｍ
－
／ ＿
ａｍ
—
＋
一
ｃｍ
．
．
１
、
’
写出０ １ ０２ 直线方程 一
■ 一 １ … … － 一 口
十 Ｄ— ｃ
ｍ＇ ｚ ＋ ｎ ￣ ＂
—
所 在直线 为 Ｘ 轴