5.2.1基本初等函数的导数 课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

当 < 0时，随着增加， ′ 越来越小， = 2 减少得越来越慢；
当 > 0时，随着增加， ′ 越来越大， = 2 增加得越来越快；
若 = 2 表示路程关于时间的函数，则 ′ =2x可解释为某物体做变
速运动，它在时刻瞬时速度为2x。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
练习：求下列函数的导数．
π

1
x2

(1)y＝x5；(2)y＝ ；(3)y＝lg x；(4)y＝5x；(5)y＝cos2－x.
x


1
－
－
[解] (1)∵y＝x5＝x 5，∴y′＝－5x 6
=




−
=


= , ∴ ′ =



1
(3)∵y＝lg x，∴y′＝xln 10.
=
∆( +∆+)
1
=
,
+∆+
∆
∆→0 ∆
1

= ∆→0
+∆+
所以 ′ =
=
1
2
知识梳理
基本初等函数的导数公式
知识梳理
说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.
1. 函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数f (x ) 在x= x0处的函数值,
(3)利用导数研究曲线的切线方程.
用了哪些方法
方程思想、待定系数法.
可能出错的地方： 不化简成基本初等函数
∆
∆
所以 ′ =
∆

=
∆→0 ∆ ∆→0
1=1
若 = 表示路程关于
时间的函数，则 ′ =1可以
解释为某物体的瞬时速度
始终为1的匀速直线运动。
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
问题3. 函数 = = 2 的导数
∆ +∆ −() +∆ 2 − 2
解： =
=
∆
∆
∆
2 +2·∆+(∆)2 − 2
=
= 2+ ∆
∆
∆

=
∆→0 ∆ ∆→0(2 + ∆ ) = 2
′ =2x表示函数 = 2 的图像上点 ,
所以， ′ =
处切线的斜率为2x,
说明随着变化，切线的斜率也在变化。
另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看， ′ =2x表明；
=
[3
∆→0 ∆ ∆→0
= 32
y'=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处
切线的斜率为3x2,这说明随着x的变化，
切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
一、基本初等函数的求导公式
新知学习
1
问题5. 函数 = = 的导数

∆ +∆ −()
解: =
∆
∆
=
1
1
学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初
等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本
初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等
函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.
新知学习
一、基本初等函数的求导公式
问题1. 函数 = = 的导数
∆ +∆ −()
(4)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.
π



(5)y＝cos2－x＝sin x，∴y′＝cos x.


典例分析
二、导数公式的应用
例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t：
(单位:年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价，假定某种
商品的p0 =1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多
少(精确到0.01元/年)?
解：根据基本初等函数的导数公式表，有p'(t)=1.05tIn 1.05.
所以p'(10)=1.0510In 1.05≈0.08
所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
思考：如果某种商品的p0 = 5,那么在第10个年头这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.1基本初等函数的导数
5.2.2导数的四则运算法则
复习回顾
1、导数的定义：
一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是：
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x0 x) f ( x0 )
f
lim
lim
lim
.
x 0
x 0
x 0 x
( x0 x) x0
x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），记作 f '( x0 ) 或 y ' |x x0 ，
f ( x0 x) f ( x0 )
f '( x0 ) lim
.
x 0
即
x
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
0
1
又 y0＝kx0＋1，y0＝ln x0，解得 y0＝2，x0＝e ，所以 k＝e2.
2
延伸探究
2.求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程.
解
∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上.
∴设切点为Q(x0，y0)，
1
则切线的斜率 k＝x .
0
y0－0 ln x0
又切线的斜率 k＝
＝ x ，
x0－0
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
典例分析
2
3
例1求下列函数的导数：(1)y= ; (2)y=log2x.
解:(1) y'=(
2
3
2 2−1 2 −1
)'= 3 = 3
3
3
1
(2)y'=(log2x)'=
2
1.求增量： y f ( x x) f ( x)
y f ( x x) f ( x)

2.算比值：
x

x
y
f ( x x) f ( x)
3.取极限：m
x 0
x
新知引入
导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共
解析
设切点为(x0，ln x0)，
1
由 y＝ln x 得 y′＝x .
因为曲线y＝ln x在x＝x0处的切线方程为x－y＋c＝0，其斜率为1.
1
所以 y |x＝x0＝x ＝1，
0
即x0＝1，
所以切点为(1,0).
所以1－0＋c＝0，
所以c＝－1.
回顾小结
学了哪些知识 (1)常用函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式及应用.
典例分析
例3
已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线
方程.
1
解 ∵y′＝x ，
1
∴k＝y′|x＝e＝e ，
1
∴切线方程为 y－1＝e (x－e)，即 x－ey＝0.
延伸探究
1
1.已知y＝kx＋1是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝ e2 .
1
解析 设切点坐标为(x0，y0)，由题意得 y |x x0＝x ＝k，
进行求解.
(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
跟踪训练3
(1)函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为
√
A.y＝12x－16
B.y＝12x＋16
C.y＝－12x－16
D.y＝－12x＋16
解析
因为y′＝3x2，
当x＝2时，y′＝12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y＝12x－16.
(2)已知曲线y＝ln x的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为 －1 .
−
+∆x
∆
−(+∆)
=
(+∆)∆
1
=- 2
,
+·∆
′=
1
∆

∆→0 ∆ = ∆→0(− 2+·∆)
1
=− 2

问题6. 函数 = = 的导数
∆
解:
∆
=
+∆ −()
∆
=
+∆−
∆
( +∆−)( +∆+)
解：因为 =
∆
∆
所以 ′ =
∆

=
∆→0 ∆ ∆→0
0=0
问题2. 函数 = = 的导数
若 = 表示路程关于
时间的函数，则 ′ =0可以
解释为某物体的瞬时速度
始终为0，即一直处于静
止状态。
解：因为
∆ +∆ −() +∆ −
=
=
=1
∆
即 f ( x0 ) f ( x ) | x x0 .这也是求函数在点x0 的导数的方法之一。
2.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线 y= f(x)在点P(x0 , f(x0))
处的切线的斜率.
3.求切线方程的步骤：
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ( x 0 )，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
0
ln x0 1
∴ x ＝x ，即 x0＝e，
0
0
1
∴Q(e,1)， ∴k＝e ，
1
∴切线方程为 y－1＝e (x－e)，即 x－ey＝0.
知识梳理
新教材《选择性必修二》
(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式
问题4. 函数 = = 3 的导数
∆ +∆ −() +∆ 3 − 3
解:
=
=
∆
∆
∆
3 +32·∆+3(∆)2 +(∆)3 − 3
=
∆
= 3��2+3. ∆ +(∆)2 ,
′=
∆
2 + 3 · ∆+ ∆ 2 ]