2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区九年级(上)期末数学试题及答案解析

2021-2022学年四川省成都市龙泉驿区九年级（上）期末数学试
卷
1.x=2是方程x2−2k=0的根，则k=( )
A. −1
B. 1
C. 2
D. −2
2.日环食是日食的一种，当月球处于远地点时，此时月球的视直径略小于太阳，因此，这时
太阳边缘的光球仍可见，形成一环绕在月球阴影周围的亮环．我们能够观测(观测日食时不能直视太阳，否则会造成短暂性失明，严重时甚至会造成永久性失明)的视图是( )
A. B. C. D.
3.在同一平面直角坐标系中反比例函数y=3
与一次函数y=x+3的图象大致是( )
x
A. B.
C. D.
4.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，两对角线交于点O，则
BO=( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 10
5. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、AC 上，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE 的是( )
A. ∠ADE =∠B
B. ∠AED =∠C
C. AD
AE =AB
AC D. DE
BC =AE
AC
6. “杂交水稻之父”袁隆平和他的团队探索培育的“海水稻”在某试验田的产量逐年增加，2018年平均亩产量约500公斤，2020年平均亩产量约800公斤.若设平均亩产量的年平均增长率为x ，根据题意，可列方程为( )
A. 500(1+x)=800
B. 500(1+2x)=800
C. 500(1+x 2)=800
D. 500(1+x)2=800
7. 下列说法中，错误的是( )
A. 菱形的对角线互相垂直
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的四个内角都相等
D. 四个内角都相等的四边形是矩形
8. 若点A(−1,y 1)，B(2,y 2)，C(3,y 3)在反比例函数y =−6x
的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )
A. y 1>y 2>y 3
B. y 2>y 3>y 1
C. y 1>y 3>y 2
D. y 3>y 2>y 1
9. 《九章算术》卷八方程第七题原文为：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五直金八两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：现有5只牛、2只羊，共价值10两．2只牛、5只羊，共价值8两．那么每只牛、羊各价值多少？设每只牛、羊价值分别为x ，y ，则可列方程组为( ) A. {2x +5y =10
5x +2y =8 B. {15x +12
y
=10
12y +1
5x =8 C. {5x +2y =102x +5y =8
D. {12x +15y =10
15y +1
2
x =8
10.已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程x2−17x+70=0的根，则此三角形的周长是( )
A. 10
B. 17
C. 20
D. 17或20
11.如图，在长为9m，宽为7m的矩形场地上修建两条宽度都为1m且
互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，则绿化面积共有______m2．
12.若关于x的一元二次方程x2+2x−k=0无实数根，则k的取值范围是______．
13.成都大运会火炬塔塔身造型由12条螺旋形空间曲线构成，取自金沙遗址太阳神鸟金饰上的12道太阳光芒．这12束光芒穿过蓉城三千年发展变迁，螺旋升腾汇聚于火炬塔顶部，托举着古蜀先民对太阳和光明的永恒向往．小明想测量火炬塔的高度，他设计了一种测量方案如下：如图，在阳光下小明站到点E处时，刚好使自己落在地面的影子与火炬塔的影子重叠，且端点恰好重合于C处．此时，小明测得自己的影子长度CE=3.1m，EB=58.9m(点B，E，C在同一直线上)，已知小明的身高ED是1.55m，则火炬塔高AB=______m.
14.如图所示，在△ABC中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分
别交AB，BC于点D和点E，再以点C为圆心，BD长为半径画弧交AC
于点F，最后以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点H，连
接CH并延长交AB于点M，若AM=4，AB=9，则AC=______．
15.解下列方程：
(1)x2+5x−6=0；
(2)2x(x+2)=(x+2)．
16.解分式方程：x2
x+1−2=1
x+1
．
17.为规范课外读物进校园管理，充分发挥课外读物育人功能，教育部关于印发《中小学生课外读物进校园管理办法》的通知，共提出十三项要求，其中第十一条提出中小学校要大力倡导学生爱读书、读好书、善读书，我区各校积极落实方案精神，某校为了解12月份学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生12月份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息解决下列问题：
(1)参加本次调查的学生共有______人，补全条形统计图；
(2)在读书4册的学生中恰好有2名男生和2名女生，现要在这4名学生中随机选取2名学生参加学校的阅读分享沙龙，请用列举法(画树状图或列表)求所选取的这2名学生恰好性别相同的概率．
18.已知关于x的方程x2−2(k−1)x+k=0有两个实数根x1，x2.若x1+x2=x1x2+2，求k的值．
19.如图，在Rt△ABC中，CA⊥AB，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF//BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若CF=4，∠FAC=30°，求AB的长．
20.如图，已知A(2,4)是正比例函数函数y=kx的图象与反比例函数y=m
的图象的交点．
x
(1)求反比例函数和正比例函数的解析式；
(2)B为双曲线上点A右侧一点，连接OB，AB.若△OAB的面积为15，求点B的坐标．
21.已知实数a，b是一元二次方程x2−4x+2=0的两根，则a2+b2+3ab的值为______．
22.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了200条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后再捕捞100条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里共有鱼______条．
23.我国的学者墨翟(墨子)和他的学生，做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原因，指出了光沿直线进行传播的性质，早于牛顿2000多年就已经总结出相似的理论．如图所示，平面m，n，q相互平行，平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍，三角形光源ABC在平面m上，周长为12cm，通过小孔成的像△A′B′C′在平面q上，则△A′B′C′的周长为______cm．
24.如图，M为双曲线y=4
x
上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，
分别交直线y=−√3x+m于D，C两点，若直线y=−√3x+m与y
轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD⋅BC的值为______．
25.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE=DF，则AE+AF的最小值为______．
26.龙泉驿区位于成都市东部，素有“四时花不断，八节佳果香”之美誉，龙泉驿枇杷是中国地理标志产品.某枇杷种植基地“大五星”枇杷品种是广受各地消费者青睐的优质新品种，市场调查发现，当“大五星”的售价为25元/千克时，每天能售出480千克，售价每降价1元，每天可多售出40千克．
(1)若降价x(0≤x≤15)元，每天能售出多少千克？(用含x的代数式表示);
(2)为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“大五星”的平均成本价为10元/千克，若要销售“大五星”每天获利7280元，则售价应降低多少元？
27.问题提出：
如图①所示，在矩形AOCB和矩形ODEF中，CO
AO =FO
DO
=k，点A，O，D不在同一直线上，连
接AD，CF.HO是△AOD的中线，那么HO，CF之间存在怎样的关系？
问题探究：
(1)先将问题特殊化，如图②所示，当k=1且∠AOD=90°时，HO，CF的数量关系是______，位置关系是______．
问题拓展：
(2)再探究一般情形如图③所示，当k=1，∠AOD≠90°时，证明(1)中的结论仍然成立．
问题解决：
(3)回归图①所示，探究HO，CF之间存在怎样的关系(数量关系用k表示)？
28.如图，已知直线l：y=kx−4k的图象与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=2
(x>0)
x
的图象交于点C，D．
(1)直接写出B点坐标；
(2)当AD=3AC时，求k的值；
(3)若点N在x轴上，连接CN，DN，且满足∠CND=90°的N点有且只有一个，请求出N点的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：将x=2代入方程x2−2k=0中得，
22−2k=0，
解得：k=2，
故选：C．
直接将x的值代入方程中得到一个关于k的一元一次方程，解此方程得k的值．
本题考查了一元二次方程的根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根．
又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的根也称为一元二次方程的解．
2.【答案】A
【解析】解：由视图的定义以及日环食的意义可得，选项A中的图形符合题意，
故选：A．
由视图的定义可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】A
【解析】解：∵在反比例函数y=3
中，比例系数3>0，
x
∴反比例函数y=3
的图象在第一、三象限，排除C选项；
x
∵在一次函数y=x+3中，一次项系数1>0，常数项3>0，
∴一次函数过第一、二、三象限，排除B、D两项，
故选：A．
直接利用反比例函数以及一次函数系数的正负与图象所在或所过象限的关系分析得出答案．
此题主要考查了反比例函数、一次函数的系数的正负与图象所在或所过象限的关系，熟知反比例
函数和一次函数的系数的正负与图象所在或所过象限的关系是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=8，BO=1
2
BD，
又AB=6，
∴BD=√AB2+AD2=√62+82=10，
∴BO=1
2
BD=5，
故选：C．
由矩形的性质得出∠BAD=90°，AD=BC=8，BO=1
2
BD，又AB=6，由勾股定理得出BD=√AB2+AD2=√62+82=10，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质，勾股定理；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：A、∠ADE=∠B，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故A选项不符合题意；B、∠AED=∠C，∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故B选项不符合题意；
C、AD
AE =AB
AC
，即AD
AB
=AE
AC
，且夹角∠A=∠A，则可判断△ABC∽△ADE，故C选项不符合题意；
D、DE
BC =AE
AC
，缺少条件∠AED和∠ACB相等，则不能确定△ABC∽△ADE，故D选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得：500(1+x)2=800，
故选：D．
设“海水稻”的平均亩产量的年平均增长率为x，根据“2018年平均亩产量×(1+平均亩产量的年平均增长率)2=2020年平均亩产量”，即可列出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解
题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，
∴选项A不符合题意；
B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
∴选项B符合题意；
C、∵矩形的四个角都是直角，
∴矩形的四个内角都相等，
∴选项C不符合题意；
D、∵四个内角都相等的四边形中四个角都是直角，
∴四个内角都相等的四边形是矩形，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：∵点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=−6
x
的图象上，
∴y1=−6
−1=6，y2=−6
2
=−3，y3=−6
3
=−2，
又∵6>−2>−3，
∴y1>y3>y2.
故选：C ．
9.【答案】C
【解析】解：∵5只牛、2只羊，共价值10两，
∴5x +2y =10；
∵2只牛、5只羊，共价值8两，
∴2x +5y =8．
∴可列方程组为{5x +2y =102x +5y =8
． 故选：C ．
利用总价=单价×数量，结合“5只牛、2只羊，共价值10两；2只牛、5只羊，共价值8两”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵x 2−17x +70=0，
∴(x −10)(x −7)=0，
∴x −10=0，x −7=0，
∴x 1=10，x 2=7，
∵4+6=10>7，
∴由三角形的三边关系可知三边长4，6，10无法构成三角形，而三边长4，6，7可以构成三角形， ∴此三角形的周长是：4+6+7=17，
故选：B ．
根据第三边是方程x 2−17x +70=0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出此三角形的三边长即可．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．
11.【答案】48
【解析】解：由题意得：
(9−1)×(7−1)=8×6=48(m2)，
∴绿化面积共有48m2，
故答案为：48．
利用平移可得绿地部分的长为(9−1)m，宽为(7−1)m，然后进行计算即可．
本题考查了生活中平移现象，根据题目的已知条件并结合图形分析绿地部分的长和宽是解题的关键．
12.【答案】k<−1
【解析】
【分析】
本题考查了一元二次方程根的判别式，需要掌握一元二次方程没有实数根相当于判别式小于零．根据根的判别式即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：Δ=4+4k<0，
∴k<−1，
故答案为k<−1．
13.【答案】31
【解析】解：由题意得：△CDE∽△CAB，
∴CE：CB=DE：AB，
∵CE=3.1m，EB=58.9m，ED=1.55m，
∴3.1：62=1.55：AB，
解得：AB=31m，
故答案为：31．
利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大．
14.【答案】6
【解析】解：由作法得∠ACM=∠ABC，
∵∠CAM=∠BAC，
∴△ACM∽△ABC，
∴AC AB =AM
AC
，即AC
9
=4
AC
，
∴AC=6．
故答案为：6．
利用基本作图得到∠ACM=∠ABC，加上∠CAM=∠BAC，于是可判断△ACM∽△ABC，然后利用相似比计算AC的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了基本作图．
15.【答案】解：(1)∵x2+5x−6=0，
∴(x+6)(x−1)=0，
则x+6=0或x−1=0，
解得x1=−6，x2=1；
(2)∵2x(x+2)=(x+2)，
∴2x(x+2)−(x+2)=0，
则(x+2)(2x−1)=0，
∴x+2=0或2x−1=0，
解得x1=−2，x2=0.5．
【解析】(1)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；
(2)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
16.【答案】解：去分母得：x2−2(x+1)=1，
整理得：x2−2x−3=0，
即(x−3)(x+1)=0，
x−3=0，x+1=0，
解得：x1=−1，x2=3，
检验：把x=−1代入得：x+1=0；
把x=3代入得：x+1≠0，
∴x=−1是增根，分式方程的解为x=3．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17.【答案】(1)50，
补全统计图如下：
．
(2)列表得：
男1男2女1女2
男1--男2男1女1男1女2男1
男2男1男2--女1男2女2男2
女1男1女1男2女1--女2女1
女2男1女2男2女2女1女2--
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，其中所选取的这2名学生恰好性别相同结果的有4种，
∴所选取的这2名学生恰好性别相同的概率为4
12=1
3
．
【解析】(1)解：∵本次调查的总人数为4÷8%=50(人)，
∴12月份读书2册的学生有50×34%=17(人)，
读书3册的人数为50−(9+17+4)=20(人)，
故答案为：50，补全的条形统计图见答案．
(2)见答案．
(1)由4册的人数及其百分比求得总人数，即可求得参加本次调查的学生共有多少人；由12月份读书2册的学生有50×34%=17(人)，读书3册的人数为50−(9+17+4)=20(人)，由此即可补全条形统计图如答案(1)所示；
(2)列表，共有12种等可能出现的结果，其中所选取的这2名学生恰好性别相同的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是画树状图或列表法求概率．列表法法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了扇形统计图和条形统计图．
18.【答案】解：∵方程x2−2(k−1)x+k=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=2(k−1)，x1x2=k．
∵x1+x2=x1x2+2，
∴2(k−1)=k+2，
解得：k=4．
当k=4时，方程为x2−6x+4=0，
此时Δ=(−6)2−4×1×4=36−16=20>0，
∴k=4符合题意．
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得出x1+x2=2(k−1)，x1x2=k，结合x1+x2= x1x2+2可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及其成立的条件，根据根与系数的关系结合x1+x2= x1x2+2列出关于k的一元一次方程是解题的关键．注意一元二次方程的根与系数的关系成立的条件：一元二次方程的根的判别式Δ=b2−4ac⩾0．
19.【答案】(1)证明：在△ABC中，点D是AC的中点，
∴AD=CD，
∵AF//BC ，
∴∠FAD =∠ECD ，∠AFD =∠CED ，
在△AFD 和△CED 中，
{∠FAD =∠ECD ∠AFD =∠CED AD =CD
, ∴△AFD ≌△CED(AAS)，
∴AF =CE ，
∵AF//BC ，
∴AF = //
CE ，
∴四边形AECF 是平行四边形，
又∵DE ⊥AC ，
∴EF ⊥AC ，
∴平行四边形AECF 是菱形．
(2)解：由(1)得：四边形AECF 是菱形，
∴AE =CF =4，AE//CF ，∠ECF =∠FAE =2∠FAC =60°，
∴∠AEB =∠ECF =60°，
∵AF//BC ，
∴∠ACB =∠FAC =30°，
∵CA ⊥AB ，
∴∠BAC =90°，
∴∠B =90°−∠ACB =60°，
∴△ABE 是等边三角形，
∴AB =AE =4．
【解析】(1)证△AFD ≌△CED(AAS)，得AF = //CE ，则四边形AECF 是平行四边形，再由EF ⊥AC ，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AE =CF =4，AE//CF ，∠ECF =∠FAE =2∠FAC =60°，再证△ABE 是等边三角形，则可求得AB 的长．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角
形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明△AFD≌△CED是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵A(2,4)是正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=m
x
的图象的交点．
∴4=2k，4=m
2
，
∴k=2，m=8，
∴反比例函数的解析式为为y=8
x
，正比例函数的解析式为y=2x．
(2)如图：
，
过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，则S△AOM=S△BON=1
2
×8=4，
∵S△AOB=S△AOM+S
梯形AMNB −S△BON=S
梯形AMNB
，且△OAB的面积为15，
∴1
2
(AM+BN)⋅MN=15，
设B(8
n
,n)，由图和题意得n>0，∵A(2,4)，
∴1 2(4+n)(8
n
−2)=15，
整理得n2+15n−16=(n−1)(n+16)=0，
解得n1=1，n2=−16(由图和题意得n>0，故n2=−16舍去)，
∴B(8,1)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据题意S△AOB=S△AOM+
S
梯形AMNB −S△BON=S
梯形AMNB
，设B(8
n
,n)，又A(2,4)，于是得到1
2
(4+n)(8
n
−2)=15，整理得n2+
15n−16=0，解得n=1，即可求得点B的坐标．注意：由图和题意得n>0，故n2=−16舍去．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数k的几何意义，函数与方程思想的综合应用，转化思想的利用是解题的关键．
21.【答案】18
【解析】解：根据根与系数的关系得a+b=4，ab=2，
所以a2+b2+3ab=(a+b)2+ab=42+2=18．
故答案为：18．
利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=2，再根据完全平方公式变形得到a2+b2+3ab=(a+ b)2+ab，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+ x2=−b
a
，x1x2=c a．
22.【答案】2000
【解析】解：则估计池塘里共有鱼200÷10
100
=2000(条)，
故答案为：2000．
用原做标记的鱼的数量除以所抽取样本中做标记的鱼的数量所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
23.【答案】24
【解析】解：由题意得，△ABC∽△A′B′C′，
∵平面q到平面n的距离是平面n到平面m的距离的2倍，
∴△ABC的周长△A′B′C′的周长=1
2，
∵△ABC的周长=12cm，
∴△A′B′C′的周长=24cm，
故答案为：24．
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，即可得到结论．本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】16√33 【解析】解：设M 点的坐标为(a,4a )， ∵直线y =−√3x +m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，
∴A 点坐标为(0,m)，B 点坐标为(√33m,0)， ∵C 点和M 点的纵坐标同为4a ，把y =4
a 代入直线y =−√3x +m ，得x =√33(m −4a
)， ∴点C 的横坐标为√33(m −4a )，C(√33(m −4a ),4a ) 同理可得D 点的坐标为(a,m −√3a)，
∴AD =√a 2+(m −m +√3a)2=2a ，BC =√[
√33m −√33(m −4a )]2+(4a )2=8√33a ， ∴AD ⋅BC =2a ×
8√33a =16√33， 故答案为16√33
． 先设M 点的坐标为(a,4
a )，再根据直线y =−√3x +m 的解析式可用m 表示出A 、B 两点的坐标，把
y =4
a 代入直线y =−√3x +m 即可求出C 点的横坐标，同理可用a 和m 表示出D 点坐标，，再根据勾股定理即可求出AD 和BC 的值，进而求出AD ⋅BC 的值．
本题主要考查反比例函数的综合题，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质很重要，先设出M 点坐标，用a ，m 表示出C 、D 两点的坐标是解答此题的关键．
25.【答案】2√2
【解析】解：如图，在BC 的下方作∠CBT =30°，BT =AD ，连接ET ，AT ．
∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°，
∴∠ADC =∠ABC =60°，∠ADF =1
2
∠ADC =30°， ∵在△ADF 和△TBE 中，AD =TB ，∠ADF =∠CBT =∠TBE =30°，DF =BE ，
∴△ADF≌△TBE(SAS)，
∴AF=TE，
∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60°+30°=90°，AB=AD=BT=2，
∴AT=√AB2+BT2=√22+22=2√2，
∵AE+AF=AE+TE≥AT，
∴AE+AF≥2√2，
∴AE+AF的最小值为2√2，当且仅当点A、F、E、T四点共线时，AE+AF的值最小为2√2，
故答案为2√2．
如图，在BC的下方作∠CBT=30°，BT=AD，连接ET，AT.证明△ADF≌△TBE(SAS)，推出AF=TE，AE+AF=AE+TE，根据AE+TE≥AT求解即可．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短这一公理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于填空题中的压轴题．
26.【答案】解：(1)由题意得：每天能售出(480+40x)千克，0≤x≤15，
答：若降价x(0≤x≤15)元，每天能售出(480+40x)千克．
(2)根据题意得：(25−x−10)(480+40x)=7280，
化简整理得：x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0，
解得：x1=1，x2=2，
∵尽量减少库存，且0≤x≤15，
∴取x=2，
答：售价应降低2元．
【解析】(1)由每天能售出480千克+每天可多售出40x千克，即可得到结论；
(2)根据(售价−降价−成本)×每天的销售量=每天获利，即可列出方程，解方程即可求出售价应降低多少元．
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据(售价−降价−成本)×每天的销售量=每天获利，列出方程是解决问题的关键．
27.【答案】(1)CF=2HO，HO⊥CF．
(2)证明：当k=1，∠AOD≠90°时，(1)中的结论仍然成立，
理由：延长OH至点M，使HM=HO，连接DM，延长HO交CF于点N，如图，
则MO=2HO．
∵HO是△AOD的中线，
∴AH=DH，
在△AOH和△DMH中，
{AH=DH
∠AHO=∠DHM HO=HM
,
∴△AOH≌△DMH(SAS)，
∴AO=DM，∠AOH=∠DMH，
∴AO||DM．
∴∠AOD+∠ODM=180°．
∵∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOD+∠FOC=3600−900−900=1800，∴∠ODM=∠FOC．
由(1)知：AO=CO=OC，DO=FO．
∵AO=DM，
∴DM=OC．
在△ODM和△FOC中，
{DM=OC
∠ODM=∠FOC OD=FO
，
∴△ODM≌△FOC(SAS)，
∴OM=FC，∠MOD=∠CFO=∠NFO．
∵OM =2HO ， ∴FC =2HO ．
∵∠MOD +∠DOF +∠NOF =180°，∠DOF =90°， ∴∠MOD +∠NOF =90°， ∴∠NOF +∠NFO =90°， ∴∠ONF =90°， ∴NO ⊥CF ，
又延长HO 交CF 于点N ， ∴NO 与HO 共线， ∴HO ⊥CF ．
∴当k =1，∠AOD ≠90°时，(1)中的结论仍然成立．
(3)解：HO ，CF 的数量关系是：CF =2kHO ，位置关系是：HO ⊥CF ． 理由：延长OH 至点G ，使HG =HO ，连接DG ，延长HO 交CF 于点K ，如图，
则GO =2HO ． 在△AOH 和△DGH 中，
{AH =DH
∠AHO =∠DHG HO =HG
, ∴△AOH ≌△DGH(SAS)，
∴AO =DG =GD ，∠AOH =∠DGH ， ∴AO||DG ，
∴∠AOD +∠ODG =180°． ∵∠AOC =∠DOF =90°， ∴∠AOD +∠COF =180°， ∴∠ODG =∠COF ．
∵CO AO =FO
DO
=FO
OD
=k，
∴CO GD =FO
OD
=k．
∵∠FOC=∠ODG，∴△FOC∽△ODG，
∴CF GO =FO
OD
=k，∠OFC=∠DOG，
∴∠GOD=∠CFO=∠KFO，
∴CF=kGO，
∵GO=2HO，
∴CF=2kHO．
∵∠GOD+∠DOF+∠KOF=180°，∠DOF=90°，
∴∠GOD+∠KOF=90°，
∴∠KFO+∠KOF=90°，
∴∠OKF=90°，
∴KO⊥CF，
又延长HO交CF于点K，
∴KO与HO共线，
∴HO⊥CF．
∴HO，CF的数量关系是：CF=2kHO，位置关系是：HO⊥CF．
【解析】(1)解：HO，CF的数量关系是：CF=2HO，位置关系是：HO⊥CF．理由：连接HO并延长交CF于点L，如图，
当k=1且∠AOD=90°时，
CO AO =FO
DO
=1，
∴AO=CO，DO=FO，
∴矩形AOCB和矩形ODEF为正方形．
∴∠AOC =∠DOF =90°， ∴∠COF =90°， 在△AOD 和△COF 中，
{AO =CO
∠AOD =∠COF =90°DO =FO
, ∴△AOD ≌△COF(SAS)， ∴AD =CF ，∠OAD =∠OCF ． ∵HO 是△AOD 的中线，∠AOD =90°， ∴HO =12
AD ， ∴HO =12CF ， 即CF =2HO ． ∵HO =HA ， ∴∠OAH =∠AOH ．
又∠OAH =∠OAD ，∠OAD =∠OCF ， ∴∠AOH =∠OCF =∠OCL ．
∵∠AOH +∠AOC +∠COL =180°，∠AOC =90°， ∴∠COL +∠AOH =90°， ∴∠COL +∠OCL =90°． ∴∠CLO =90°， ∴OL ⊥CF ，
又连接HO 并延长交CF 于点L ， ∴HO 与OL 共线， ∴HO ⊥CF ．
∴HO ，CF 的数量关系是：CF =2HO ，位置关系是：HO ⊥CF ． 故答案为：CF =2HO ，HO ⊥CF ． (2)见答案； (3)见答案．
(1)连接HO 并延长交CF 于点L ，通过证明△AOD ≌△COF(SAS)可得AD =CF ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CF =2HO ；通过计算可得∠CLO =90°，则OH ⊥CF ；
(2)当k=1，∠AOD≠90°时，(1)中的结论仍然成立，延长OH至点M，使HM=HO，连接DM，
延长HO交CF于点N，通过证明△AOH≌△DMH可得AO=DM，进而得到DM||AO，利用同角的补角相等可得∠ODM=∠FOC，易证△ODM≌△FOC，则CF=MO=2HO；用与(1)相同的方法通
过计算得到∠ONF=90°，则HO⊥CF；
(3)延长OH至点G，使HG=HO，连接DG，延长HO交CF于点K，用(2)中的方法证明△AOH≌△DGH，
得到AO=DG，∠AOH=∠DGH，AO||DG，易证△FOC∽△ODG，则FC
OG =FO
OD
=k，∠OFC=∠DOG，
于是FC=kOG=2kHO；用(1)中的方法通过计算得到∠OKF=90°，则HO⊥CF．
本题是三角形相似的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，互补角的性质，延长中线OH的一倍(倍长中线)构造全等三角形是解决此类问题常添加的辅助线，也是解题的关键．
28.【答案】解：(1)B(4,0)．
(2)如图，过点C作CG⊥y轴于G，过点D作DH⊥y轴于H，
，
∴CG//DH，
∴△ACG∽△ADH，
∴AC AD =CG
DH
，
∵AD=3AC，
∴DH=3CG，
设C(m,2
m
)，
则D(3m,2
3m
)，
∵点C，D在直线y=kx−4k上，
∴{km−4k=2
m
3km−4k=2
3m
，
解得m=1，k=−2
3
，
∴k=−2
3
．
(3)∵直线y=kx−4k与双曲线y=2
x
的交点为C，D点，
∴kx−4k=2
x
，
∴kx2−4kx−2=0，
此时Δ1=(−4k)2−4k·(−2)=16k2+8k=8k(2k+1)>0，
∴k<−1
2
或k>0，
设C、D两点的横坐标为m、n，
则m+n=4，mn=−2
k
，
如图，过点C作CP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
，
当∠CND=90°时，△CPN∽△NQD，
∴CP NQ =PN
QD
，
设N(x,0)，
则
2
m
n−x
=x−m2
n
，
整理得x2−(m+n)x+mn+4
mn
=0，
∵m+n=4，mn=−2
k
，
∴x2−4x−2
k
−2k=0，
当Δ2=(−4)2−4(−2k −2k)=16+8
k +8k =0时，化简得k 2+2k +1=(k +1)2=0， ∴当k =−1<−12
时，存在唯一的点N ，满足∠CND =90°， 此时x 2−4x +4=0， ∴x 1=x 2=2， ∴N(2,0)．
【解析】(1)当y =0时，kx −4k =0，∴x =4；将y =0代入y =kx −4k 中，即可得出点B 的坐标；
(2)过点C 作CG ⊥y 轴于点G ，过点D 作DH ⊥y 轴于点H ，得△ACG∽△ADH ，则
AC AD
=
CG DH ，设C(m,2m
)，则D(3m,2
3m
)，由点C ，D 在直线y
=kx −4k 上，得{km −4k =
2
m
3km −4k =
23m
，解方程即可求得k 的值；
(3)由直线y =kx −4k 与双曲线y =2x
的交点为C ，D 点，得kx −4k =2x
，设C 、D 两点的横坐标为m 、n ，则m +n =4，mn =
−2k ，设N(x,0)，则2
m
n−x
=
x−m
2n
，化简得x 2−4x −2
k
−2k =0，当Δ2=
(−4)2−4(−2
k −2k)=16+8
k +8k =0时，可知k =−1时，存在唯一的点N ，满足∠CND =90°，从而解决问题．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，相似三角形的判定与性质等知识，熟练运用一元二次方程的根的判别式是解题的关键．。