上海交大概率05选用

上 海 交 通 大 学概率论与数理统计试卷 (A) 2005.6.22姓名： 班级： 学号： 得分：一.选择题（18分，每题3分）1. 如果 1)()(>+B P A P ，则 事件A 与B 必定 （ ）)(A 独立； )(B 不独立； )(C 相容； )(D 不相容.2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4； 0.3；0.2；0.1。

现任选4人，则4人血型全不相同的概率为： （ ）)(A 0.0024； )(B 40024.0； )(C 0. 24； )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ⎩⎨⎧<+=.,0,1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （ ）)(A 独立同分布的随机变量； )(B 独立不同分布的随机变量； )(C 不独立同分布的随机变量； )(D 不独立也不同分布的随机变量.4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 （ ）)(A 4934与； )(B 16934与； )(C 4941与； (D) 9434与． 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本，以下μ的四个估计量中最有效的是（ ）)(A 32112110351ˆX X X ++=μ； )(B 3212949231ˆX X X ++=μ； )(C 3213216131ˆX X X ++=μ； )(D 32141254131ˆX X X ++=μ． 6. 检验假设222201:10,:10H H σσ≤>时，取统计量)(~10)(22212n Xini χμχ-=∑=，其拒域为（1.0=α） （ ）)(A )(21.02n χχ≤；)(B )(21.02n χχ≥；)(C )(205.02n χχ≤；)(D )(205.02n χχ≥.二. 填空题（15分，每题3分）1. 已知事件A ，B 有概率4.0)(=A P ，5.0)(=B P ，条件概率3.0)|(=A B P ，则=⋃)(B A P ．2. 设随机变量X 的分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+c b a 4.01.02.04321，则常数c b a ,,应满足的条件 为 .3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，试用),(y x F 表示概率=>>),(b Y a X P .4. 设随机变量)2,2(~-U X ，Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数，则=)(Y E ，=)(Y D . 5．设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2σμN X 中抽取的样本，则 概率 =≤-≤∑=)76.1)(37.0(222012012σσX XP ii .5. 设n X X X ,,,21 为正态总体),(2σμN （2σ未知）的一个样本，则μ的置信 度为1α－的单侧置信区间的下限为 . 三. 计算题 （54分，每题9分）1．自动包装机把白色和淡黄色的乒乓球混装入盒子，每盒装12只，已知每盒内装有的白球的个数是等可能的。

为检查某一盒子内装有白球的数量，从盒中任取一球发现是白球，求此盒中装的全是白球的概率。

2．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为1,02,max{0,1}min{1,}(,)0,x x y x f x y otherwise≤≤-≤≤⎧=⎨⎩ 求：边缘密度函数(),()X Y f x f y .3. 已知随机变量X 与Z 相互独立，且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ，Z X Y +=， 试求：(),(),XY E Y D Y ρ.4. 学校食堂出售盒饭，共有三种价格4元，4.5元，5元。

出售哪一种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为0.3，0.2，0.5。

已知某天共售出200盒，试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。

5. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈+=)1,0(,0)1,0(,)1(),(x x x x f θθθ 1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本。

求：(1) 未知参数θ的矩估计量； (2) 未知参数θ的极大似然估计量； (3) )(X E 的极大似然估计量.6. 为改建交大徐汇本部中央绿地，建工学院有5位学生彼此独立地测量了中央绿地的面积，得如下数据（单位：2km ） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23 设测量误差服从正态分布.试检验（0.05α=）（1） 以前认为这块绿地的面积是μ=1.232km ，是否有必要修改以前的结果？ （2） 若要求这次测量的标准差不超过0.015σ=，能否认为这次测量的标准差显著偏大？四. 证明题 （6分） 设12,,,,n X X X 是相互独立且都服从区间],0[θ上的均匀分布的随机变量序列，令1max{}n i i nY X ≤≤=，证明 1)(lim =<-∞→εθn n Y P .五．是非题（7分，每题1分）1. 设样本空间{}4321,,,ωωωω=Ω，事件{}431,,ωωω=A ，则75.0)(=A P . （ ）2. 设n 次独立重复试验中，事件A 出现的次数为X ，则 5n 次独立重复试验中，事件A 出现的次数未必为5X . （ ） 3．设a , b 为常数，F (x )是随机变量X 的分布函数. 若F (a ) < F (b ),则 a < b . （ ） 4. 若随机变量)5.0;1,0;1,0(~),(-N Y X ，则 )1,0(~N Y X + （ ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件. （ ） 6. 若随机变量),(~m m F X ，则概率)1(≤X P 的值与自然数m 无关. （ ） 7．置信度α-1确定以后，参数的置信区间是唯一的. （ ）附 分布数值表99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ0150.2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ概率统计试卷A (评分标准) 2005.6.22一. 选择题（15分，每题3分） [ 方括弧内为B 卷答案 ]C A CD D D . . [ A D B C A ] 二. 填空题（18分，每题3分）1. 62.0 [84.0]；2.. 0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 [0,3.0,2.0,4.0≥-≥≤=+-c b a c a b 且]； 3. ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+ [)22,(),6()22,6(1+∞-∞+-+F F F ]； 4. 4/,2/m m [ 4/,2/n n ] ；5. 985.0 [)1(-+m t mS X α]； 6. )1(--n t nS X α [98.0].五. 是非题（7分，每题1分）非 非 是 是 是 是 非. [ 是 非 是 非 非 非 是 ] 三.计算题（54分，每题9分）1． 解：令 A={抽出一球为白球}， t B ={盒子中有t 个白球}，12,,2,1,0 =t . 由已知条件，131)(=t B P ，12)(tB A P t =,12,,2,1,0 =t ， [ 111)(=t B P ,10)(tB A P t =,10,,2,1,0 =t ] （3分） 由全概率公式，∑∑====12012012131)()()(t t t t t B A P B P A P , [∑==10010111)(t tA P ] （3分） 由Bayes 公式，132)()()()(1212131131121212===∑=t t A P B A P B P A B P . [ 112)(10=A B P ] (3分)2. 解： ,01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩[1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈⎧=⎨∉⎩ （4分）] （5分）1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈⎧=⎨∉⎩ [,01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩（5分）] （4分） 3．解： 11111(),()()()222020E X E Y E X E Z ==+=+= （3分）cov(,)(())()()1()12X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+==11101()()()()1212001200D Y D X Z D X D Z =+=+=+= [15013] （3分）1XYρ==[2625] （3分） 4．解：设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i = ，则总价2001ii X X==∑ （1分）() 4.6,()0.19i i E X D X == （2分）2001()()200 4.6920ii E X E X ===⨯=∑.2001()()2000.1938ii D X D X ===⨯=∑. （2分）(910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=⨯-=[ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ] （4分）5．解：（1） 矩估计量 12ˆ1X X θ-=- [ ˆ1XXθ=- ] （3分） （2） 极大似然估计量 11ˆ11ln ni i X n θ==--∑ [11ˆ1ln ni i X n θ==-∑] （3分）（3） )(X E 的极大似然估计量∑=-=++=n i iX X E 11ln 112ˆ1ˆ)(ˆθθ [ 1ln 11ˆˆ)(ˆ11-=+=∑=ni iXX E θθ ] （3分）7. 解：（1）假设 01: 1.23;: 1.23H H μμ=≠. [ 01: 1.20;: 1.20H H μμ=≠ ] （1分） 当0H 为真，检验统计量 )1(~/0--=n t nS X T μ （3分）0.0252(1)(4) 2.7764t n t α-== ， 拒绝域 (, 2.7764][2.7764,)W =-∞-⋃+∞ （3分）221.246,0.0288x s ==， [ 221.23,0.0224x s == ]0 1.242T W =∉，接受0H . [ W T ∈=571.30，拒绝0H ] （2分）（2）假设 222201:0.015;:0.015H H σσ=>. （1分）当0H 为真，检验统计量)1(~)1(2222--=n S n χσχ （3分）220.05(1)(4)9.488n αχχ-==， 拒绝域 [9.488,)W =+∞. （3分） 2014.86W χ=∈，拒绝0H . （2分）四．证明题证： ⎩⎨⎧∉∈=],0[,0],0[,/1)(~θθθx x x f X i 0,0(),01,1x x F x x x θθ<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩1max{}n i i nY X ≤≤=的密度为 1,[0,]()0,[0,]n n nY ny y f x y θθθ-⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩（3分）0ε∀>11||00(||)()(1)0,n n n nny nn nny ny P Y dy dyas n θεθεθεθθθεεθθ----≥<-≥==-==-→→∞⎰⎰即0)(lim =≥-∞→εθn n Y P ， 所以 1)(lim =<-∞→εθn n Y P . （3分）。