市东城区高三总复习数学练习
东城区2019-2020第二学期高三综合练习(一)数学含答案
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2020.5本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么AB =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2(2) 函数22()1x f x x -=+的定义域为 (A) -(,]12 (B) [,)2+∞ (C) -(,)[,)11+-∞∞ (D) -(,)[,)12+-∞∞ (3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-(4) 若双曲线222:1(0)-=>y C x b b的一条渐近线与直线21=+y x 平行，则b 的值为(A) 1 (B)2 (C)3 (D) 2 (5) 如图所示，某三棱锥的正（主）视图、俯视图、侧（左）视 图均为直角三角形，则该三棱锥的体积为 (A)4 (B)6(C)8(D)12(6) 已知1x <-，那么在下列不等式中，不．成立的是 (A) 210x -> (B) 12x x+<- (C) sin 0x x -> (D) cos 0x x +>正（主）侧（左）俯视(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周. 若点M 的初始位置坐标为(,1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)()3122 (B) (,-1322(C) ()312(D) ()-312(8) 已知三角形ABC ，那么“+AB AC AB AC >-”是“三角形ABC 为锐角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9) 设O 为坐标原点，点(,)10A ，动点P 在抛物线y x =22上，且位于第一象限，M 是线段PA 的中点，则直线OM 的斜率的范围为(A) (0]，1 (B) 2(02， (C) 2(02， (D)2[)+∞(10) 假设存在两个物种，前者有充足的食物和生存空间，而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者，后者为捕食者. 现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型. 假设捕食者的数量以()x t 表示，被捕食者的数量以()y t 表示.下图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系，其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是：(A) 若在12t t ，时刻满足：12()=()y t y t ，则12()=()x t x t ；(B) 如果()y t 数量是先上升后下降的，那么()x t 的数量一定也是先上升后下降；(C) 被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值； (D) 被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时，被捕食者的数量也会达到最大值.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京东城区高三数学三模试题
北京东城区高三数学三模试题北京市东城区_年高三总复习练习(三)数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号.考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式:三角函数的和差化积公式正棱台.圆台的侧面积公式其中c ‘.c分别表示上.下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式:其中S’ .S分别表示上.下底面积,h表示高.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)若互不相等的三个实数a.b.c成等差数列,a.c.b成等比数列,则a:b:c等于(A) 1:2:3(B)3:1:2(C) 4:1:2(D)4:1:(-2)(2)(理)已知,则_等于(A)(B)(C)(D)(2)(文)的值是(A) (B)(C) (D)(3)复数的共轭复数的平方等于(A) (B)(C) (D)(4)已知异面直线a.b分别在平面α.β内,且a∩β=c,那么直线c(A) 与a.b都相交(B)与a.b 都不相交(C)只与a.b中的一条相交(D)至少与a.b中的一条相交(5)(理)已知圆心的极坐标为(a,π)(a_gt;0),则过极点的圆的极坐标方程为(A)ρ=2αsinθ(B)ρ=-2αsinθ(C)ρ=2αcosθ(D)ρ=-2αcosθ(5)(文)以(5,6)和(3,-4)为直径端点的圆的方程是(A)(B)(C)(D)(6)圆台母线与底面成45°角,侧面积为,则它的轴截面面积是(A) 2 (Ｂ)3(C) (D)(7)在同一坐标系中,方程和(a.b均为正实数)所表示的曲线只可能是下列四个图形中的(8)把函数y=f(_)的图象沿着直线_+y=0的方向向右下方平移个单位,得到函数的图象,则(A)(B)(C)(D)(9)如图,四边形ABCD中,AD//BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中,下列命题正确的是(A)平面ABD⊥平面ABC(B)平面ADC⊥平面BDC(C)平面ABC⊥平面BDC(D)平面ADC⊥平面ABC(10)在平面直角坐标系中有6个点,它们的坐标分别为(0,0),(1,2),(-1,-2)(2,4)(-2,-1),(2,1)则这6个点可确定不同三角形的个数为(A)14 (B) 15(C) 16 (D) 20(11)椭圆的焦点为和,点P在椭圆上,如果线段的中点在y轴上,那么的值为(A)7:1 (B)5:1(C) 9:2 (D) 8:3(12)已知函数y=f(_)与互为反函数,与y=g(_)的图象关于直线y=_对称.若,(__gt;0),则等于(A)1 (B) -1(C) 3 (D) -3第Ⅱ卷 (非选择题共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13)sin80°cos35°-sin10°cos55°的值等于________________.(14) 已知抛物线的准线方程是_=-3,那么抛物线的焦点坐标是_________.(15)已知,当时,有,则a.b的大小关系是___________________.(16)一圆柱被一平面所截,截口是一个椭圆.已知椭圆的长轴长为5,短轴长为4,被截后几何体的最短侧面母线长为1,则该几何体的体积等于_____________.三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)已知:△ABC中,C=120° c=7,a+b=8 .求:cos(A-B)的值.(18) (本小题满分12分)已知函数y=f(_)对任意实数,,都有,且当__gt;0时,f(_)_lt;0.(Ⅰ)试判断函数y=f(_)的奇偶性,并给出证明;(Ⅱ)试判断函数y=f(_)的单调性,并给出证明.(19).(本小题满分12分)在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形.这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的,并且这三个四边形也全等,如图①.若用剩下的部分拆成一个无盖的正三棱柱形容器,如图②.则当容器的高为多少时,可使这个容器的容积最大,并求出容积的最大值.(20).(本小题满分12分)已知三棱锥p—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,D.F分别为AC.PC的中点,DE⊥AP于E.(Ⅰ)求证:AP⊥平面BDE;(Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面BDF;(Ⅲ)若AE:EP=1:2,求截面BEF分三棱锥P—ABC所成两部分的体积比.(21)(本小题满分12分)已知直线l与椭圆(a_gt;b_gt;0)有且仅有一个交点Q,且与_轴.y轴分别交于R.S,求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程.(22)(本小题满分14分)已知数列的通项公式(n∈N),它的前n项和记为,数列是首项为3,公差为1的等差数列.(Ⅰ)求与的解析式;(Ⅱ)试比较与(n∈N)的大小.北京市东城区_年高三总复习练习(三)高三数学参考答案及评分标准一.(1)D (2)D (3)B (4) D (5)D (6)B (7)D (8)A(9)D (10) B (11)A (12) D二.(13) (14)(1,0) (15)a_lt;b (16) 10π三.(17)解:由正弦定理,得----------------------------------------2分又由正弦定理及已知,得方程2R(sinA+sinB)=8---------------------------------------------------5分解得-------------------------------------------------9分∴,--------------------------------------------------12分(18)解:(Ⅰ)在关系式中,令,得.解得.同样,在已知关系式中,令, ,得f(_-_)=f(_)+f(-_),即f(_)+f(-_)=f(0)=0.∴函数f(_)是R上的奇函数.-------------------------------------------------6分(Ⅱ)任取.则.由,并由已知,得即则由函数单调性的定义,得y=f(_)是R上的减函数.------------------------------------------------------ 12分(19) 解:设容器的高为_.则容器底面正三角形的边长为--------------------------------2分∴---------------------4分-----------------------------------------------------------10分当且仅当,即时----------------------------------------------12分答:当容器的高为时,容器的容积最大,最大容积为.(20) (Ⅰ)证:∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.由AB=BC,D为AC的中点,得BD⊥AC.又PC∩AC=C ,∴BD⊥平面PAC.--------------------------------------2分又PA平面PAC,∴BD⊥PA.由已知,DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.-------------------------------------------------------4分(Ⅱ)证: 由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D.F分别为AC.PC的中点,得DF∥AP.又由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF---------------------------------------6分BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF. ----------------------8分(Ⅲ)解: 设点E和点A到平面PBC的距离分别为和.则--------------------------------------9分∴----------------------11分所以截面BEF分三棱锥P-ABC所成的两部分体积的比为1:2(或2:1)-----------12分(21)解:由已知,直线l不过椭圆的四个顶点.所以设直线l的方程为y=k_+m(k≠0).----------------------------------------------1分代入椭圆方程,得.化简后,得.-------------3分由已知,得△=0.即.①_shy;--------------------------------6分在直线方程y=k_+m中,分别令y=0,_=0,求得 S(0,m).令顶点P的坐标为(_,y),由已知,得解得_shy;--------------------------------10分代入①式并整理,得即为所求.------------------------------------------12分(22)解:(Ⅰ)由已知.∴,∴--------------2分,当n≥2时,.∴(Ⅱ)当n=1时,,,有.-------------------6分当n=2时,,,有---------------7分当n=3时,有---------------8分当n=4时,,有---------------9分当n=5时,,有猜想,当n≥4时,.证明如下:--------------------------------10分证明∵∴只需证明只需证明.只需证明.由平均值定理,有∴只需证明.只需证明.此不等式当n≥4时成立.所以当n≥4时成立.综上,当n=1或n≥4,n∈N时, ;当n=2和n=3时,------------------14分。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试题答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）C （2）D （3）C （4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12）y = （13）π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11AC 中点G ，连接,FG AG .在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B AC ，的中点，所以1111,AEB GFA AB ,111=2A GF B ,1112A A EB =.所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形， 所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分（Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC . 而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥， 所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F （1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = . 设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =− 设AP 与平面BEF所成的角为θ， 则1sin cos ,5AP AP AP n n nθ⋅=〈〉===⋅．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分 （17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 12==.又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... ...........................5分（II ）选择条件①：π4ADB ∠=.在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD ABB ADB=∠，得=， 所以AD =所以sin sin()BAD B ADB ∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯=. ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BDBD BD +=+−，解得 2BD =，所以11sin 1222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯=. ........................ ...............13分(18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率 12377()151025P A A =−⨯=（），所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分（III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B . 设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=. 因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫⎪⎝⎭.所以直线():24nAE y x m =++. 设()11,D x y ,由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=.所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+，所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭.因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32ny n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线． .................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+，所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+，11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分 (21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
市东城区高三总复习数学练习答案
市东城区高三总复习数学练习答案Newly compiled on November 23, 2020北京市东城区2002年高三总复习练习一参考答案及评分标准一、1．B二、13． 四 14.（x-1）2=4（y+1） 16.②三、17．证明：由已知，2b=a+c （2分）由正弦定理，得4RsinB=2RsinA+2RsinC （4分）即2sinB=sinA+sinC2cos 2sin 22cos 2sin4C A C A B B -+= 2cos 2sin 22sin 2cos 4C A C A C A C A -+=++ (10分) ∴02sin ≠+C A ∴2cos 2cos 2C A C A -=+ (12分) 18．解：（Ⅰ）由已知，将函数y=log 2（x+1）进行坐标变换x → x+1y →2y 得2y =log 2（x+1+1），y=2log 2（x+2） ∴g （x ）=2log 2（x+2） （x ＞-2） （4分）（Ⅱ）F （x ）=f （x-1）-g （x ）=log 2x-2log 2（x+2） （x ＞0）（6分）∴x ＞0，∴F （x ）≤381log 4421log 22-==+⋅x x （10分） 当且仅当，即x=2时取等号{∴F（x）max=F（2）=-3 （12分）19．（Ⅰ）证：由直三棱柱的性质，得平面ABC平面BB1C1C，又由已知，ABBC，∴AB⊥平面BB1C1C。
又B1D 平面BB1C1C， AB ⊥B1D 。
（2分）由已知，BC=CD=DC1=B1C1在RtBCD与RtDC1B1中可求得∠BDC=∠B1DC1=45O。
则∠BDB1=90O，即B1D⊥BD又AB∩BD=B，∴ B1D⊥平面ABD。
（4分）（Ⅱ）证：由EB1=B1F，在RtEB1F中，求得∠EFB1=45O又∠DBB1=45O。
∴EF//BD。
（5分）而BD平面ABD，EF平面ABD∴EF//平面ABD（6分）∵G、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴GF//A1B1 又A1B1//AB，则GF//AB。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)
一、单选题1. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率π约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破．若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则的值为（ ）A．B．C ．8D ．﹣82. 将图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则的一个对称中心为（ ）A．B．C．D．3. 已知双曲线：的两条渐近线与圆：的4个公共点按照逆时针方向依次为，，，，且点，在第一象限，若，则（ ）A．B．C．D．4.已知，则（ ）A．B．C．D．5. 药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t （单位：h ）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．7. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（）①在中点时，平面平面②异面直线所成角的余弦值为③在同一个球面上④，则点轨迹长度为A ．0B ．1C ．2D ．38. 我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音的2倍.已知#的频率为，的频率为，则（ ）北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)二、多选题三、填空题四、解答题A．B．C．D．9. 已知，则下列说法正确的是（ ）A．的最小值为B ．的最小值为C．的最大值为D．的最大值为10.如图，在正方体中，点在线段上运动，有下列判断，其中正确的是（）A ．平面平面B．平面C ．异面直线与所成角的取值范围是D ．三棱锥的体积不变11. 给出如下数据：第一组：3，11，5，13，7，2，6，8，9；第二组：12，20，14，22，16，11，15，17，18.则这两组数据的（ ）A ．平均数相等B ．中位数相等C ．极差相等D ．方差相等12.已知偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）．A ．函数是以2为周期的周期函数B ．函数是以4为周期的周期函数C ．函数为奇函数D ．函数为偶函数13. 已知，则__________．14. 正数，，满足，则的取值范围是______.15. 在△ABC 中，当取最大值时，△ABC 内切圆的半径为___.16. 如图，在三棱锥中，，，，，分别是，的中点，在上且.（I）求证：；（II）求直线与平面所成角的正弦值；（III）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.17. 已知函数.（1）若且函数为奇函数，求实数；（2）若试判断函数的单调性；（3）当，，时，求函数的对称轴或对称中心.18. 已知函数，是常数．（1）求曲线在点处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；（2）证明：时，有两个零点、，且．19. 在△中，，．（1）若点M是线段BC的中点，，求边的值；（2）若，求△的面积．20. 已知正方形的边长为2，点分别是，的中点，沿把折起得到几何体.（1）当时，求证：.（2）当平面平面时，求三棱锥的体积.21. 如图，点是的边上一点，且，．（1）求；（2）若的外接圆的半径为，求的面积．。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 某学校统计了10位同学一周的课外体育运动总时长（单位：小时），数据分别为6.3，7.4，7.6，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.7，8.8，则以下数字特征中数值最大的为（ ）A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数2. 学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（ ）A．B．C．D．3. 命题“，”的否定是（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，4. 已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（ ）A ．0B ．2C ．3D．5. 已知集合，则下列式子中正确的是（ ）A．B．C．D．6. 已知是上的奇函数，且当时，.若在上是增函数，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．7. 已知点A （2,0），圆，圆上的点P 满足，则a 的取值可能是（ ）A ．1B ．-1C．D ．08.数列的通项公式为，前项和为，下列结论中正确的是（ ）A．的最小值为B．存在正整数，使得C ．存在正整数，使得D．记，则数列有最小项9.已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为_________．10. 已知P 是双曲线上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于_______________11.满足的集合M 共有________个.12. 已知的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，则展开式中系数最大的项为______.（不用计算，写出表达式即可）13.已知函数为偶函数.北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(高频考点版)(1)求实数的值；(2)求不等式的解集.14. 如图，在平面四边形中，，，，．(1)求；(2)若的面积为，求．15. 已知为数列的前项和，且（，为常数），若，．求：(1)数列的通项公式；(2)的最值．16. 已知，，且与夹角为，求：(1)；(2)与的夹角的余弦值.。
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题含解析
2024年北京市东城区第十一中学高三数学第一学期期末复习检测模拟试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）A ．1B ．12C ．22D ．522．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B 42C 2D ．2333．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =- ） A ．0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2D ．[]1,34．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．65．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50506．已知函数()3sin ,f x x a x x R =+∈，若()12f -=，则()1f 的值等于（ ） A ．2B ．2-C ．1a +D ．1a -7．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．228．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 9．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤10．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i11．以下关于()sin 2cos 2f x x x =-的命题，正确的是 A ．函数()f x 在区间20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．直线8x π=需是函数()y f x =图象的一条对称轴C ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心D ．将函数()y f x =图象向左平移需8π个单位，可得到2sin 2y x =的图象 12．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市东城区4月高三年综合练习数学理科试题
北京市东城区高三综合练习（一）数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若将复数i i +2表示为abi b a bi a 则的形式是虚数单位,),,(R ∈+的值为 （ ）A ．－2B ．－21C ．2D ．212．命题甲“βαsin sin >”，命题乙“βα>”，那么甲是乙成立的（ ）A ．充分不必在条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设A 、B 为x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程x -y+1=0，则直线PB 的方程为 （ ） A ．2x +y -7=0 B ．2x -y -1=0 C ．x -2y +4=0 D ．x +y -5=04．若非零向量a 、b 满足|a +b |=|b |，则下列不等式关系一定成立的是 （ ） A ．|2a |>|2a +b | B ．|2a |<|2a +b | C ．|2b |>|a +2b | D ．|2b |<|a +2b |5．已知函数kx x x f +=2)(的图像在点A （1，f （1））处的切线与直线3x-y+2=0平行，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为S n ，则S 2009的值为 （ ）A ．20082007B ．20092008C ．20102009D ．201120106．数列{a n }共有6项，其中三项是1，两项为2，一项是3，则满足上述条件的数列共有（ ） A ．24个 B ．60个 C ．72个 D ．120个 7．已知命题：“若x ⊥y ，y//z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形不能 （ ） A ．都是直线 B ．都是平面 C ．x 、y 是直线，z 是平面 D ．x 、z 是平面，y 是直线 8．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．若11lim21-=++→x ax x ，则a = . 10．若二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22的展开式共7项，则展开式中的常数项为 .11．如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以G 、F 为焦点的双曲线恰好经过A ，B ，D ，E 四点，则该双曲线的离心 率为 . 12．关于函数21)sin (cos sin )(+-=x x x x f 给出下列三个命题： （1）函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡85,2ππ上是减函数；（2）直线8π=x 是函数)(x f 的图象的一条对称轴；（3）函数)(x f 的图象可以由函数x y 2sin 22=的图象向左平移4π而得到.其中正确的命题序号是 .（将你认为正确命题序号都填上）13．已知正三棱锥P —ABC 的四个顶点都在同一球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，若正三棱锥高为1，则球的半径为 ，P 、A 两点的球面积距离为 . 14．已知)(x f 是奇数，且对定义域内任意自变量x 满足),()2(x f x f =-当(]1,0∈x 时，[)=-∈=)(,0,1ln )(x f x x x f 时，则当 ；当(]Z k k k x ∈+∈,14,4时，f （x ）= . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知递增的等比数列{a n }满足a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项. （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若b n =log 2a n +1，S n 是数列}{n b 的前n 项和，求使n S n 442+>成立的n 最小值. 16．（本小题满分13分）在1413cos ,1411cos ,==∆B A ABC 中. （I ）求cosC 的值；（II ）若.||,19||AB CB CA 求=+.17．（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为2a 的正方形，ABEF是矩形，且二面角C —AB —F 是直二面角， AF=a ，G 是EF 的中点.（I ）求证：平面AGC ⊥平面BGC ；（II ）求CB 与平面AGC 所成角的大小； （III ）求二面角B —AC —G 的大小.18．（本小题满分13分）甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7，8，9，10环，且每次射击成绩互不影响，根据以往的统计数据，甲、乙射击环数的频率分布条形图如下：若将频率视为概率，回答下列问题：（I ）若甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上（含9环）的概率；（II ）若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上（含9环）的次数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.19．（本小题满分14分） 如图，已知定圆,4)3(:22=-+y x C 定直线m ：x +3y +6=0，过A （-1，0）的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点. （I ）当e 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； （II ）当|PQ|=;,32的方程求直线时l （III ）设t ⋅=，试问t 是否为定 值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由.20．（本小题满分13分）设x 1、x 2是函数)0,,(213)(23>∈+-+=a R b a x x b x a x f 的两个极值点，的导函数是)()('x f x f .（I ）如果x 1<2<x 2<4,求)2('-f 的取值范围； （II ）如果0<x 1<2,x 2-x 1=2,求证：41<b ； （III ）如果2≥a ，且)(2)(')(,),(221x x x f x g x x x -+-=∈函数时的最大值为h （a ），求h （a ）的最小值.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—4 ADDC 5—8 CBCA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．—3 10．60 11．13+ 12．（1）（2） 13．1，2π14．Z k k x x ∈---),4ln(),ln(注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分. 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：（I ）设等比例数列{a n }的公比为q ，依题意有2（a 3+2）=a 2+a 4，（1）分所以分故是递增的又分或解得分于是有所以代入得将又8.27.2,2,}{621,32,2,23,8,2020,8)1(,2811121311423432 n n n a q a a q a q a q a q a q a a a a a a a ===⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+==++（II ）12log 12+==+n b n n 232nn S n +=………………10分 故由题意可得分又或解得12,712,442232 *∈-<>+>+N n n n n nn 所以满足条件的n 的最小值为13. ………………………… 13分 16．（本小题满分13分）解：（I ）由π<<==B A B A ,0,1413cos ,1411cos 且， 所以.1433sin ,1435sin ==B A ………………4分 于是.21cos cos sin sin )cos(cos -=-=+-=B A B A B A C …………7分 （II ）由正弦定理可知.73,75,2314331435AB AC AB BC AB AC BC ====所以……10分 由.19219||22=⋅++=+得 ………………11分 即,19)21()75()73(2)73()75(22=-⋅⋅⋅++AB AB AB AB 解得.7||,7==AB AB 即 ………………13分 17．（本小题满分14分）解法一：（I ）.,AB CB ABCD ⊥∴正方形 又二面角C —AB —F 是直二面角.分平面故平面平面而平面又的中点是是矩形又平面平面5.,,,,2,2,,,,2222BGC AGC AGC AG BGCAG B BG CB BG AC BG AG AB a AB a BG AC EF G ABEF a AF a AD AGCB ABEF AG ABEF CB ⊥⊂⊥∴=⋂⊥∴+====∴==⊥∴⊂⊥∴（II ）如图，由（I ）知平面AGC ⊥平面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内用BH ⊥GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC.222tan ,2,===∴=∆∴∠∴aaBG CB BGH a BG CBG Rt 。
高考北京市东城区高三年级综合练习数学（文）
北京市东城区高三年级综合练习（一）数 学 试 卷（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）参考公式：三角函数的和差化积公式正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin φθφθφθ-+=+l c c S )(21+'=台侧 2sin2cos 2sin sin φθφθφθ-+=-其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示 2cos2cos2cos cos φθφθφθ-+=+斜高或母线长、台体的体积公式：2sin2sin2cos cos φθφθφθ-+-=-h S S S S V )(31+'+'=台体其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“y x lg lg >”是“y x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．若,110a tg =︒则︒20ctg 的值是 （ ）A ．－aB ．aC ．a1D ．－a13．已知复数||,3||,12121z z z i z +=-=那么的最大值是（ ）A ．3－2B ．3C ．3+2D ．2+34．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： ①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα；③βα⊥⇒m l //；④βα//⇒⊥m l ，其中正确的两个命题的序号是（ ）A ．①与②B ．③与④C ．②与④D ．①与③5．已知函数13)(-=x x f ，设它的反函数为)(1x f y -=，当)(,01x fy y -=≥时的图象是（ ）6．已知{}n a 是等差数列，a 1=－9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77．直线l 与直线y=1，x －y －7=0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为（1，－1），则直线l 的斜率为 （ ）A ．23B ．32 C ．－32 D ．－23 8．某饭店有n 间客房，客房的定价将影响住房率，每天客房的定价与每天的住房率的关系如下表：要使此饭店每天收入最高，则每间房价应定为 （ ） A ．90元 B ．80元 C ．70元 D ．60元每间客房的定价 每天住房率 90元 65% 80元 75%70元 85% 60元 90%第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知集合M=}|{},,2|||{N x x N R x x x ∈=∈≤，那么M ∩N 等于 .10．一张厚度为0.1mm 的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次（假定这样的折叠是可以完成的），这时折叠后纸的总厚度h 1与一座塔的高度h 2=100m 的大小关系为h 1 h 2.11．有5部各不相同的电话参加展览，排成一行，其中有2部不同的电话来自同一个厂家，则此2部电话恰好相邻的排法总数是 （用数字作答）. 12．双曲线xy 1=的焦点坐标是 和 . 13．空间四边形ABCD 中，AB=CD ，且AB 与CD 成60°角，E 、F 分别为AC ，BD 的中点，则EF 与AB 所成角的度数为 .14．某纺织厂的一个车间有n （n>7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n.定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0.若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a 说明： .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）解关于x 的不等式.13)1(222>++-+axx x a x16．（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 满足2cos sin sin 2AC B =⋅，试判断△ABC 的形状，并加以证明.17．（本小题满分14分）已知：ABCD是矩形，设PA=a，PA⊥平面ABCD.M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为45°，且PD=AB，求证：平面MND⊥平面PCD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥N—AMD的体积.18．（本小题满分14分）为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元.而目前没有实行“峰谷电价”的居民户电价为每千瓦时0.53元.若总用电量为S 千瓦时，设高峰时段用电量为x 千瓦时.（Ⅰ）写出实行峰谷电价的电费)(11x g y =及现行电价的电费)(22S g y =的函数解析式及电费总差额12)(y y x f -=的解析式；（Ⅱ）对于用电量按时均等的电器（在任何相同的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？（Ⅲ）你认为每家每户是否都适合“峰谷电价”的计费方法？（只回答是或不是）19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为F 1，其右焦点F 2和右准线分别是抛物线3692+-=x y 的顶点和准线.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上的一个动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围.20．（本小题满分14分）设数列{}n a 是以a 为首项，q 为公比的等比数列，令,1321n n a a a a b -----=.,2321N n b b b b c n n ∈-----=（Ⅰ）试用a ，q 表示b n 和c n ；（Ⅱ）若,10,0≠><q q a 且试比较1+n n c c 与的大小；（Ⅲ）是否存在实数对（a ，q ），其中1≠q ，使{}n c 成等比数列，若存在，求出实数对（a ，q ）和{}n c ；若不存在，请说明理由.北京市东城区年高三年级综合练习（一）数学参考答案（文史类）一、选择题1.A2.A3.C4.D5.A6.B7.C8.B 二、填空题9．{1，2} 10．＞ 11．4812．)2,2(),2,2(--（答对一个3分，答对两个5分）13．60°或30° 14．1，（2分） 第三名工人操作了2台织布机（3分） 三、解答题15．（1）原不等式等价于.0322>++-axx x x 由于R x x x ∈>+-对032恒成立， ∴0)(,02>+>+a x x ax x 即…………6分当a >0时，}0|{>-<x a x x 或；当a =0时，}0|{≠∈x R x x 且； 当a <0时，}0|{a x x x -><或；…………12分16．解：△ABC 是等腰三角形.在△ABC 中，A+B+C=π，由题设)cos 1(212cos sin sin 2A A CB +== ∴)cos()cos(cos cos 1sin sin 2C B C B A A C B +-=--=+=π∴sinBsinC+cosBcosC=1. 即cos(B －C)=1…………7分∵..0,0ππππ<-<-<<<<C B C B 从而B －C=0，即B=C.∴△ABC 是等腰三角形.………………12分17．（Ⅰ）连结AC ，AN. 由BC ⊥AB ，AB 是PB 在底面ABCD 上的射影. 则有BC ⊥PB. 又BN 是Rt △PBC 斜边PC 的中线， 即PC BN 21=.…………2分 由PA ⊥底面ABCD ，有PA ⊥AC ，则AN 是Rt △PAC 斜边PC 的中线，即PC AN 21=………………2分 BN AN =∴………………4分又∵M 是AB 的中点， AB MN ⊥∴…………5分（Ⅱ）由PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，根据三垂线定理，有PD ⊥DC.则∠PDA 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.…………7分 ∴∠PDA=45°由PA=AD=BC ，不难算出PM=MC ，则有MN ⊥PC.又由AB=PD=DC ，则有DN ⊥PC. ∴PC ⊥平面MND. 又PC ⊂平面PCD ， ∴平面MND ⊥平面PCD.…………10分（Ⅲ）连结BD 交AC 于O ，连结ON ，则NO 21PA. 且NO ⊥平面AMD ，由PA=AD=a ，,2a AB PD ==324231a NO S V AMD AMD N =⋅=∴∆-.……………………………14分 18．（Ⅰ）若总用电量为S 千瓦时，设高锋时段用电量为x 千瓦时，则低谷时段用电量为（S －x ）千瓦时.x S x S x y 28.028.028.0)(56.01+=⨯-+=………………3分 S y 53.02=………………4分电费总差额)0(28.025.0)(12S x xS y y x f ≤≤-=-=…………6分（Ⅱ）可以省钱.令0)(>x f 即.2825028.025.0<⇔>-S x x S …………9分 对于用电量按时均等的电器而言，高峰用电时段的时间与总时间的比为∥ ＝21,0)(.28251272414y y x f <><=即能保证. 所以用电量按时均等的电器采用峰谷电价的计费方法后能省钱.…………12分 （Ⅲ）不是.………………14分19．（Ⅰ）抛物线)4(93692--=+-=x x y 的顶点为（4，0）. 准线方程为425449=+=x .………………3分 设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x . 则有425,42==c a c 又，可得9,2522==b a . ∴椭圆方程为192522=+y x ………………7分 （Ⅱ）设P 点坐标为),(P P y x P 由椭圆的第二定义，有e ca x PF P =+||||21， .545||1P P x ex a PF +=+=∴同理.545||2P P x ex a PF -=-= 82||21==c F F 在△PF 1F 2中，)545)(545(264)545()545(||||2||||||cos 2221221222121P P P P x x x x PF PF F F PF PF PF F -+--++=-+=∠ 222225162572516)251625(2)72516(2P P P p x x x x --=--=.……………………11分 21PF F ∠ 是钝角 02516257251610cos 12221<--<-<∠<-∴P P x x PF F 即.解得475475<<-P x .……………………14分 20．（1）当q=1时，2)2(2,1,-++=-==a na n c na b a a n n n ………………2分 当qaq q a b aq a q nn n n -+--==≠-111,,11时， 212)1(11)1(21)1(1)11(2q aq n q a q q aq q q q q a n q a c n n n -+-+-+--=--⋅-----=+……5分 （2）)1(111111111++++--+-=---+-=-=-n n n n n q qa q aq q abc c 因为)1(11112≠--=+++++q q q q q q n n ， 由已知0>q ， 则011,0112>-->+++++q q q q q n n即 . 又0)1(11.0)1(1,011<--+-<--<++n n q qa q q a a 亦即则. 所以01<-+n n c c . 即n n c c <+1……………………9分（3）}{,)1(11)1(2212n n n c q aq n q a q q aq c 若-+-+-+--=+成等比数列，则令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=--0110)1(22qa q q aq …………………………11分 由②得q a -=1，代入①得012=--qq . ① ②121)32(34)321()32(31,31,32-+=-⨯==∴=∴n n n c a q 此时. 所以存在实数对)32,34(),(为q a ，使}{n c 成为以34为首项，32为公比的等比数列. ………………………………14分。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为（ ）A．B．C．D．2.已知，函数的图象不可能是（ ）A．B．C．D．3. 已知抛物线的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于M ､N 两点，连MF 并延长交抛物线于点G ，若MN 的中点P 到y 轴的距离比线段MN 的长少2，则当最大时，MG 长为（ ）A．B．C．D ．324. 某中学团委为庆祝“五四”青年节，举行了以“弘‘五四’精神，扬青春风采”为主题的文艺汇演，初中部推荐了2位主持人，高中部推荐了4位主持人，现从这6位主持人中随机选2位主持文艺汇演，则选中的2位主持人恰好是初中部和高中部各1人的概率为（ ）A．B．C．D．5. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．6. 若复数，则（ ）A ．6B ．5C ．4D ．37.已知函数的定义域为，其图象关于原点及对称．当时，则下列叙述正确的是（ ）A．是周期函数B．的图象关于对称C ．在单调递增D ．的值域为8.设函数则满足的的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.在平行六面体中，已知，，若，，，则（ ）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最大值为D ．的最大值为10. 已知函数，，则（ ）A ．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象北京市东城区2023届高三综合练习数学试题北京市东城区2023届高三综合练习数学试题三、填空题四、解答题B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象C ．函数与的图象关于直线对称D ．函数与的图象关于点对称11.若随机变量，下列说法中正确的是（ ）A．B．期望C．期望D．方差12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．方程有两个解D．在区间上单调递增13. 如图所示，圆锥的底面圆半径，侧面的平面展开图的面积为，则此圆锥的体积为_________.14. 2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于___________________．15. 如图，在等腰三角形中，已知，.将它沿边上的高翻折，使点与点的距离为1，则四面体的外接球的表面积为______.16. 如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，(1)求证：平面ACF⊥平面BDF；(2)若∠CBA＝60°，求三棱锥的体积，17. 如图所示，六棱锥的底面ABCDEF是一个正六边形，是这个正六边形的中心．已知平面ABCDEF．(1)求证：平面平面PCE．(2)若，且．求异面直线PF与BC的夹角的正弦值．18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点分别为的中点.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.19. 已知椭圆C：（）和圆O：．C的焦距为，过C的右顶点作圆O的切线，切线长为．（1）求椭圆C的方程；（2）设圆O的切线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．20. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A（滑雪），B（滑冰），C（冰球）三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知选手甲能正确回答A，B两类问题的概率均为，能正确回答C类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择B，C中的一类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.21. 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩x n7076727072（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 角终边上一点，把角按逆时针方向旋转得到角为，（ ）A．B．C．D．2. 现有两门选修课供甲、乙、丙三人随机选择，每人必须且只能选其中一门，则甲乙两人都选选修课的概率是（ ）A．B．C．D．3.将函数图象上所有的点按照向量平移得到函数的图象，若，则的最小值为A．B．C．D．4. 已知复数满足，若为纯虚数，则（ ）A．B ．1C．D ．25.的展开式中含的项的系数是（ ）A．B．C．D． 6. 是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7. 设为两个平面，则的充要条件是（ ）A ．垂直于同一条直线B ．内有两条直线与内无数条直线垂直C ．内有一条直线与垂直D．垂直于同一平面8. 已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为45°的直线交抛物线于、.若，则抛物线的方程为（ ）A．B．C．D．9. 已知双曲线C ：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l 与C 的上支交于M ，N 两点（点M 在第一象限），A 为线段的中点，O 为坐标原点.若C 的离心率为2，则（ ）A．B．C．可以是直角D ．直线OA的斜率为10. 设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限，为的内心，且内切圆半径为1，则（ ）A．B．C．D．11. 是自然对数的底数，，，已知，则下列结论一定正确的是（ ）A ．若，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，则北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(2)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(2)三、填空题四、解答题12. 已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D．展开式中含项的系数为4513.设等比数列的前项和为，若，，则_______．14. 某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．15. 设定义在上的函数满足，则函数在定义域内是______（填“增”或“减”）函数；若，，则的最小值为______．16.已知是等差数列的前项和，．从下面的两个条件中任选其中一个：①；②，求解下列问题：（1）求数列的通项；（2）设，试比较数列的前项和与的大小.（注：条件①、②只能任选其一，若两个都选，则以条件①计分）17. 坐标平面内，由A ，B ，C ，D 四点所决定的“贝茨曲线”指的是次数不超过3的多项式函数的图象，过A ，D 两点，且在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C .若曲线是由，，，四点所决定的“贝茨曲线”，试回答下列问题：（1）求函数的解析式；（2）求证：函数总存在两个极值点，，且当时，a 的最小值为1.18.已知数列的前项和为，且满足：. (1)求证：数列为常数列；(2)设，求.19. 在平面直角坐标系中，动点到定点的距离和它到定直线的距离比为,记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)设过点的直线与相交两点，当的面积为时，求.20. 已知公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，证明：．21. 已知函数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的图像在函数图像的下方.。
2022-2023学年北京市东城区高三年级下册学期综合练习(一)数学试卷
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（一）数 学 2023.3本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，且，则可以为22{|}0A x x -=<a A ∈a （A ） （B ）2-1-（C ）（D 32（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则iz(3,1)-z =（A ） （B ） 13i +3i +（C ） （D ）3i -+13i--（3）抛物线的准线方程为24x y =（A ）（B ）1x =1x =- （C ） （D ）1y =1y =-（4）已知，则的最小值为0x >44x x-+（A ）（B ）2-0（C ） （D ）1（5）在△中，，，则ABC a =2b c =1cos 4A =-ABC S =△（A （B ） 4（C（D ）（6）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，且， ，则“”是,m n αβ，m α⊂αβ m n ⊥“”的n β⊥（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为2e1x y -=+（A ） （B ） y x =2y x =（C ） （D ）21e y x =e y x =（8）已知正方形的边长为 2，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则ABCD P ABCD 0PA PB ⋅=CP DP⋅ 的取值范围是（A ）（B ）(0,8][0,8)（C ） （D ）(0,4][0,4)（9）已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为1a 2a 3a 4a 5a 5a （A ） （B ） 64-8-（C ）（D ）16418（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数的N 70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得的值为N M 2371113lg M0.3010.4770.8451.0411.114（A ） （B ）1314 （C ） （D ）1516第二部分（非选择题共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区2022届高三下学期综合练习(三)数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1.成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的，则数列的通项公式为A．B．C．D．2. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（ ）A ．关于点对称B ．关于对称C ．关于点对称D ．关于对称3. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，是的中点，则（）A．B．平面C ．平面D．4. 设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数，都有.给出下列两个命题：①若对任意正整数，都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s 和t，总存在不超过的正整数m 和k ，使得．下列说法正确的是（ ）A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①和②都是真命题D ．①和②都是假命题5. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，，…，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”应该满足与所有测量数据的差的平方和最小.由此规定，从这些数据得出的“最佳近似值”应是（ ）A．B．C．D．6. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若的面积等于2，则双曲线的离心率为（ ）．A．B ．2C．D．7. 已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（ ）A ．或B ．或C ．或1D ．或8. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9.如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有（ ）北京市东城区2022届高三下学期综合练习（三）数学试题 (2)北京市东城区2022届高三下学期综合练习（三）数学试题 (2)三、填空题四、解答题A ．平面平面B．三棱锥四个面都是直角三角形C ．与所成角的余弦值为D ．过的平面与交于，则面积的最小值为10. 若直线是函数图像的一条切线，则函数可以是（ ）A．B．C．D．11.已知函数（其中，，T为图象的最小正周期，满足，且在恰有两个极值点，则有（ ）A．B．函数为奇函数C．D ．若，则直线为图象的一条切线12. 已知实数a ，b ，满足a ＞b ＞0，，则（ ）A．B．C．D．13. 已知函数，则在点处的切线方程为______．14. 若双曲线的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____.15.若函数的最小正周期是，则_____．16.已知函数（1）求函数图象的对称轴方程与函数的单调递增区间；（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为若，，求的最大值.17. 据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：态度调查人群应该取消应该保留无所谓在校学生2100人120人人社会人士600人人人（1）已知在全体样本中随机抽取人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望．18. 某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）产品的性能指数在的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．(1)该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．16.3024.870.41 1.64表中．根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．19. 在平面直角坐标系内，已知，，为动点，的面积为，记动点P的轨迹为W．(1)求W的方程；(2)经过的直线与W交于点A，B，过点A作斜率为2的直线与W的另一个交点为C，求证：直线恒过定点．20.已知复数，，为虚数单位，.（1）若为实数，求的值；（2）若复数、对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围.21. 设数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的前n项和为，且对恒成立，求实数的最小值．。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(1)
一、单选题1. 生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体，其中四边形与都为等腰梯形，为平行四边形，若面，且，记三棱锥的体积为，则该五面体的体积为（）A．B．C．D．2. 已知的内角的对边分别为，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知是虚数单位，复数满足，则（ ）A．B．C．D ．54. 函数的图象大致是（ ）A．B．C．D．5.通常人们用震级来描述地震的大小，地震震级是对地震本身大小的相对量度，用表示，强制性国家标准GB 17740-1999《地震震级的规定》规定了我国地震震级的计算和使用要求，即通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下（其中为震中距），已知某次某地发生了级地震，测得地震面波质点运动最大值为，则震中距大约为（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，集合，则等于（ ）A ．PB ．QC．D．7. 已知，则（ ）A．B．C．D．8. 随着2020年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长．下面是2012年至2018年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中不正确的是（ ）北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(1)北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(1)二、多选题三、填空题A ．2013年至2018年，中国雪场滑雪人次逐年增加B ．2013年至2015年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加C ．2018年与2013年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等D ．2018年与2016年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为30.5%9.数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，其中满足关系式：，则（ ）A．B ．数据的平均数为C ．若数据，则D ．若，数据不全相等，则样本点的成对样本数据的样本相关系数为10. 下列命题正确的是（ ）A ．已知随机变量X 服从正态分布N (2,)且，则B ．已知随机变量(n ,p )，若，，则C ．已知，，则D ．某人在10次射击中，击中目标的次数为，(10,0.8)，则当时概率最大11. 如图，已知在棱长为1的正方体中，M ，N 分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（）A ．MN 与AB 为异面直线B．C．三棱锥体积的最大值为D ．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为12. 半径长为1米的车轮匀速在水平地面上向前滚动（无滑动），轮轴每秒前进米．运动前车轮着地点为，若车轮滚动时点距离地面的高度（米）关于时间t （秒）的函数记为，则以下判断正确的是（ ）A ．对于，都有B ．在区间上为增函数C．D ．对于，都有13. 在直角三角形ABC 中，，，对于平面内的任一点，平面内总有一点使得，则四、解答题_________.14. 函数的图象在处的切线与y 轴的交点坐标为_____.15. 已知实数，，，则的最小值是________.16.已知抛物线（）的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点．椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（Ⅰ）分别求抛物线和椭圆的方程；（Ⅱ）经过，两点分别作抛物线的切线，，切线与相交于点．证明：．17. 已知函数．(1)证明：当时，；(2)若函数有两个零点．①求的取值范围；②证明：．18. 已知四棱锥中，，平面，点为三等分点（靠近点），，，.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.19. 已知.（1）若，求的取值范围；（2）设的三边分别是，，，周长为1，若，求面积的最大值.20.如图，在三棱柱中，侧面和均为正方形，，平面⊥平面，点M是的中点，N 为线段AC上的动点；(1)若直线平面BCM ，求证：N 为线段AC 的中点；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．21. 已知的内角所对的边分别为，若向量，，且（1）求角（2）若，求角。
北京市东城区高三综合练习数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）(){}lg 2M x y x ==-{}e 1xN y y ==+M N ⋃=A ． B ． C ． D ．(),-∞+∞()1,+∞[)1,2()2,+∞【答案】B【分析】根据给定条件，求出函数的定义域、值域，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，即，(){}{}{}lg 2202M x y x x x x x ==-=-=(2,)M =+∞，则，所以.e 11x +>(1,)N =+∞()1,M N =+∞U 故选：B2．已知向量，且，则m =()()1,3,2a m b ==- ，()a b b +⊥A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【分析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案． a b +【详解】∵，又，(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=- ()a b b +⊥∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8． 故选D ．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题． 3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ） A ．B ．()sin f x x =()2xf x =C ．D ． ()3f x x x =+()()1e e 2x x f x -=-【答案】D【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.【详解】对于A ，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A 不符合； ()sin f x x =R 对于B ，的定义域为，，则为偶函数，故B 不符()2xf x =R ()()22xxf x f x --===()2xf x =合；对于C ，的定义域为，，则为奇函数，又函()3f x x x =+R ()()3f x x x f x -=--=-()3f x x x =+数在上均为增函数，故在上为增函数，故C 不符合；3,y x y x ==R ()3f x x x =+R对于D ，的定义域为，，则为()()1e e 2x x f x -=-R ()()()1e e 2x xf x f x --=-=-()()1e e 2x x f x -=-奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减e x y -=R e x y =R ()()1e e 2x xf x -=-R 函数，故D 符合. 故选：D.4．若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ） a b 220a b >>A ． B ．a b >22a b >C ． D ．a b >2222log log a b >【答案】D【分析】对于D ，结合对数函数的单调性即可判断；对于ABC ，取，即可判断.2a =-1b =-【详解】由题意，，所以，故D 正确；220a b >>2222log log a b >当，时，，但，，，故A ，B ，C 错误. 2a =-1b =-220a b >>a b <22a b <a b <故选：D. 5．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）322(nx x +A ．60 B ．80 C ．100 D ．120【答案】B【分析】根据各项系数和求出，再由二项展开式通项公式求解即可. n 【详解】当时，，解得，1x =3243n =5n =则的展开式第项， 322()n x x +1r +351532155152552C ()(C 2C 2r r r r r r r r r r r T x x x x x----+===令，解得，所以，1550r -=3r =335C 210880=⨯=故选：B6．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则24y x =F AB 、F AB AB =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】依据题意可知线段为抛物线的通径可得结果. AB 【详解】由题可知：线段为抛物线的通径 AB 所以AB 4=故选：D7．已知为等比数列，为其前项和，若，，则（ ）{}n a n S n 213S a =223a a =4S =A ． B ． C ． D ．781531【答案】C【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出、的值，再利用等比数列的求和公式{}n a q 1a q 可求得的值.4S 【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，， {}n a q 21213S a a a =+=212a a =212a q a ==因为，即，，解得，223a a =()21124a a =10a ≠ 11a =因此，.()441411215112a q S q--===--故选：C.8．已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ） a b a b ||a b a b -≤-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】B【分析】取为方向相反的单位向量，得到不充分，根据得到，得到必,a b ()()22a ba b-≤-0θ=要性，得到答案.【详解】若与共线，取为方向相反的单位向量，则，，a b ,a b ||2a b -=0a b -= ，不充分；a b a b ->-若，则，整理得到，||a b a b -≤- ()()22a ba b-≤-a b a b ⋅≤⋅ 若且，设夹角为，则，即，即，即，故0a ≠ 0b ≠r r ,a b θ[]0,πθ∈cos a b a b θ⋅≤⋅ 1cos θ≤0θ=a与共线，必要性成立.b综上所述：“与共线”是“”的必要不充分条件. a b ||a b a b -≤-故选：B9．血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中： ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用；②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒； ③每向隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒. 其中正确说法的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据图象，结合题意，逐个判断即可．【详解】①根据图象可知，首次服用该药物1单位约10分钟后，血液浓度达到最低有效浓度，药物发挥治疗作用，故正确；②根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后血液浓度达到最大值，由图象可知两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒，故正确；③根据图象可知，每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使血药浓度大于最低有效浓度，药物持续发挥治疗作用，故正确；④根据图象可知，首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故错误． 故选：C ．10．已知是圆上一个动点，且直线与直线M 22:1C x y +=1:30l mx ny m n --+=相交于点P ，则的取值范围是（ ） 222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠PMA ．B ．C ．D ．1,1]1]+1]1]【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P 的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答. 【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定1:(3)(1)0l m x n y ---=(3,1)A 2:(1)(3)0l n x m y -+-=点，()1,3B 显然直线，因此，直线与交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，12l l ⊥1l 2l其方程为：，圆心，半径C 的圆心，半径，22(2)(2)2x y -+-=(2,2)N 2r =(0,0)C 11r =如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，12||NC r r =>+min 12||||1PM NC r r =--=， max 12||||1PM NC r r =++=所以的取值范围是：. PM 1]故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.二、填空题11．已知a ，b 均为实数.若，则_____________. ()i i i b a +=+ab =【答案】1-【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可. 【详解】，故，. ()i i i i 1b a a ==++-1,1a b ==-1ab =-故答案为：.1-三、双空题12．已知、分别是双曲线的左、右焦点，是上的一点，且1F 2F ()222:109x y C a a -=≠P C ，则的周长是___________，双曲线的离心率是___________.12216PF PF ==12PF F △【答案】3454【分析】利用双曲线的定义求出的值，可求得的值，进而可求得的周长以及该双曲线a c 12PF F △的离心率的值.【详解】因为，则，12216PF PF ==28PF =由双曲线的定义可得，则， 1221688a PF PF =-=-=4a =则，所以，， 5c ===12210F F c ==故的周长为， 12PF F △12121681034PF PF F F ++=++=该双曲线的离心率为. 54c e a ==故答案为：；. 3454四、填空题13．在中，，，则______. ABC a =2b c =1cos 4A =-ABC S =【分析】由余弦定理求解，由同角函数基本关系求出，代入面积公式求解即可. ,b c sin A 【详解】由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-222212444(64c c c c =+-⨯-=解得，则， 2c =24b c ==又， sin A ==所以411sin 222ABC S bc A ==⨯⨯=五、双空题14．若函数在上取到最大值A ，则的最小值为___________.若函数sin (0,0)y A x A ωω=>>[0,1]ω的图象与直线在上至少有1个交点，则的最小值为sin (0,0)y A x A ωω=>>y A =-[0,1]ω__________. 【答案】2π32π【分析】利用正弦函数的图象和周期即可求解.【详解】要使在区间上取到最大值A ， sin (0)y A x ωω=>[]0,1则，，则的最小值为； 12ωπ≤2πω≥ωπ2又函数与在上至少有1个交点， sin (0,0)y A x A ωω=>>y A =-[]0,1即函数在区间上至少出现1次最小值，sin (0)y A x ωω=>[]0,1，解得：，则的最小值是.332144T ωπ∴=⋅≤32ω≥πω32π故答案为：；. 2π32π六、填空题15．在数列中，对任意的都有，且，给出下列四个结论： {}n a *n ∈N 0n a >211n n n a a a ++-=①对于任意的，都有；3n ≥2n a ≥②对于任意，数列不可能为常数列； 10a >{}n a ③若，则数列为递增数列； 102a <<{}n a ④若，则当时，. 12a >2n ≥12n a a <<其中所有正确结论的序号为_____________. 【答案】③④【分析】对数列递推关系变形得到，得到与同()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+2n a -12n a +-号，当时，，①错误； 102a <<02n a <<当时，推导出此时为常数列，②错误；12a ={}n a 作差法结合时，，求出数列为递增数列，③正确；102a <<102n a +<<{}n a 由与同号，得到当，有，结合作差法得到为递减数列，④正确.2n a -12n a +-12a >2n a >{}n a 【详解】因为，所以，211n n n a a a ++-=()()211112122n n n n n a a a a a ++++-=--=-+因为任意的都有，所以，N n *∈0n a >110n a ++>所以与同号，当，则时，都有，①错误； 2n a -12n a +-102a <<3n ≥02n a <<当时，，所以，同理得：，此时为常数列，②错12a =1222201a a a -=+=-22a =()23n a n =≥{}n a误；，()221111211n n n n n a a a a a ++++-=--=++-由A 选项知：若，则，102a <<102n a +<<所以， ()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+>-+-==则数列为递增数列，③正确；{}n a 由与同号，当，则时，都有， 2n a -12n a +-12a >2n ≥2n a >且此时， ()221111211110n n n n n a a a a a +++++=---+<-+-==所以数列为递减数列，{}n a 综上：若，则当时，，④正确. 12a >2,n ≥12n a a <<故答案为：③④七、解答题16．已知函数.在下面两个条件中选择其中一个，完()()2cos 2sin 102f x x x x ωωωω=-+<<成下面两个问题：条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为； ()f x π2条件②：的一条对称轴为. ()f x π6x =(1)求ω；(2)将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在()f x π3()g x ()g x 上的值域. ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 1ω=(2) []2,1-【分析】（1）由三角函数的恒等变换对进行化简，再分别由条件①②求的值． ()f x ω（2）由三角函数的平移变换得的解析式，再由函数的定义域求值域即可．()g x【详解】（1）()2cos 2sin 1f x x x x ωωω=-+2cos 2x x ωω=+π2sin(2)6x ω=+选①：图象上相邻两个对称中心的距离为， ()f x π2则，则， 2ππ2T ω==1ω=选②：的一条对称轴为， ()f x π6x =则，πππ2πZ 662k k ω⋅+=+∈，又，则，31k ω∴=+02ω<<1ω=于是()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将的图象向右移个单位长度（纵坐标不变），()2sin(2)6f x x π=+π3得到函数的图象πππ()2sin[2()]2sin(22cos 2362g x x x x =-+=-=-， ππ[,]33x ∈-， ∴2π2π2[,]33x ∈-，∴cos 2[,1]12x ∈-的值域为．()g x ∴[]2,1-17．在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，，，BC AD ∥90ADC ∠=︒，E 为线段AD 的中点.PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱112BC CD AD ===PD 相交于点G .(1)求证：； BE FG ∥(2)若PC 与AB 所成的角为，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值. π4【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的判定定理和性质，结合线面平行的判定定理和性质定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：因为E 为AD 中点， 所以． 112DE AD ==又因为BC ＝1，所以DE ＝BC ．在梯形ABCD 中，DE BC ， //所以四边形BCDE 为平行四边形．所以BE CD ． //又因为BE ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以BE 平面PCD ．//因为BE ⊂平面BEF ，平面BEF ∩平面PCD ＝FG ， 所以BE FG ．//.（2）因为PE ⊥平面ABCD ，且AE ，BE ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥AE ，且PE ⊥BE ．因为四边形BCDE 为平行四边形，∠ADC ＝90°， 所以AE ⊥BE ．以E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E ﹣xyz ．则． ()()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0E A B C D --设，()()0,0,0P m m >所以，．()1,1,CP m =- ()1,1,0AB =-u u u r 因为PC 与AB 所成角为， π4所以πcos ,cos 4CPAB CP AB CP AB ⋅====⋅所以m 则，．(P 11,22F ⎛- ⎝所以，，． ()0,1,0EB =11,22EF ⎛=- ⎝ (0,1,PB = 设平面BEF 的法向量为，(),,n x y z= 则，即 00n EB n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0110.22y x y z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令，x 1z =所以．)n = 所以．cos ,PB 所以直线PB 与平面BEF 18．某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图： 专家 A B C D E评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7（1）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E （X ）与E （Y ）的值；（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用1x 2x 作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系． 122x x +x 122x x +【答案】（1）；（2）见解析；（3）. 10.3,2122x x x +＜【分析】（1）由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率； （2）计算概率可得分布列和期望．（3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是． 10.20.50.3a =--=12（2）X 的可能取值为2，3．P （X =2）=；P （X =3）=． 21413535C C C =343525C C =所以X 的分布列为X 23 P35 25所以E （X ）=2×． 32123555+⨯=由题意可知，，所以E （Y ）=np =． 132Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，32（3）． 122x x x +＜【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题．19．已知函数.()(1)ln (1)f x x x a x =+--（I ）当时，求曲线在处的切线方程；4a =()y f x =()1,(1)f （Ⅱ）若当时，，求的取值范围.()1,x ∈+∞()0f x ＞a 【答案】（1）（2）220.x y +-=(],2.-∞【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求()f x ()f x '(1)f '(1)f 曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实()y f x =(1,(1))f 220.x y +-=(1)()ln 1a x g x x x -=-+数分类讨论，用导数法求解.a 试题解析：（I ）的定义域为.当时，()f x (0,)+∞4a =， 1()(1)ln 4(1),()ln 3f x x x x f x x x =+--=+-'(1)2,(1)0.f f =-='曲线在处的切线方程为()y f x =(1,(1))f 220.x y +-=（II ）当时，等价于 (1,)x ∈+∞()0f x >(1)ln 0.1a x x x -->+设，则 (1)()ln 1a x g x x x -=-+， 222122(1)1(),(1)0(1)(1)a x a x g x g x x x x +-+=++'=-=（i ）当，时，，故在上单调递2a ≤(1,)x ∈+∞222(1)1210x a x x x +-+≥-+>()0,()g x g x >'(1,)+∞增，因此；()0g x >（ii ）当时，令得2a >()0g x '=1211x a x a =-=-由和得，故当时，，在单调递减，因此. 21x >121=x x 11x <2(1,)x x ∈()0g x '<()g x 2(1,)x ()0g x <综上，的取值范围是a (],2.-∞【解析】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y ＝f （x ）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x ）；（3）解不等式f′（x ）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x ）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．20．已知椭圆的左、右顶点分别为，. 2222:1(0)x y C a b a b +=>>A B ，||4AB =(1)求椭圆的方程；C (2)设点为线段上的动点，过作线段的垂线交椭圆于不同的两点和，为线段D AB D AB CEF N 上一点（异于端点）.当时，求的值. AE NDE DBF ∠=∠||||AN AE 【答案】(1) 22142x y +=(2)23【分析】（1）根据题意，可得，再由离心率可得的关系即可得到2a =c =,,a b c ，从而得到椭圆的方程；b （2）根据题意，设出点的坐标，然后表示出点的坐标，再由列出方,E F N tan tan NDE DBF ∠=∠程，即可得到结果.【详解】（1）由已知，可得，则，因为 ||4AB =24a =2a =c e a ==c =且，所以椭圆的方程为. 222422b a c =-=-=22142x y +=（2）设，则，由已知可得， ||||AN AE λ=()01AN AE λλ=<< ()()2,0,2,0A B -设，则，，则， (),E m n (),F m n -(),N N N x y ()()2,,2,N N AN x y AE m n =+=+ 所以，，即，22N x m λλ=+-N y n λ=()22,N m n λλλ+-又因为，所以，90NDE DBF ∠=∠≠︒tan tan NDE DBF ∠=∠所以，即， 222m m n n mλλλ--+=-122m n n m λλ-⋅+=⋅-化简可得，又因为，所以， 2214n m λλ-=-22142m n +=2242m n -=所以，解得或（舍）， 112λλ-=23λ=2λ=所以. ||2||3AN AE =【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，难度较难，解答本题的关键是利用好与之间的关系，然后由列出方程，再通过计算，即可ND BF tan tan NDE DBF ∠=∠求解.21．对非空数集，，定义，记有限集的元素个数为.A B {},A B x y x A y B -=-∈∈T T （1）若，，求，，；{}13,5A =,{}1,2,4B =A A -B B -A B -（2）若，，，当最大时，求中最大元素的最小值； 4A =*A ⊆N {}1,2,3,4B =A B -A （3）若，，求的最小值.5A B ==21A A B B -=-=A B -【答案】（1）；（2）13；（3）155,7,7A A B B A B -=-=-=【解析】（1）根据新定义求出，进而可得答案；,,A A B B A B ---（2）设，，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时，可取到{},,,A a b c d N *=⊆a b c d <<<A B -最大值，进而可求出最大值，再通过得到，可得中最大元素4,4,4b a c b d c -≥-≥-≥12d a -≥A 的最小值；（3）对非空数集T ，定义运算，首先确定A 中不同的元素的差均不相{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠同，B 中不同的元素的差均不相同，由可得的最小值，然后验证最12A B A B A B **-≥-A B -小值可以取到即可.【详解】解：（1），， {}13,5A = ,{}1,2,4B =，{}{}{}4,2,0,2,4,3,2,1,0,1,2,3,3,1,0,1,2,3,4A A B B A B ∴-=---=----=--;5,7,7A A B B A B ∴-=-=-=（2）设，， {},,,A a b c d N *=⊆a b c d <<<①，4A B == ，当A 中元素与B 中元素的差均不相同时等号成立， 2416A B ∴-≤=所以最大值为16；A B -②当时，A 中元素与B 中元素的差均不相同，16A B -=，()(){}0A A B B ∴--=又因为，{}3,2,1,0,1,2,3B B -=---，4,4,4b a c b d c ∴-≥-≥-≥，12d a ∴-≥则，13d ≥综上，最大值为16，A 中最大元素的最小值为13；A B -（3）对非空数集T ，定义运算，{}|,,T x y x y T x y *=-∈≠①,5A =，当且仅当时取等号，()551121A A ∴-≤⨯-+=()55120A *=⨯-=又因为，21A A -=所以A 中不同的元素的差均不相同，同理，B 中不同的元素的差均不相同，若,,,a a A b b B ''∈∈因为，a b a b a a b b a a b b ''''''-=-⇔-=-⇔-=-， 1155201522A B A B A B **∴-≥-≥⨯-⨯= ②令，，{}1,2,4,8,16A ={}1,2,4,8,16B =-----所以，A 中不同元素的差均不相同，B 中不同元素的差均不相同，5A B ==所以， 21A A B B -=-=经检验，符合题意，15A B -=综上的最小值为15.A B -【点睛】本题考查集合的新定义问题，正确理解题意是解题的关键，考查学生分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目.。
东城区高三数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各式中，能表示集合{1，2，3，4}的子集的个数是（）A. 16B. 32C. 15D. 142. 已知函数f(x) = 2x - 3，则函数f(2x - 1)的图像与f(x)的图像（）A. 关于y轴对称B. 关于x轴对称C. 平移2个单位D. 平移1个单位3. 若复数z满足|z + 1| = |z - 1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定4. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 9，S5 = 21，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为（）A. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)6. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），若f(1) = 0，f(2) = 1，则f(3)的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a2 = 3，且an + 1 - an = 2n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = n^2 - n + 1B. an = n^2 + n - 1C. an = n^2 - 2n + 1D. an = n^2 + 2n - 18. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的正弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/3D. 5/49. 若函数f(x) = log2(x - 1) + log2(x + 1)在区间[1, 3]上单调递增，则x的取值范围是（）A. [1, 3]B. (1, 3)D. (-∞, 3]10. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a2 = 2，且an + 1 = an + 3^n，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 3^n - 1B. an = 3^n + 1C. an = 3^n - 2D. an = 3^n + 2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其第n项an = ________。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试题
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2024.1一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{04}U x x =<<，集合{02}A x x =<<，则U A =ð（A ）{24}x x << （B ）{24}x x <≤ （C ）{24}x x ≤< （D ）{24}x x ≤≤ （2）若复数z 满足(1i)i z +=，则z 的共轭复数z =（A ）11i 22+ （B ）11i 22--（C ）11i 22-+ （D ）11i 22-（3）51()x x+的展开式中，x 的系数为（A ）1 （B ）5（C ）10 （D ）20（4）设等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，若12a =，2349a a a a =，则3S =（A ）6 （B ） 8 （C ） 12 （D ）14（5）已知非零向量，a b 满足a b =，且0⋅=a b ，对任意实数λμ，，下列结论正确的是（A ） ()()0λμλμ-⋅-=a b a b （B ） ()()0λμμλ-⋅+=a b a b （C ） ()()0λμλμ-⋅+=a b a b （D ） ()()0λμμλ+⋅+=a b a b（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,E F 分别是11,DD BB 的中点. 用过点F 且 平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（A ） （B（C（D（7）已知0,0a b >>，则“1122a b >”是“1122a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示. 在0t =时刻，粒子从点()0,1A 出发，沿着轨迹曲线运动到()1,1B -，再沿着轨迹曲线途径A 点运动到()1,1C --，之后便沿着轨迹曲线在B C ,两点之间在B C ，两点之间循环往复运动. 设该粒子在t 时刻的位置对应点(),P x y ，则坐标,x y 随时间()0t t ≥变化的图象可能是（9）已知线段AB 的长度为10，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合）. 点N 在圆心为M ，半径为MA 的圆上, 且,,B M N 不共线，则BMN ∆的面积的最大值为（A ）252 （B ）254 （C （D(10) 设函数()cos f x x = ① 函数()f x 的一个周期为π；② 函数()f x 的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③ 函数()f x 的图象上存在点(),P x y ，使得其到点()1,0；④ 当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点.正确的判断是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
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市东城区高三总复习数
学练习
文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
北京市东城区2002年高三总复习练习一
数学（文史类）
本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第一卷（选择题共60分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式
2cos
2sin
2sin sin φ
θφθφθ-+=+ S 台侧=l c c )(21
+'
2sin
2cos 2sin sin φ
θφθφθ-+=- 其中c ′c 分别表示上、下底面周长， 2cos
2cos 2cos cos φ
θφθφθ-+=+ l 表示斜高或母线长 2
sin
2sin 2cos cos φ
θφθφθ-+-=- 台体的体积公式：（其中S 、S 分别表示上、 下底面积，h 表示高）h S S S S V )(31
+'+'=台体
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．数轴上三点A 、B 、C 的坐标分别为2、3、5，则点C 分有向线段AB 所成的比为
A ．
23 B ．23- C ．32 D ．3
2- 2．函数12+=x y 的反函数为
A ．)1(log 2-=x y （x ＞1）
B ．)1(log 2+=x y （x ＞-1）
C ．1log 2-=x y （x ＞0）
D ．1log 2+=x y （x ＞0） 3．若数列{a n }的前n 项和公式为S n =log 3（n+1），则a 5等于
A ．
log 56 B ．log 3
5
6
C ．log 36
D ．log 35 4．设S=（x-1）4+4（x-1）3+6（x-1）2+4x-3，则S 等于
A ．
x 4 B ．x 4+1 C ．（x-2）4 +4
5．函数y=cos （x-1）图象的一个对称中心的坐标是
A ．（
2π+1，0） B ．（2
π
-1，0） C ．（π+1，0） D ．（π-1，0） 6．两圆x 2+y 2-2y=0与x 2+y 2-4=0的位置关系是
A ．
相交 B ．内切 C ．外切 D ．内含
7．已知圆台的轴截面是上、下底边长分别为2和4，底角为60O 的等腰梯形，则圆台侧面展开图的
面积为
A ．24π
B ．8π
C ．6π
D ．3π
8．已知图①中的图象对应的函数为y=f （x ），则图②中的图象对应的函数
在下列给出的四式中，只可能是 A ．
y=f （|x|） B ．y=|f （x ）| C ．y=f （-|x|） D ．y=-f （|x|）
9．已知正四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为2，则它的一条侧棱AA 1与截面DD 1B 1B 所成角的正弦值为
A ．
2
1
B ．22
C ．23
D ．26
10．已知是则βαππββππαα+∈=∈-=)2,2
3
(,54cos ),23,(,41sin
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
11．如图，已知多面体ABC —DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂
直，平
面ABC//平面DEFG ，平面BEF//平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为 A ．
2 B ．4 C ．6 D ．8
12．椭圆122
22=+b
y a x （ab0）的半焦距为c ，若直线y=2x 与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的
离心率为
A ．
222- B ．2
1
22- C ．13- D ．12- 第二卷（非选择题共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．设复数2
1
21,3,1z z z i z i z =
+=-=则在复平面内对应的点位于第____________象限。
14．将抛物线y 2=4x 绕其焦点按逆时针方向旋转90O 后，所得抛物线的方程为___________________。
15．空间内五个点中的任意三点都不共线且仅有四个点共面，则这五个点最多可以确定列命题中 a ⊥b a ⊥b a//b a//b
① ⇒a//c ② ⇒a ⊥c ③ ⇒a//c ④ ⇒a ⊥c
c ⊥b c//b c//b c ⊥b
正确命题的序号是______________________。
（注：把你认为正确的序号都填上）。
三、 解答题：本大题共6小题，共产党员4分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知：△ABC 中，三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列， 求证：2
cos 2cos 2C
A C A -=+
18．（本小题满分12分）
{ { {
{
已知函数f（x）=log2（x+1），将y=f（x）的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函y=g（x）的图象。
（Ⅰ）求y=g（x）的解析式及定义域；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值。
19．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC—A1B1C1中，ABC=90O，BC=2，CC1=4，EB1=1 。
（Ⅰ）求证：B1D平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面EGF//平面ABD；
（Ⅲ）求平面EGF与平面ABD的距离。
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }是首项为a （a ≠0）的等差数列，其前n 项的和为S n ，数列{b n }的通项n
S b n
n =，其前n 项的和为T n 。
（Ⅰ）用等差数列定义证明数列{b n }是等差数列； （Ⅱ）若7855=T S ，求)lim(n
n b a n -的值。
21．（本小题满分12分）
运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为50千米/小时，100千米/小时，500千米/小时，每千米的运费分别为a 元、b 元、c 元，且b ＜a ＜c ，又这批海鲜在运输过程中的损耗为500元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用（运费与损耗之和）互不相等，试确定使用哪种运输工具总费用最省。
（题中字母均为正的已知量）
22．（本小题满分14分）
已知（0，5-）是中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆的一个顶点，离心率为2
3。
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）直线m x y +=
2
1
与椭圆相交于A 、B 两点，椭圆的左右焦点分别为F 1和F 2，求以F 1F 2和AB 为对角线的四边形F 1AF 2B 面积的最大值。