9.第九讲两平面立体相(二)交及同坡屋面的交线
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❖ 由于立体表面有一定的范围,所以相贯线一般都是闭合线.只 有当两立体具有重叠表面时(共表面时),相贯线才不闭合.
❖ 对于两个相交的平面立体来说,其相贯线一般都是闭合的空 间折线。它的每一段线段都是两平面立体有关棱面的交线, 每一个折点都是其中一个平面体的棱线对另一个平面体的贯 穿点
求两平面立体相贯线的步骤
s'
s"
s'
s"
d'(e')
a' e b' a
e" c' a" c"
c s3
db （a）已知条件
d" 1'd'(e'2)' 3' e" (f") g"
d"
(f') g'
b" a' e b'
c' a" c"
b"
a
ef gs
c 3
2 db
（b）作图过程及结果
例题3: 求直线KL与三棱锥的贯穿点
作图过程：
5. 判断可见性—不可见点的
连线不可见，不可见面的连 线不可见
作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
异性柱体截交线的求解：
两面一线
1′ 2′
1〞
2〞 1. 分析—恢复原型法进行形
3′ 4′
4〞 3〞
体分析，关键看截平面的 形状，该类截交线的求解，
其实质是垂直面的“二补
三”，两面一线
6′ 5′ 8′ 7′
2点 2点 2点
2点
第八讲 平面立体的投影（二）
基本要求: §6-3 平面立体的贯穿点 §6-4 平面立体与平面立体相贯 §6-5 同坡屋面的交线
基本要求
本讲是画法几何学中较难的部分，需 要认真练习。
掌握直线与平面立体相交贯穿点的性 质及求解方法
充分理解相贯线的几何意义及投影性 质（既是共有线又是分界线）
(n′) 3′ m′
2′ 1′
k′
1
n
3 m
k
2
PV l′
① 包含直线作辅 助平面
② 求辅助平面与 立体的截交线
③ 求上述截交线 l 与被包含直线的交点
即贯穿点。
注意：贯穿点之 间没有线。
平面立体与平面立体的相贯★
相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯 线
相贯线的性质:
❖ 相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立 体的共有点,每点三线，两条交线一条棱线。
❖ 分析形体：认识两相贯体的形体特征，考察两立体 的相对位置。判断是“全贯”（两组相贯线）还是 “互贯”（一组相贯线）。
❖ 求相贯点：由于平面立体相贯线的性质特殊， 实际上就是求每一条棱线与另一立体的相贯点。
❖ 连接相贯点：属于同一立体的同一棱面而同时属于 另一立体也是同一棱面的两点才能相连。
❖ 判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线 才是可见的。
2点 2点
1点 2点
6-18 补全五棱柱被截割后的H、V面投影。
6-19 补全四棱台被截割后的H、W投影，
并求截面实形。
不可见点的连线不可见
1′
(1″)
3"
2"
2 ' (3 ')
4′
4"
3
4
1
2
第29页
6-20 求带缺口的正四棱台的H投影。
第29页
6-15 求W面带缺口的正六棱锥的H、V投影。
❖ 整理图线、完成图形。
d′
e′
a′
b′
c′
a
d
e
c b
f′
s′ 例题1：求三棱锥
与三棱柱的相贯线
判断可见性—不可见点
的连线不可见，不可见面 的连线不可见
6-14 已知正三棱锥被截割后的V面投影,补全H、W面投影。
s′
s〞
5′ (3 ′) 4 ′ 1′ 2′
5〞
(3 〞) 1〞
4〞 2〞
a′
c ′ a 〞(c 〞)
b〞
b′
c
a 1
3
s5
24
b
28
6-16已知四棱柱被截割后的H、W投影，求H投影。
5. 判断可见性—不可见点
的连线不可见，不可见面 的连线不可见
6-17 完成带缺口的三棱柱的H、W投影。
1' 8' 1（8）
1"
3'（4 ' ）
2'
4"
7' 5′（6′ ） 8 " （6 " ）
4（6）
3"
2"
5"
7"
3（5） 2（7）
28页
6-18 补全五棱柱被截割后的H、V 面投影。
2点
2点
20 30
1
20 50
30
40 16
4 5
3
2
5
4 2
3
关于截交线的求解：
1. 分析—截切平面性质及数点，
点在棱线上是棱线数×1， 点在表面位置是×2（注： 这两点间必连线）
2. 求点—表面取点法
3. 连线—同一表面（截面）的
两点才能连线
4. 整理图线及棱线—所求截
交线上点，每点三线，棱线 上的点为2交线1棱线，表面 位置的点为3交线
上讲要点回顾:
❖ 熟练掌握基本平面体的三面投影。 ❖ 熟练掌握平面立体表面取点的方法。（重点） ❖ 充分理解截交的几何意义及截交线的性质。 ❖ 熟练掌握求截交线的方法。（难点） ❖ 掌握求贯穿点的方法。（自学）效果怎样？
求四棱锥截切后的H、W投影
6′
6
5′ (50)
50
4′ (40)`
40
1 2′(20) 3′(30)
根据投影面的垂直面的投影特 性“两面一线”求解
异性柱体截交线的求解：
1. 分析—恢复原型法进行形
体分析，关键看截平面的 形状，该类截交线的求解， 其实质是垂直面的“二补 三”，两面一线
2. 求点—点数即是截平面上
的点数
3. 连线—同一表面（截面）
的两点才能连线
4. 整理图线及棱线—所求
截交线上点，每点三线， 棱线上的点为2交线1棱线， 表面位置的点为3交线
例题1:求直线与正三棱柱的相贯点
分析:由于立体的水平投影具有积聚性,所以贯穿点的水 平投影已知.
n'
2'
n'
1'
m'
m'
n m
（a）已知条件n来自2m1
（b）作图过程及结果
图6-12 求一般位置直线与三棱柱的贯穿点
d' a' a
例题2:求直线(垂直线)与三棱锥的相贯点
分析:由于直线的正投影具有积聚性,所以贯穿点的正投影已知.
8
5〞
6〞 2.
求点—点数即是截平面
（垂直面）上的点，这种
8〞
情况也可以数点
7〞 3. 连线—同一表面（截面）
1
的两点才能连线
5
4
4. V
76
32
5.
这类题：截交线 （截平面）是根据投影
面的垂直面的投影特性“两面一线”求
整理图线及棱线—所求
截交线上点，每点三线， 棱线上的点为2交线1棱线， 表面位置的点为3交线
★熟练掌握求相贯线的方法。 ★熟练掌握同坡屋面交线的产生原理
及求解方法。
平面立体的贯穿点
直线与立体表面的交点称为贯穿点。即 贯穿点既是属于直线的点，又是属于立体表 面的点，因此，求贯穿点的问题，就是求立 体棱线与另外立体表面交点（线面交点）的 问题。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个 辅助截平面，求此截平面与立体的截交线， 截交线与已知直线的交点即为贯穿点。
❖ 对于两个相交的平面立体来说,其相贯线一般都是闭合的空 间折线。它的每一段线段都是两平面立体有关棱面的交线, 每一个折点都是其中一个平面体的棱线对另一个平面体的贯 穿点
求两平面立体相贯线的步骤
s'
s"
s'
s"
d'(e')
a' e b' a
e" c' a" c"
c s3
db （a）已知条件
d" 1'd'(e'2)' 3' e" (f") g"
d"
(f') g'
b" a' e b'
c' a" c"
b"
a
ef gs
c 3
2 db
（b）作图过程及结果
例题3: 求直线KL与三棱锥的贯穿点
作图过程：
5. 判断可见性—不可见点的
连线不可见，不可见面的连 线不可见
作出带截面和缺口的四棱柱的水平投影。
异性柱体截交线的求解：
两面一线
1′ 2′
1〞
2〞 1. 分析—恢复原型法进行形
3′ 4′
4〞 3〞
体分析，关键看截平面的 形状，该类截交线的求解，
其实质是垂直面的“二补
三”，两面一线
6′ 5′ 8′ 7′
2点 2点 2点
2点
第八讲 平面立体的投影（二）
基本要求: §6-3 平面立体的贯穿点 §6-4 平面立体与平面立体相贯 §6-5 同坡屋面的交线
基本要求
本讲是画法几何学中较难的部分，需 要认真练习。
掌握直线与平面立体相交贯穿点的性 质及求解方法
充分理解相贯线的几何意义及投影性 质（既是共有线又是分界线）
(n′) 3′ m′
2′ 1′
k′
1
n
3 m
k
2
PV l′
① 包含直线作辅 助平面
② 求辅助平面与 立体的截交线
③ 求上述截交线 l 与被包含直线的交点
即贯穿点。
注意：贯穿点之 间没有线。
平面立体与平面立体的相贯★
相交的两立体常称为相贯体,相贯体表面的交线称为相贯 线
相贯线的性质:
❖ 相贯线为两立体表面的共有线,相贯线上的每个点都是两立 体的共有点,每点三线，两条交线一条棱线。
❖ 分析形体：认识两相贯体的形体特征，考察两立体 的相对位置。判断是“全贯”（两组相贯线）还是 “互贯”（一组相贯线）。
❖ 求相贯点：由于平面立体相贯线的性质特殊， 实际上就是求每一条棱线与另一立体的相贯点。
❖ 连接相贯点：属于同一立体的同一棱面而同时属于 另一立体也是同一棱面的两点才能相连。
❖ 判别可见性：位于两立体均为可见表面上的相贯线 才是可见的。
2点 2点
1点 2点
6-18 补全五棱柱被截割后的H、V面投影。
6-19 补全四棱台被截割后的H、W投影，
并求截面实形。
不可见点的连线不可见
1′
(1″)
3"
2"
2 ' (3 ')
4′
4"
3
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第29页
6-20 求带缺口的正四棱台的H投影。
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6-15 求W面带缺口的正六棱锥的H、V投影。
❖ 整理图线、完成图形。
d′
e′
a′
b′
c′
a
d
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c b
f′
s′ 例题1：求三棱锥
与三棱柱的相贯线
判断可见性—不可见点
的连线不可见，不可见面 的连线不可见
6-14 已知正三棱锥被截割后的V面投影,补全H、W面投影。
s′
s〞
5′ (3 ′) 4 ′ 1′ 2′
5〞
(3 〞) 1〞
4〞 2〞
a′
c ′ a 〞(c 〞)
b〞
b′
c
a 1
3
s5
24
b
28
6-16已知四棱柱被截割后的H、W投影，求H投影。
5. 判断可见性—不可见点
的连线不可见，不可见面 的连线不可见
6-17 完成带缺口的三棱柱的H、W投影。
1' 8' 1（8）
1"
3'（4 ' ）
2'
4"
7' 5′（6′ ） 8 " （6 " ）
4（6）
3"
2"
5"
7"
3（5） 2（7）
28页
6-18 补全五棱柱被截割后的H、V 面投影。
2点
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关于截交线的求解：
1. 分析—截切平面性质及数点，
点在棱线上是棱线数×1， 点在表面位置是×2（注： 这两点间必连线）
2. 求点—表面取点法
3. 连线—同一表面（截面）的
两点才能连线
4. 整理图线及棱线—所求截
交线上点，每点三线，棱线 上的点为2交线1棱线，表面 位置的点为3交线
上讲要点回顾:
❖ 熟练掌握基本平面体的三面投影。 ❖ 熟练掌握平面立体表面取点的方法。（重点） ❖ 充分理解截交的几何意义及截交线的性质。 ❖ 熟练掌握求截交线的方法。（难点） ❖ 掌握求贯穿点的方法。（自学）效果怎样？
求四棱锥截切后的H、W投影
6′
6
5′ (50)
50
4′ (40)`
40
1 2′(20) 3′(30)
根据投影面的垂直面的投影特 性“两面一线”求解
异性柱体截交线的求解：
1. 分析—恢复原型法进行形
体分析，关键看截平面的 形状，该类截交线的求解， 其实质是垂直面的“二补 三”，两面一线
2. 求点—点数即是截平面上
的点数
3. 连线—同一表面（截面）
的两点才能连线
4. 整理图线及棱线—所求
截交线上点，每点三线， 棱线上的点为2交线1棱线， 表面位置的点为3交线
例题1:求直线与正三棱柱的相贯点
分析:由于立体的水平投影具有积聚性,所以贯穿点的水 平投影已知.
n'
2'
n'
1'
m'
m'
n m
（a）已知条件n来自2m1
（b）作图过程及结果
图6-12 求一般位置直线与三棱柱的贯穿点
d' a' a
例题2:求直线(垂直线)与三棱锥的相贯点
分析:由于直线的正投影具有积聚性,所以贯穿点的正投影已知.
8
5〞
6〞 2.
求点—点数即是截平面
（垂直面）上的点，这种
8〞
情况也可以数点
7〞 3. 连线—同一表面（截面）
1
的两点才能连线
5
4
4. V
76
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5.
这类题：截交线 （截平面）是根据投影
面的垂直面的投影特性“两面一线”求
整理图线及棱线—所求
截交线上点，每点三线， 棱线上的点为2交线1棱线， 表面位置的点为3交线
★熟练掌握求相贯线的方法。 ★熟练掌握同坡屋面交线的产生原理
及求解方法。
平面立体的贯穿点
直线与立体表面的交点称为贯穿点。即 贯穿点既是属于直线的点，又是属于立体表 面的点，因此，求贯穿点的问题，就是求立 体棱线与另外立体表面交点（线面交点）的 问题。
求贯穿点的方法：包含已知直线作一个 辅助截平面，求此截平面与立体的截交线， 截交线与已知直线的交点即为贯穿点。