第5章频率响应法

第 5 章频率响应法
频率响应法是控制理论的重要组成部分，是分析和综合控制系统的一种工程实用方法。

它不仅适用于单变量系统，而且也可以推广至多变量系统。

它的特点是：不必求解系统的高阶微分方程，可直接根据频率特性曲线的形状及其特征量来研究系统的性能。

其突出的优点是：物理意义明确，可用实验的方法求出系统的频率特性和传递函数；而且计算量小，方法形象和直观，因而广为工程界所采用。

根据它在系统分析和综合中的应用，将频率响应法分为两部分：频率响应分析法和频率响应综合法，并分别在第 5 章和第6 章讨论。

在这一章里主要介绍：频率响应法的基本概念和控制系统频率特性曲线的绘制方法，以及它在系统分析与综合中的应用，重点在于其基本概念和应用。

5.1 频率特性
频率响应法起源于通讯学科。

它的基本思想是：将控制系统的变量也看作是信号；这些信号通过傅里叶(Fourier) 分析，对于周期信号可展开为傅氏级数，对于非周期信号可进行傅氏变换，它们均可视为由不同频率成分的正弦信号所合成的；线性定常系统各个变量的运动，就是系统对各个不同频率信号响应叠加的结果。

频率响应法的优点：第一，这种方法具有鲜明的物理意义。

第二，可以用实验方法测出系统的频率特性，并获得其传递函数以及其它形式的数学模型。

第三，它是一种图解法，形象直观、计算量小。

频率响应法也存在一定的局限性：首先它只适用于线性定常系统。

其次，频率响应法的筒便和实用性是以它的工程近似性为代价的。

5.1.1 频率特性的基本概念
首先考察图 5.1 一阶RC 电路图图 5.1 所示的简单系统。

该系统为一阶RC 电路。

该电路的微分方程为：
（5.1）
系统的传递函数为：
（5.2）
图 5.1 一阶 RC 电路图
若外施正弦输入电压，则可得系统的输出响应为：
式中等号右边的第一项为输出响应的暂态分量，第二项为输出响应的稳态分量。

当t趋于无穷大时第一项的暂态分量将趋于零，故系统的稳态输出响应为：
可以看到：在正弦输入电压作用下系统的稳态输出，是与输入同频率的正弦电压，其幅值为输入幅值
的倍，相角比输入的迟后arctgωT。

由稳态输出与输入的幅值比和相位差所构成的函数：
（5.3）
它完全地描述了系统响应的特性。

即在正弦输入电压作用下，稳态输出电压的幅值和相角的变化规律。

它们是正弦输入电压频率的函数，故称函数1/(1+jωT)或G(j ω )为该系统的频率特性函数( 简称频率特性) 。

相应地可绘制系统的频率特性曲线，如图 5.2 所示。

图 5.2 一阶 RC 电路的频率特性曲线
线性定常系统的频率特性对于一般的线性定常单变量系统，系统的传递函数为：
（5.4）
当输入信号为周期函数时如果在输入端施加的为正弦信号，则系统的输出响应为
或
（5.5）假设系统是稳定的，稳态响应分量
（5.6）
于是可定义线性定常系统的频率特性为，稳态时正弦输出信号的复数量与正弦输入信号的复数量之比，即
由上式可见，控制系统的频率特性等于其传递函数令s=j ω置换的结果。

频率特性的物理含义是：系统的幅频特性表示的是稳态时正弦输出信号与正弦输入信号的振幅之比；而相频特性表示的是正弦输出信号与正弦输入信号之间的相位差。

当输入信号为非周期函数时当输入与输出信号为非周期函数时，可以定义线性定常系统的频率特性为，输出信号的傅氏变换象函数与输入信号的傅氏变换象函数之比。

结论：
(1) 线性定常系统频率特性的定义不论系统稳定与否，均将传递函数G(s) 的s用jω置换的结果G(jω) 称为系统的频率特性。

(2) 频率特性与传递函数和输入输出微分方程一样都是系统的输入输出模型。

(3) 频率响应法是一种工程实用的图解法不必求解系统的输出响应，而是根据频率特性曲线的形状及其特征量，就可确定系统的稳定性、暂态和稳态性能以及改善系统特性的基本途径。

5.1.2 频率特性的图示方法
1. 幅相频率特性图
以频率ω为参变量，绘制幅值与相位移关系的图形，就是系统的幅相频率特性图。

图 5.3 一阶系统的极坐标图
线性定常集总参数系统的幅相频率特性曲线(-∞<ω<∞) 是关于实轴对称的频率特性与逆频率特性之间的关系为：它们的幅频特性互为倒数；而相频特性差一负号。

即
（5.7）
2. 对数频率特性图( 又称伯德图)
将系统的频率特性G(jω)=A(ω)ej υ(ω) 表示在对数坐标中，则可绘制对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，这样的图象叫做系统的对数频率特性图。

故对数频率特性图又叫做伯德图。

伯德图的特点对数频率特性图是以lgω为横坐标，20lgA(ω) 或(ω) 为纵坐标的频率特性图。

这就是说：系统的对数幅频特性是用
作为纵坐标，线性分度，单位为分贝(dB) ，如图 5.4(a) 所示，对数相频特性的纵坐标为相位移(ω) ，线性分度，单位为度( ° ) 或弧度(rad) ；而它们的横坐标均为角频率ω，采用对数分度( 即按lgω分度，但为了使用方便仍标以频率ω的值，其单位为rad/s) 。

ω与lgω之间的对应关系，如表 5.1 所列。

横坐标ω的对数分度与线性分度之间的区别，如图 5.4(b) 所示。

图 5.4 伯德图坐标分度的特点
采用伯德图的优点
(1) 能展宽视野。

由于横坐标采用对数分度后，ω变化10倍，横坐标( 即lgω) 只变化一个单位长度，即使ω变化10000 倍，横坐标也只变化 4 个单位长度。

因此在同一幅图上，可在很宽的频率范围内，把系统的低频、中频以及高频部分的频率特性均清晰地表示出来。

(2) 运算方便。

控制系统的频率特性通常可表示为一些典型环节频率特性的相乘(除) ，采用伯德图后可化乘除运算为加减运算。

(3) 绘制容易。

对数频率特性曲线的绘制，均有规律可循。

(4) 简化频率特性与其逆的图形对应关系。

互为逆的两个频率特性，其对数幅频特性和对数相频特性均分别互为反号；因而互为逆的对数幅频曲线和对数相频曲线都是关于横轴( 即零分贝轴或零度轴) 对称的。

5.1.3 频率特性与零极点的关系
系统频率特性的基本形状取决于系统零极点的分布。

频率特性以及相应的频率响应法，与前面介绍的时域法和根轨迹法具有内在的联系。

5.2 典型环节的频率特性
系统的频率特性也可视为由典型环节的频率特性组合而成的，其一般表达式为
（5.8）
因此为了绘制和研究实际(复杂)系统的频率特性，首先应当熟悉典型环节的频率特性。

5.2.1 比例环节的频率特性
由式(5.8) 可知，比例环节的传递函数G(s)=K。

于是比例环节的频率特性为
或
由此可见：比例环节的频率特性与频率无关，其幅值为一常数，而相角等于零，即系统的输出与输入是同相位的；该环节在系统中起比例或放大的作用。

其幅相频率特性曲线如图5.5(a)所示；而对数频率特性如图5.5(b)所示。

图 5.5 比例环节的频率特性
5.2.2 积分环节与微分环节的频率特性
1.积分环节的频率特性
由式(5.8) 可知，积分环节的传递函数G(s)=1/s。

于是积分环节的频率特性为：
可见积分环节的幅相频率特性曲线位于负虚轴上，如图 5.6(a) 的实线所示。

积分环节的对数频率特性为：
这说明：积分环节的对数幅频曲线是一直线，其斜率为dL(ω)/d(lgω)=-20(dB/dec) ，它与零分贝线交于ω=1 处( 即ω=1 时L(ω)=0) ，如图 5.6(b) 的实线所示；而对数相频曲线在整个频率范围内恒为迟后90 °，如图 5.6(c) 的实线所示。

ν阶积分环节的传递函数G(s)=1/sν，于是其对数频率特性为：
故ν阶积分环节的对数幅频曲线是一直线，其斜率为dL(ω)/d(lgω)=-20ν(dB/dec) ，与零分贝线相交于ω=1 处；而对数相频特性恒为迟后ν90 °。

图 5.6 积分环节与微分环节的频率特性
2. 微分环节的频率特性
( 理想) 微分环节的传递函数是积分环节传递函数的倒数。

故微分环节的幅相频率特性曲线，如图5.6(a) 的虚线所示；而对数频率特性曲线如图5.6(b) 和(c) 的虚线所示
5.2.3 惯性环节与一阶微分环节的频率特性
1. 惯性环节的频率特性
惯性环节的传递函数
（其中极点）
于是惯性环节的频率特性为
式中υ(ω)=-arctgωT。

其幅相频率特性曲线为一圆，如图 5.3(b)所示。

2. 一阶微分环节的频率特性
一阶微分环节的传递函数
于是一阶微分环节的频率特性为
相比较可以看到：一阶微分环节的频率特性是惯性环节的逆频率特性。

(1) 它们的幅值互为倒数，而相角差一符号。

于是一阶微分环节的幅相频率特性曲线，如图 5.3 (c) 所示。

(2) 它们的对数幅频特性和对数相频特性只差一个负号。

如果它们的转折频率相等，则一阶微分环节的伯德图与惯性环节的伯德图是关于ω轴对称的。

3. 多重因子的对数频率特性
将上述单重因子(其中为惯性环节，为一阶微分环节)的对数频率特性加以推广，则可绘制多重因子(1+jωT)q 的对数频率特性曲线，转折频率(ω=1/T)将对数幅频曲线分为两部分：低频段和高频段。

其低频渐近线是0分贝的水平线，高频渐近线是斜率为-20qdB/dec(对应
于因子)或20qdB/dec(对应于因子)的直线。

5.2.4 振荡环节与二阶微分环节的频率特性
1. 振荡环节的频率特性
二阶振荡环节的传递函数为下例中采用了鼠标适配器：
（5.11）
幅相频率特性由式(5.11) 可得振荡环节的频率特性为：
（5.12）
其中
分析式(5.12) 可以看到：当ω=0 时，A(0)=1 ，υ(0)=0°；当ω→∞时，A( ∞ )=0 ，υ( ∞ )=-180°；当ω=ωn 时，A(ωn)=1/(2ζ) ，υ(ωn)=-90°。

对数幅频特性由式(5.12) 可得，振荡环节的对数幅频特性为
（5.13）
当ω<<ωn时，式(5.13) 可近似表示为
（5.14）
当ω>>ωn时，式(5.13) 可近似表示为
而（5.15）
这表明振荡环节的高频渐近线，是一条斜率为-40dB/dec的直线。

当ω=ωn= |p 1| = |p 2| 时两条渐近线相交。

于是称相交点频率ωn为振荡环节的交接频率或转折频率，其值等于该环节复极点的模。

渐近曲线所造成的误差主要发生在转折频率的附近。

其误差为：在低频段(0<ω<ωn)
在高频段(ωn <ω<∞)
根据以上关系式则可绘制振荡环节对数幅频特性的误差修正曲线。

若对渐近幅频曲线的误差加以修正，则可得振荡环节的准确对数幅频曲线。

谐振频率ωr与谐振峰值Mr由对数幅频曲线可以看到，当ζ比较小时在ω=ωn的附近将出现谐振峰值。

这说明：振荡环节对于输入信号中频率接近ωn的那些谐波分量的增益特别大，因而在输出信号中这些谐波分量的影响将突出地表现出来。

谐振点是幅频曲线的驻点，解得谐振频率为
求得谐振峰值为
可以看到：当0≤ζ≤0.707时振荡环节的谐振峰值Mr是阻尼比ζ的单值函数，它随着ζ的减小而不断地增大，当ζ→ 0 时M r→∞；而谐振频率ωr低于无阻尼自然振荡频率ωn和阻尼振荡频率
ωd(为系统在暂态过程中实际存在的振荡频率) ，当ζ→ 0 时则ωr趋于ωn；若ζ>0.707 时将不产生谐振，即M r=1( 但与ζ=1 时相比，当0.707<ζ<1 时在转折频率ωn附近仍然有些偏高，故其阶跃响应仍然有微弱的振荡) 。

对数相频特性由式(5.12) 可得，振荡环节的相频特性为
当ω=0 时υ(0)=0°；当ω=ωn时υ(ωn)=-90°；当ω=∞时υ(∞)=-180°。

2. 二阶微分环节的频率特性
二阶微分环节的传递函数和频率特性分别为
二阶微分环节的传递函数是振荡环节传递函数的倒数。

因此二阶微分环节的极坐标图是振荡环节的逆极坐标图；其对数幅频特性和对数相频特性与振荡环节的只差一个负号，于是二阶微分环节的对数频率特性曲线与振荡环节的对数频率特性曲线是关于ω轴对称的。

5.2.5 非最小相位环节的频率特性
如果传递函数的零极点均分布在S 的左半闭平面上，则称该系统( 或环节) 为最小相位系统( 或环节) ；如果在右半开平面上至少有一个零点或极点、或者含有时滞环节，则称该系统为非最小相位系统。

典型的非最小相位环节有下列五种：时滞环节，非最小相位的一阶惯性与一阶微分环节，非最小相位的二阶振荡与二阶微分环节。

1. 时滞环节的频率特性
时滞环节的传递函数为，其中τ为滞后时间。

于是该环节的频率特性为
其中A(ω)=1 ，υ(ω)=-ωτ( 弧度) 或υ(ω)=-57.3ωτ( 度) 。

故时滞环节的极坐标图是以原点为圆心的单位圆，如图 5.7(a) 所示。

时滞环节的对数幅频特性为L( ω )=20lgA(ω)=0(dB) ，即它的对数幅频曲线为0 分贝的水平线，如图 5.7(b) 所示；而对数相频曲线则随着ω的增大，相位滞后越来越大，如图 5.7(c) 所示。

图 5.7 时滞环节的频率特性
2. 非最小相位一阶惯性环节与一阶微分环节的频率特性
(1) 非最小相位一阶惯性环节的频率特性
非最小相位一阶惯性环节的传递函数为G(s)=1/(T s-1) 。

频率特性为
（5.18）
其中υ(ω)=-arctgωT/(-1) 。

相应的频率特性曲线，如图 5.8 所示。

将其频率特性与( 最小相位) 惯性环节的频率特性相比较可以看到：它们的幅频特性完全一样，所不同的是相频特性。

当ω由0 变化至∞时，惯性环节的相角是从0 °变化至-90 °，而非最小相位一阶惯性环节的相角则从-180 °变化至-90 °。

(2) 非最小相位一阶微分环节的频率特性
该环节的传递函数G(s)=T s-1 ，频率特性为
与式(5.18) 相比较可见：非最小相位一阶微分环节的传递函数，是非最小相位一阶惯性环节的倒数；因而非最小相位一阶微分环节的极坐标图，为非最小相位一阶惯性环节的逆极坐标图；而其伯德图与非最小相位一阶惯性环节的伯德图是关于ω轴对称的。

3. 非最小相位二阶振荡环节与二阶微分环节的频率特性
(1) 非最小相位二阶振荡环节的频率特性
该环节的传递函数和频率特性分别为
（5.19）
式中ζ<0 ，。

由上式可绘制非最小相位二阶振荡环节的频率特性曲线，如图 5.8 所示。

比较可以看到：非最小相位二阶振荡环节与( 最小相位) 振荡环节的幅频特性完全一样，所不同的是它们的相频特性。

当ω从0 变化至∞时，振荡环节的相角是从0 °变化至-180 °，而非最小相位二阶振荡环节的相角则是从0 °变化至+180 °。

图 5.8 非最小相位二阶振荡环节的频率特性曲线
(2) 非最小相位二阶微分环节的频率特性
该环节的频率特性为
（5.14）
可见上式是式 (5.19) 的倒数。

因此非最小相位二阶微分环节的极坐标图，是非最小相位二阶振荡环节的逆极坐标图；其对数频率特性曲线与非最小相位二阶振荡环节的对数频率特性曲线是关于ω轴对称的
5.3 控制系统频率特性图的绘制
频率响应法的一个突出特点是：利用易于绘制的系统的开环频率特性曲线，来分析或综合闭环控制系统。

因此绘制系统的频率特性图，主要在于绘制系统的开环频率特性曲线。

(5.20)
通常闭环系统的开环传递函数和开环系统的传递函数以及较简单反馈系统的闭环传递函数，易于写成式(5.20) 所示的规范形式。

系统的频率特性可以表示为
其中
(5.21
上式表明：控制系统的幅频特性等于各组成环节幅频特性相乘；系统的相频特性等于各组成环节相频特性相加。

5.3.1 控制系统伯德图的绘制
由式(5.21) 可得，控制系统的对数频率特性为
上式表明：控制系统的对数幅频特性和对数相频特性，等于各组成环节的对数幅频特性和对数相频特性分 d 别相加。

由式(5.20) 可得，当ω趋于零时系统的频率特性为
故控制系统对数频率特性的低频渐近线为
(5.22)
式(5.22) 表明：对数幅频曲线的低频渐近线为一直线，其斜率为-20ν dB/dec，即斜率的大小取决于串联积分环节的阶数ν；渐近线的位置取决于增益K，由式( 5.22a ) 可得渐近线( 或其延长线) 与ω=1 垂直线的交点所对应的幅值为20lgK；而对数相频曲线的低频渐近线也是一直线，其相角为- ν 90 °。

例 5.1
绘制伯德图的一般步骤工程上常用更简便的方法来绘制系统的对数幅频曲线。

其基本思路是：为了快捷地对系统进行初步分析或综合，在实际工作中往往只需要绘制系统的对数渐近幅频曲线；而各典型环节，除了比例、积分和微分环节外，其对数渐近幅频曲线的低频渐近线均为零分贝线，故各环节对数渐近幅频曲线相加，实际上只需对转折频率后的高频段进行；转折频率在数值上等于零极点的模；如果需要绘制准确的幅频曲线，只需对渐近幅频曲线进行误差修正。

因此绘制系统伯德图的一般步骤可归纳如下。

1. 对数幅频曲线
(1) 将传递函数改写成式(5.20) 所示的规范形式。

(2) 绘制对数幅频曲线的低频渐近线。

在图上确定ω=1 和L(ω)=20lgK的点，由该点往左画斜率为-20ν dB/dec的直线，其中ν为积分环节的阶数。

该直线便是对数幅频曲线的低频渐近线。

(3) 绘制对数渐近幅频曲线首先根据传递函数零极点的模，确定渐近幅频曲线的转折频率，并将它们由小到大依次标在ω轴上；然后由上述的低频渐近线开始，沿频率增大的方向自左往右逐段绘制渐近曲线。

遇到转折频率处曲线就转折，渐近曲线的斜率便发生变化：每经过一个实数极点( 或实数零点) 所对应的转折频率后，渐近曲线的斜率就变化-20dB/dec( 或+20dB/dec) ；每经过一对共轭复数极点( 或共轭复数零点) 所对应的转折频率后，渐近曲线的斜率就变化-40dB/dec( 或+40dB/dec) ；当所有的转角频率都通过后，就完成了对数渐近幅频曲线的绘制工作。

(4) 如果需要，对转折频率附近的渐近曲线进行修正，便可得准确的对数幅频曲线。

2. 对数相频曲线的绘制
画出各组成环节的对数相频曲线，然后逐点将它们相加则可绘制系统的对数相频曲线。

对数相频概略曲线的绘制在工程上往往并不需要准确地画出系统的对数相频曲线，而只要求能快捷地勾画出它的大致形状。

这时不必将每个环节的相频曲线都画出来再逐点相加，而可直接根据若干重要频率点的相角值和各组成环节相频特性的特点以及相频曲线的变化范围，便可概略地绘制系统的对数相频曲线
5.3.2 控制系统极坐标图的绘制
控制系统频率特性G(jω) 的极坐标图，是当ω从0 变化至∞时表示在极坐标上G(jω) 的幅值与相角的关系图象。

其常用绘制方法有三种：直接计算法、伯德图法和应用MATLAB 等计算机软件来绘制。

其中伯德图法，是利用对数频率特性易于绘制的优点，先画系统的伯德图并从图上获得在不同ω下的幅值和相角数据，然后利用这些数据则可绘制系统的极坐标图。

直接计算法其做法是：在ω的取值范围内，给定一系列ω值分别计算对应的幅值和相角，根据这些数据则可绘制系统的极坐标图。

现举例说明如下。

例 5.3
例 5.4
最小相位系统幅相频率特性曲线的一般形状大多数控制系统的零极点均分布在S 的左半闭平面上，其传递函数的一般表示形式
（5.23）
式中n≥m。

对于这一类常见的最小相位系统，其幅相曲线的一般形状具有下列特点：
(1) 低频部分由式(5.23) 可得，频率特性的起始部分为
（5.24）
上式表明，幅相曲线的低频部分取决于系统类型ν和增益K。

各型系统幅相曲线低频部分的一般形状，如图 5.9(a) 所示。

(2) 高频部分由式(5.23) 可得，频率特性高频部分的幅值和相角分别为
（5.25）
这表明：当ω趋于∞时幅相曲线收敛于坐标原点( 当n>m时) ，或实轴上某一有限值点( 当n=m时) ；而曲线的方向由式(5.38) 决定。

如图 5.9(b) 所示。

(3) 中间部分分析式(5.23) 可得幅相曲线中间部分的复杂形状是由零极点的复杂分布所造成的。

根据以上特点，不难绘制各种类型最小相位系统的概略幅相频率特性曲线。

图5.9 各型最小相位系统的极坐标图
5.5 最小相位系统与频率特性函数的若干重要性质
5.5.1 最小相位系统与非最小相位系统
把零极点均分布在左半闭S 平面上的系统称为最小相位系统，否则便是非最小相位系统。

最小相位系统的幅频特性与相频特性是紧密相关的如果设系统传递函数的分子和分母的次数分别为m和n，则当ω趋于无穷时，无论是最小相位的还是非最小相位的系统，其对数幅频曲线的斜率均为-20(n-m)dB/dec ；而系统的对数相频特性则大不一样。

最小相位系统的相频特性与幅频特性是紧密相关的，当ω→∞时其相角也趋于-(n-m)90 °；而非最小相位系统则不具备这个性质。

因此对于最小相位系统，只要根据对数幅频曲线就能确定其传递函数。

而对于非最小相位系统，则必须同时根据对数幅频曲线和相频曲
线，才能确定其传递函数。

例 5.11
5.5.2 频率特性函数的若干重要性质
1. 频率特性函数具有线性的性质并系统的时间响应特性密切相关
频率特性函数具有线性的性质，满足叠加理论和齐次性。

因此，可以将一个复杂的频率特性函数分解为若干较简单的频率特性函数来处理；或者将复杂的输入信号分解为若干较简单的分量，并将输入的幅值取为1或其它便于计算的值来讨论。

这将给系统的频率响应分析带来很大的方便。

频率特性函数与系统的时间响应特性( 通常以系统的单位阶跃响应特性为代表) 具有密切的关系。

系统时间响应的稳态特性取决于频率特性的低频段，而暂态响应起始段的特性与频率特性的高频段有关。

2. 频率尺度与时间尺度的反比性质
系统的频率特性图在频率轴方向展宽几倍，其单位阶跃响应就加快几倍。

工程上认为，ωc和ωb一样是与系统暂态响应的速度成反比的。

由于ωb的求取不方便，而ωc可由系统的开环伯德图易于求得，故在工程上常用ωc来度量系统暂态响应的速度。

3. 最小相位系统的幅频特性函数与相频特性函数具有确定的关系
最小相位系统的幅频特性与相频特性不是相互独立的，它们之间具有确定的函数关系。

若已知幅频特性，则其相频特性也随之而定，反之亦然
5.6 奈奎斯特稳定判据
稳定性判别方法，是利用系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。

它由奈奎斯特(H.Nyquist) 于1932 年首先提出的，故命名为奈奎斯特判据，简称奈氏判据。

奈奎斯特稳定判据是从闭环系统的特征方程1+Gk(s)=0 ( 如式(5.26) 所示) 出发，并建立在复变函数的映射定理的基础之上的。

5.6.1 映射定理
一个复变函数F(s) 可视为从复数域到复数域的映射。

如果复数s=σ+jω用S平面来表示，复变函数F(s) 用复平面( 简称F平面) 上的图形来表示，则F(s) 就是从S平面到F平面的映射。

如图 5.12 所示。

图 5.12 映射定理的示意图
根据上式求非单位反馈系统闭环频率特性的作法是：将G k(jω)/[1+G k(jω)] 视为等效单位反馈系统的闭环频率特性，其幅值和相角可按上述方法，通过在尼科尔斯图上绘制G k(jω) 轨迹并读取它与等M轨迹和等α轨迹交点的ω、M和α值来获得；然后在各个频率下，将等效单位反馈系统的闭环对数幅值和相角，与H(jω) 的对数幅值和相角分别相减，则可求得非单位反馈系统的闭环幅频特性和闭环相频特性。

如果在S平面上的某一封闭曲线C内包含有F(s)的P个极点和Z个零点且该闭曲线不通过F(s)的任一零点或极点，当s沿闭曲线C顺时针方向连续变化一周时，则F(s) 对应的闭曲线C′沿逆时针方向包围坐标原点的周数N 为
N=P–Z (5.29)
这就是映射定理。

当F(s)含有时滞环节时，可以证明上述定理仍然成立
5.6.2 奈奎斯特稳定判据
取闭曲线 C 为包围整个右半S 平面并沿顺时针方向变化的封闭曲线，如图 5.13 所示。