高中数学-立体几何-线面角知识点

立体几何知识点整理
一.直线和平面的三种位宣关系：
1. 线面平行2・线面相交3.线在面内
二・平行关系：
1. 线线平行：
方法一：用线面平行实现。

l//a
7 c/? >=>』//也
a r\ fl = in
方法二：用面面平行实现。

7^7
方法三：用线面垂直实现。

若/丄QJ"丄G ,则/〃〃2。

方法四：用向量方法：
若向量i和向量万共线且人山不重合，则/〃〃2。

2. 线面平行：
方法一：用线线平行实现。

lUm
nt u a 了 => Illa
I <z a
方法二：用面面平行实现。

all p
/U0
方法三：用平面法向量实现。

若“为平面&的一个法向量，八丄7且/cza,则///a。

3. 面面平行:
方法一：用线线平行实现。

i//r
化加u a且相交
方法二：用线面平行实现。

Illa
mil a a II p
/,加u 0且相交
三・垂宜关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。

/丄AC
/丄43
"=> / 丄a
ACr^AB = A
AC, ABu a
方法二：用面面垂直实现。

a丄0
Z=7
n A I zD7
mllm1
A U 0且相交
all卩
/Y/
/~~7
a r\ p = m => /丄a
/ 丄mJ u p Z_7
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。

/丄a lu卩.
方法二：计算所成二面角为直角。

3. 线线垂宜：
方法一：用线面垂直实现。

/丄a ]
> => / 丄m
m u a
方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO丄a
/ 丄04 （=>1丄PA
I ua
方法三：用向量方法：
若向量i和向量〃；的数量积为o,贝M丄也。

三.夹角问题。

（一）异面直线所成的角：
（1）X围：（0。

,90。

]
（2）求法：
方法一：定义法。

步骤1:平移，便它们相交，找到夹角。

步骤2：解三角形求出角。

（常用到余荻定理）余荻定理：a2 +b2 -c2
cos& = ------------------
2ab
（计算结果可能是其补角）
方法二：向量法。

转化为向量的夹角 （计算结果可能是其补角）:
（二）线面角
（1）定义：直线/上任取一点p （交点除外），作PO 丄a 干6连结AO,则AO 为斜线
PA 在面a 内的射影，ZPAO （图中&）为直线/与面a 所成的角。

（2） X 围：［0。

,90。

］
当 6> = 0° 时，/ua 或/〃a ；当& = 90。

时，/丄a
（3） 求法：
方法一：定义法。

步骤1：作出线面角，并证明。

步骤2:解三角形，求出线面角。

（三）二面角及其平面角
（1）定义：在棱，上取一点P,两个半平面内分别作，的垂线 谢线）m. n,则射线m 和
n 的夹角&为二面角a-1-p 的平面角。

（2）
X 围：［0。

,180。

］
/7^
（3）
求法：
厶一"— 方法一: 定义法。

步骤1: 作出二面角的平面角（三垂线定理），并证明。

步骤2: 解三角形，求出二面角的平面角。

方法二: 截面法。

COS& = ABAC
HR
步骤
如图，若平面POA同时垂直干平面,则交线（射线）AP和AO的夹角就是二1：
面角。

步骤2:解三角形，求出二面角。

方法三：坐标法（计算结果可能与二面角互补）。

T 步骤一：计算COS<n{・n. >= ./?1.
nrh
步骤二：判断&与＜厲・勺＞的关系，可能相等或者互补。

四・距离问题。

1 •点面距。

方法一：几何法。

步骤1：过点p作PO丄a干O,线段PO即为所求。

步骤2:计算线段PO的长度。

（直接解三角形；等体积法和等面积法；换
点法）
2. 线面距、面面距均可转化为点面距。

3. 异面直线之间的距离
方法一：转化为线面距离。

如图，m和n为两条异面直线，“ua且加〃a,则异面直线m和n之间
的距离可转化为宜线m与平面&之间的距离。

方法二：直接计算公垂线段的长度。

方法三：公式法。

如图，AD是直线m和n的公垂线段，mllnf,则异面宜线m和n的距离为
d = y/c2 -a2 -b2±2ahcos0。