九年级数学《相似三角形的周长与面积》课件
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3、以上结论是你通过计算发现的，它 对不对呢？还需要加以证明，你能证明 这个结论吗？（请同学们组内自由讨论交流，
选学生代表发言。）
如图所示，如果 ABC ∽
那么
CABC k CA'B'C '
A' B'C' 相似比为k,
证明： ∵ ABC ∽ A' B'C' ,相似比为k.
∴
AB AC BC k A' B' A'C' B'C'
结论2：相似多边形的周长比等于相似比。
如果两个三角形相似，那么它们的 面积有什么关系？
如图，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k1，它们
的面积比是多少？
A’
C’
B’
D’
1、欲探讨三角形的面积，图中还需添加什么辅助线？
2、相似三角形对应边上的高（对应高）与相似比有何
关系？怎么证明？（可在活动2的图上画出并测量）
4、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边 由原来的图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩 比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变 化？
5、△ABC中，DE∥BC，
EF∥AB，已知△ADE和
△EFC的面积分别为4和9，
求△ABC的面积。
B
A
D
E
C F
1、学习了本节课后，请归纳相似三角形和相似 多边形有哪些性质？
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9
倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍。
2、填空：
（1）如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它
们对应边的比为 ；对应高的比为 。周长
的比为
。
（2）如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大
三角形一边上的高为 2 ，则较小三角形对应边 上的高为 。
3、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径15cm，一 种半径30cm，如果半径15cm的够两个人吃，半径 30cm的蛋糕多少人吃？（假设两种蛋糕高度一样）
∴ AD AB A' D' A' B'
∵△ABC∽△A’B’C’,
∴
AB A' B'
BC B'C'
k1
∴
AD A' D' k1
归纳：相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
因此
SABC SA'B'C '
1 BC AD 2 1 B'C'A' D'
BC B'C'
AD A' D'
相似三角形的周长和面积
1、如果两个三角形相似，那么它们的对应 边、对应角各有什么特征？ 2、研究三角形问题，除了探讨边和角之外， 我们还经常计算它的周长和面积，那么两 个相似三角形的周长和面积有什么特征呢？
1、请同学们在练习本上画出两个相似三 角形，思考它们的周长之间有什么关系？
2、分别测量出两个三角形的边长后计算， 看看它们的周长比与相似比有什么关系？ 由此你发现什么结论？
k1 k1
k12
Байду номын сангаас
2
问题：如果两个多边形相似，它们的面积有什么关系呢？(以四
边形为例。) 如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k2，它们的 面积比是多少？
A A’
D
D
B
B
’
’
1、如何把四边形转C化为你熟悉的三角形？
C
’
2、连接对应对角线AC和A′C′后所得的对应三角形
△ABC与△A’B’C’、 △ADC和△A’D’C’有什么关系？为
2、研究多边形问题时通常会把它如何转化？ 3、你除此之外还有哪些收获？
1、必做题：课本54页6、题，
56页13、14题。
2、选做题：56页16题。
课外探究：相似三角形对应角平分线 的比、对应中线的比有什么性质？如 何证明呢？相似多边形呢？
什么？
3、根据相似三角形面积的性质猜想并推证两相似四边形的面积
比与相似比的关系？
4、类似地，两相似多边形的面积比与相似比的关系呢？
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
例题:如图，在△ABC与△DEF中，
1 DE= 2 AC
1 , FD= 2 CB
且∠C=∠D, △ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周 长和面积。
解：在△ABC和△DEF中，
1
1
∵ DE= 2 AC , FD= 2 CB
∴ DE DF 1 AC BC 2
又∠D=∠C
1
∴△DEF∽△ABC，相似比为
1 2 ∴△DEF的周长为
×24=12，面积为（
2
1 ）2×48=16 2
变式练习：
1、判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5
倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍。
3、如何计算两相似三角形的面积？ 4、面积比与相似比关系如何？ 5、总结所得结论并规范写出证明
过程。
相似三角形对应 中线的比、对应 角平分线的比都 等于相似比吗?
证明：分别过点A、A’作出 ABC和 A' B'C' 的高AD和A’D’。
∵△ABD和△A’B’D’都是直角三角形，并且∠B=∠B’,
∴ △ABD ∽△A’B’D’.
∴ AB kA' B', AC kA'C', BC kB'C'
∴
AB BC AC kA' B'kB'C'kA'C' k A' B'B'C' A'C' A' B'B'C' A'C'
A
A'
C
B
B'
C'
结论1：相似三角形的周长比等于相似比。
两个相似多边形的周长之间会有什么关系？
（写出你得到的命题，并口述如何证明该命题 ？
选学生代表发言。）
如图所示，如果 ABC ∽
那么
CABC k CA'B'C '
A' B'C' 相似比为k,
证明： ∵ ABC ∽ A' B'C' ,相似比为k.
∴
AB AC BC k A' B' A'C' B'C'
结论2：相似多边形的周长比等于相似比。
如果两个三角形相似，那么它们的 面积有什么关系？
如图，△ABC∽△A’B’C’，相似比为k1，它们
的面积比是多少？
A’
C’
B’
D’
1、欲探讨三角形的面积，图中还需添加什么辅助线？
2、相似三角形对应边上的高（对应高）与相似比有何
关系？怎么证明？（可在活动2的图上画出并测量）
4、在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边 由原来的图中的2cm变成了6cm,这次复印的放缩 比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变 化？
5、△ABC中，DE∥BC，
EF∥AB，已知△ADE和
△EFC的面积分别为4和9，
求△ABC的面积。
B
A
D
E
C F
1、学习了本节课后，请归纳相似三角形和相似 多边形有哪些性质？
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9
倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍。
2、填空：
（1）如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它
们对应边的比为 ；对应高的比为 。周长
的比为
。
（2）如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大
三角形一边上的高为 2 ，则较小三角形对应边 上的高为 。
3、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径15cm，一 种半径30cm，如果半径15cm的够两个人吃，半径 30cm的蛋糕多少人吃？（假设两种蛋糕高度一样）
∴ AD AB A' D' A' B'
∵△ABC∽△A’B’C’,
∴
AB A' B'
BC B'C'
k1
∴
AD A' D' k1
归纳：相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
因此
SABC SA'B'C '
1 BC AD 2 1 B'C'A' D'
BC B'C'
AD A' D'
相似三角形的周长和面积
1、如果两个三角形相似，那么它们的对应 边、对应角各有什么特征？ 2、研究三角形问题，除了探讨边和角之外， 我们还经常计算它的周长和面积，那么两 个相似三角形的周长和面积有什么特征呢？
1、请同学们在练习本上画出两个相似三 角形，思考它们的周长之间有什么关系？
2、分别测量出两个三角形的边长后计算， 看看它们的周长比与相似比有什么关系？ 由此你发现什么结论？
k1 k1
k12
Байду номын сангаас
2
问题：如果两个多边形相似，它们的面积有什么关系呢？(以四
边形为例。) 如图，四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，相似比为k2，它们的 面积比是多少？
A A’
D
D
B
B
’
’
1、如何把四边形转C化为你熟悉的三角形？
C
’
2、连接对应对角线AC和A′C′后所得的对应三角形
△ABC与△A’B’C’、 △ADC和△A’D’C’有什么关系？为
2、研究多边形问题时通常会把它如何转化？ 3、你除此之外还有哪些收获？
1、必做题：课本54页6、题，
56页13、14题。
2、选做题：56页16题。
课外探究：相似三角形对应角平分线 的比、对应中线的比有什么性质？如 何证明呢？相似多边形呢？
什么？
3、根据相似三角形面积的性质猜想并推证两相似四边形的面积
比与相似比的关系？
4、类似地，两相似多边形的面积比与相似比的关系呢？
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
例题:如图，在△ABC与△DEF中，
1 DE= 2 AC
1 , FD= 2 CB
且∠C=∠D, △ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周 长和面积。
解：在△ABC和△DEF中，
1
1
∵ DE= 2 AC , FD= 2 CB
∴ DE DF 1 AC BC 2
又∠D=∠C
1
∴△DEF∽△ABC，相似比为
1 2 ∴△DEF的周长为
×24=12，面积为（
2
1 ）2×48=16 2
变式练习：
1、判断：
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5
倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍。
3、如何计算两相似三角形的面积？ 4、面积比与相似比关系如何？ 5、总结所得结论并规范写出证明
过程。
相似三角形对应 中线的比、对应 角平分线的比都 等于相似比吗?
证明：分别过点A、A’作出 ABC和 A' B'C' 的高AD和A’D’。
∵△ABD和△A’B’D’都是直角三角形，并且∠B=∠B’,
∴ △ABD ∽△A’B’D’.
∴ AB kA' B', AC kA'C', BC kB'C'
∴
AB BC AC kA' B'kB'C'kA'C' k A' B'B'C' A'C' A' B'B'C' A'C'
A
A'
C
B
B'
C'
结论1：相似三角形的周长比等于相似比。
两个相似多边形的周长之间会有什么关系？
（写出你得到的命题，并口述如何证明该命题 ？