2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数应用题压轴训练

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数应用题压轴训练
1．卡塔尔世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%．试销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出310本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
(3)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2600元？
2．为创建省级文明城市，改善人居环境，我市某社区投资1万元修建一个矩形植物园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造．墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为
y．
150元/m，设平行于墙的边长为m x，垂直于墙的一边长为m
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)若植物园面积为384m2，求x的值；
(3)求植物园的最大面积．
3．红星公司销售自主研发的一种电子产品，已知该电子产品的生产成本为每件40元，规定销售单价不低于44元，且销售每件产品的利润率不能超过50%，试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每月可售出300万件，销售单价每上涨1元，每月销售量减少10万件，现公司决定提价销售，设销售单价为x元，每月销售量为y万件．
(1)请写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
(2)当电子产品的销售单价定为多少元时，公司每月销售电子产品获得的利润w最大？最大利润是多少万
元？
(3)若公司要使销售该电子产品每月获得的利润不低于2400万元，请直接写出每月的售价x的范围．
4．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：
已知该运动服每件的进价为50元，设每件的售价为x元．
(1)请用含x的代数式填空，销售该运动服每件的利润是_______元：销售该运动服的月销量是_________件；
(2)设销售该运动服的月利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并求当每件的售价为多少元时，该月的利润最大，是多少？
5．跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．
(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
(2)若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？
(3)由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？
6．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为80万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求月销售量y与销售单价x的函数关系式（直接写出）；
(2)如果该公司想获得1200万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元；
(3)当该设备的销售单价应该是多少万元时，该公司所获月利润最大？
7．我市某苗木种植基地尝试用单价随天数而变化的销售模式销售某种果苗，利用30天时间销售一种成本为10元/株的果苗，售后经过统计得到此果苗，单日销售n（株）与第x天（x为整数）满足关系式：50
n x
=-+，
销售单价m（元/株）与x之间的函数关系为
1
20120
2
420
102130
x x
m
x
x
⎧
+≤≤
⎪⎪
=⎨
⎪+≤≤
⎪⎩
（）
（）
(1)计算第10天该果苗单价为多少元/株?
(2)求该基地销售这种果苗20天里单日所获利润y（元）关于第x（天）的函数关系式．
(3)“吃水不忘挖井人”，为回馈本地居民，基地负责人决定将区30天中，其中获利最多的那天的利润全部捐出，进行“精准扶贫”，试问：基地负员人这次为“精准扶贫”捐赠多少钱?
8．某超市以10元/个购进一批新的玩具，当以17元/个出售时，每天可以售出50个，国庆期间，在确保不亏本的前提下采取降价促销，经调查发现，当售价每降0.5元/个，每天可多卖出5个玩具；
(1)设玩具的售价降低了x元，每天的销售量为y个，写出y与x的函数关系式，及自变量x的取值范围；
(2)设销售这种玩具每天可获利为w元，求w与x之间的函数表达式；
(3)这种玩具的售价定为多少时，超市每天销售这种玩具获得的利润最大？
9．中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB 长1米（即1AB =），平台AB 距地面18米，以地面所在直线为x 轴，过点B 垂直于地面的直线为y 轴，取
1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为214(1)5
y x x c x =-+≥．运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t 秒，运动员与点A 的竖直距离为h 米，运动员与点A 的水平距离为l 米，经实验表明：26,h t l vt ==．
(1)求滑道对应的函数表达式；
(2)当5v =，1t =时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
(3)在试跳中，运动员从A 处飞出，运动员飞出的路径近似看作函数21289555
y x x =-++图像的一部分，着陆时水平距离为d 米，求d .
10．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元．规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如表：
(1)求出y 与x 之间的函数表达式；（不需要求自变量x 的取值范围）
(2)该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利6000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
(3)物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的50%，设销售这种衬衫每月的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数关系式，x 为多少时，w 有最大值，最大利润是多少？
11．任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，李强站在点O 处发出任意球，如图，把球看做点，其运行轨迹的高度()m y 与水平距离()m x 满足函数关系式()2
12y a x h =-+，李强罚任意球时防守队员站在李强前方8米处组成人墙，防守队员的身高为2米，对手球门与李强的水平距离为18米，已知足球球门的宽是7.32米，高是2.43米．
(1)当3h =时，求y 与x 的函数关系式；
(2)在第（1）问的前提下，足球能否越过人墙？足球能否直接射进球门？请说明理由；
(3)若李强罚出任意球一定能直接射进球门得分，直接写出h 的取值范围．
12．沈阳市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种水果，计划以每千克60元的价格销售，现决定降价销售，当降价不大于4元时，这种水果销售量y （千克）与每千克降价x （元）（x >0）满足一次函数关系，其图像如图所示．根据图像提供的信息，解答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)商贸公司要想获利2210元，求这种水果每千克应降价多少元？
(3)请直接写出当该水果每千克降价______元时，商贸公司的获利最大．
13．林场要建一个果园(矩形ABCD)，果园的一面靠墙(墙最大可用长度为30米),另三边用木栏围成，中间EF 也用木栏隔开，分为甲、乙两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)，木栏总长57米.设果园(矩形ABCD)的宽AB为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．
(1)用x的代数式表示BC；
(2)求S关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)求果园能达到的最大面积S及相应x的值．
14．一水果店售卖一种水果，以8元/千克的价格进货，经过往年销售经验可知：以12元/千克售卖，每天可卖60千克；若每千克涨价0.5元，每天要少卖2千克；若每千克降价0.5元，每天要多卖2千克，但不
低于成本价．设该商品的价格为x元/千克时，一天销售总质量为y千克．
(1)求y与x的函数关系式．
x≥，试求出水果店每天利润W与单价x的函数关(2)若水果店货源充足，每天以固定价格x元/千克销售()8
系式，并求出当x为何值时，利润达到最大．
15．疫情防控期间网络订餐实施“零接触”配送，德清县某快餐店配送某种套餐，每份套餐的成本价为30元．该快餐店店主结合订单数据发现，日销售量y（份）是每份套餐售价x（元）的一次函数，其中x，y的四组对应值如下表：
另外，该快餐店每日固定支出费用为1800元（不含套餐成本）
注：日净收入=日销售量⨯（每份套餐售价-每份套餐成本价）-每日固定支出
(1)求日销售量y关于每份套餐的售价x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若日净收入为W（元），求出W与x的函数关系式；
(3)当每份套餐的售价定为多少元时，日净收入最大，最大日净收入是多少？
16．某商店经销一种销售成本为40元/kg的水产品，据市场分析：若按60元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨2元，月销售量就减少20kg，针对这种水产品，请解答以下问题：
y与售价(x元/kg)之间的函数解析式
(1)写出月销售量()kg
(2)当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？
(3)商店想在月销售成本不超过8000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价可定在什么范围？
17．鲜埠，古乃采珠之地，素有“珍珠城”之美誉，已知一批珍珠每颗的进价为30元，售价定为50元/颗时，每天可销售60颗，为扩大市场占有率，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每
天销量可增加20颗（销售单价不低于进价）．
(1)写出商家每天的利润W（元）与降价x（元）之间的函数关系；
(2)当降价多少元时，商家每天的利润最大，最大利润是多少?
(3)若商家每天的利润至少要达到1440元，则定价应在什么范围内?
18．某超市计划上两个新项目：
项目一：销售A种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：2
=+．当
y ax bx
投资2万元时，可获得利润1.8万元；当投资4万元时，可获得利2.8万元．
=．项目二：销售B种商品，所获得利润y（万元）与投资金额x（万元）之间存在正比例函数关系：y kx
(1)请求出项目一中的二次函数表达式；
(2)如果超市同时对A、B两种商品共投资10万元，且经计算发现当投资A商品4万元、B商品6万元时可使获得的总利润最大，求k的值．
参考答案：
1．(1)()107604560y x x =-+≤≤
(2)将足球纪念册销售单价定为58元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润3240元．
(3)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2600元．
2．(1)2100(024)33
y x x =
+<≤ (2)18
(3)416m 2
3．(1)y 与x 之间的函数关系式为：()107404460y x x =-+≤≤
(2)当销售单价定为57元时，该公司每月销售利润最大，最大为2890万元
(3)每月的售价x 的范围5060x ≤≤
4．(1)()50x -，()3602x -
(2)2246018000y x x =-+-，每件的售价为115元时，该月的利润最大，是8450元
5．(1)甲、乙两种跳绳的单价分别是15元和17元；
(2)当购进甲种跳绳10根，购进乙种跳绳50根，利润W 最大；
(3)当店主将两种跳绳同时提高9元时，才能使日销售利润达到最大．
6．(1)2260y x =-+
(2)110或100
(3)105
7．(1)25元 (2)21155002y x x =-++ (3)612.5元
8．(1)5010y x =+，07x ≤≤
(2)21020350w x x =-++
(3)这种玩具的售价定为16元时，超市每天销售这种玩具获得的利润最大
9．(1)211094(1)55
y x x x =-+≥； (2)运动员此时没有落在滑道上
(3)9
10．(1)201800y x =-+
(2)这种衬衫定价为60元．
(3)售价定为70元时，可获得最大利润，最大利润是8000元．
11．(1)()2112348
y x =--+ (2)足球能越过人墙，能直接射进球门
(3)2.25 3.24h <<
12．(1)10100y x =+；自变量的取值范围为04x <≤；
(2)这种水果每千克应降价3元；
(3)4；
13．(1)603x -
(2)2360S x x =-+. 自变量x 的取值范围是：10x ≤<20．
(3)10m x =时, 2300m
14．(1)4108y x =-+
(2)24140864W x x =-+-，
352
15．(1)10700y x =-+
(2)210100022800w x x =-+-
11
(3)每份套餐售价定为50元时，日净收入最大，最大日净收入为2200元
16．(1)10900y x =-+
(2)当65x =时，w 有最大值为6250
(3)7080≤≤x ．
17．(1)2101401200W x x =-++
(2)当降价7元时，商家每天的利润最大，最大为1690元
(3)定价应为38元至48元之间
18．(1)项目一中的二次函数表达式为20.1 1.1y x x =-+
(2)k 的值为0.3。