2024届安徽省蚌埠市怀远县数学九年级第一学期期末经典模拟试题含解析

2024届安徽省蚌埠市怀远县数学九年级第一学期期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，90AOD ∠=︒，OA OB BC CD ===，以下结论成立的是（ ）
A ．OA
B OCA △△∽
B ．OAB ODA △△∽
C ．BAC BDA ∽△△
D ．以上结论都不对
2．抛物线 y=﹣（x ﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（ ）
A ．（1，2）
B ．（﹣1，﹣2）
C ．（﹣1，2）
D ．（1，﹣2）
3．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产钢铁1850吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x ，则可得方程（ ）
A ．2560(1)1850x +=
B ．2560560(1)1850x ++=
C ．()25601560(1)1850x x +++=
D ．()2
5605601560(1)1850x x ++++= 4．已知点P （a ，b 2b 的结果是（ ）
A ．a 2b -
B ．a
C ．a 2b -+
D ．a -
5．下列y 和x 之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A ．()()13y x x =+-
B ．31y x =+
C ．21y x x =+
D ．y ＝x-3
6．如图，在△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A 'B 'C ，使得△A 'B 'C 的边长是△ABC 的边长的2倍．设点B 的横坐标是﹣3，则点B '的横坐标是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
7．在平面直角坐标系中，把点(3,2)P -绕原点O 顺时针旋转180，所得到的对应点P'的坐标为（ ）
A ．(3,2)
B ．(2,3)-
C ．(3,2)-
D ．(3,2)-
8．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若∠AOD=30°，则∠BCD 的度数是（ ）
A ．150°
B ．120°
C ．105°
D ．75°
9．某学校要种植一块面积为200m 2的长方形草坪，要求两边长均不小于10m ，则草坪的一边长y （单位：m ）随另一边长x （单位：m ）的变化而变化的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．获2019年度诺贝尔化学奖的“锂电池”创造了一个更清洁的世界．我国新能源发展迅猛，某种特型锂电池2016年销售量为8万个，到2018年销售量为97万个．设年均增长率为x ，可列方程为（ ）
A ．8（1+x ）2＝97
B ．97（1﹣x ）2＝8
C ．8（1+2x ）＝97
D ．8（1+x 2）＝97
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >；②20a b +>；③240b ac ->；
④0a b c -+<，其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
12．在半径为10cm 的圆中，90︒的圆心角所对的弧长是__________cm ．
13．方程23x x =的根是__________．
14．点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________
15．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出______个小分支．
16．小明身高是1.6m ，影长为2m ，同时刻教学楼的影长为24m ，则楼的高是_____．
17．计算：sin30°
=_____． 18．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于点，连接，为的中点，连接．
（1）如图1，求证：
；
（2）将图1中的绕点逆时针旋转45°，如图2，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中的绕点逆时计旋转任意角度，如图3，取的中点，连接．问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
20．（6分）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x …﹣3 ﹣5
2
﹣2 ﹣1 0 1 2
5
2
3 …
y … 3 5
4
m ﹣1 0 ﹣1 0
5
4
3 …
其中，m= ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有个实数根.
③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是．
21．（6分）在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠A＝30°，BC＝2，求AC、AB的长；
（2）己知tan A＝
2
4
，AB＝2，求AC、BC的长．
22．（8分）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的
销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．
（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y （本）与销售单价x （元）之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠(06)a a <≤元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a 的值．
23．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则售价应定为多少？这时应进货多少个？
24．（8分）（1）计算：1
22126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭
-⎪． （2）如图，正方形纸板ABCD 在投影面a 上的正投影为1111D C B A ，其中边AB CD 、与投影面平行，,AD BC 与投影面不平行.若正方形ABCD 的边长为5厘米，145BCC ∠=，求其投影1111D C B A 的面积．
25．（10分）已知，如图，AB 是
O 的直径，AD 平分BAC ∠交O 平点D .过点D 的切线交AC 的延长线于E .求
证:DE AE ⊥.
26．（10分）如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，9012ACB AB ∠=︒=，，过点C 的切线与AB 的延长线交于点D ，OE 交AC 于点F ，CAB E ∠=∠.
（1）判断OE 与BC 的位置关系，并说明理由；
（2）若3tan 4
BCD ∠=，求EF 的长.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据已知条件结合相似三角形的判定定理逐项分析即可．
【题目详解】解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x
∴2x ，5，10x ，OC=2x ，OD=3x ，BD=2x , ∴2AB BD =25222210
BC AC AB DA ====∴
AB BC AC BD AB DA == ∴BAC BDA ∽△△．
故答案为C ．
【题目点拨】
本题主要考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
2、D
【解题分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【题目详解】抛物线 y =﹣（x ﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选D ．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键．
3、D
【解题分析】第一个月是560，第二个月是560（1+x ），第三月是560（1+x ）2
，所以第一季度总计560+560（1+x ）+560（1+x ）2=1850，选D.
4、A
【解题分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可．
【题目详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点，
∴a>0，b<0，
∴b−a<0，
=−b−(b−a)=−b−b+a=−2b+a=a−2b ，
故选A.
【题目点拨】
本题考查点的坐标， 二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.
5、A
【分析】根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数）进行判断．
【题目详解】A. ()()13y x x =+-可化为223y x x =--，符合二次函数的定义，故本选项正确；
B. 31y x =+，该函数等式右边最高次数为3，故不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C. 21y x x
=+，该函数等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误； D. y ＝x-3，属于一次函数，故本选项错误.
故选：A.
【题目点拨】
本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，化简后最高次必须为二次，且二次项系数不为0.
6、B
【分析】作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，根据位似图形的性质得到B′C ＝2BC ，再利用相似三角形的判定和性质计算即可．
【题目详解】解：作BD ⊥x 轴于D ，B′E ⊥x 轴于E ，
则BD∥B′E，
由题意得CD＝2，B′C＝2BC，∵BD∥B′E，
∴△BDC∽△B′EC，
∴
1
'2 CD BC
CE B C
，
∴CE＝4，则OE＝CE−OC＝3，
∴点B'的横坐标是3，
故选：B．
【题目点拨】
本题考查的是位似变换、相似三角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键．
7、C
【分析】根据题意得点P点P′关于原点的对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特点即可得解. 【题目详解】∵P点坐标为（3，-2），
∴P点的原点对称点P′的坐标为（-3，2）．
故选C．
【题目点拨】
本题主要考查坐标与图形变化-旋转，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
8、C
【解题分析】试题解析：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AOD=30°
， ∴∠ACD=15°
， ∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=105°
， 故选C ．
9、C
【解题分析】易知y 是x 的反比例函数，再根据边长的取值范围即可解题．
【题目详解】∵草坪面积为200m 2，
∴x 、y 存在关系y ＝，
∵两边长均不小于10m ，
∴x ≥10、y ≥10，则x ≤20，
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数解析式确定y 的取值范围，即可求得x 的取值范围，熟练掌握实际问题的反比例函数图象是解题的关键．
10、A
【分析】2018年年销量=2016年年销量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【题目详解】解：设年均增长率为x ，可列方程为：
8（1+x ）2＝1．
故选：A ．
【题目点拨】
此题主要考查了根据实际问题列一元二次方程；得到2018年收入的等量关系是解决本题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①②③
【分析】由图形先得到a ，b ，c 和b 2-4ac 正负性，再来观察对称轴和x=-1时y 的值，综合得出答案.
【题目详解】解：开口向上的0a >，与y 轴的交点得出0c <，012b a
<-<，0b <，0abc >，①对 12b a
-
<，0a >，2b a <，20a b +>，②对 抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ->，③对 从图可以看出当1x =-时，对应的y 值大于0，0a b c -+>，④错
故答案：①②③
【题目点拨】
此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其函数图象与关系.
12、5π 【分析】根据弧长公式：180
n r l π=即可求出结论． 【题目详解】解：由题意可得：弧长=
90105180cm ππ⨯= 故答案为：5π．
【题目点拨】
此题考查的是求弧长，掌握弧长公式是解决此题的关键．
13、10x =，23x =
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x ，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【题目详解】解：x 2＝3x
x 2﹣3x ＝0
即x （x ﹣3）＝0
∴10x =，23x =
故本题的答案是10x =，23x =．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
14、1
【分析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．
【题目详解】解：∵点(),1m 是二次函数221y x x =
--图像上， ∴2121m m =--则222m m -=．
∴()
223632326m m m m -=-=⨯=
故答案为：1．
【题目点拨】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
15、6
【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【题目详解】解：设这种植物每个支干长出x 个小分支，
依题意，得：2143x x ++=，
解得：17x =-（不合题意，舍去），26x =．
故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16、19.2m
【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出教学楼高度即可列方程解答．
【题目详解】设教学楼高度为xm ， 列方程得： 1.6242
x = 解得x ＝19.2， 故教学楼的高度为19.2m ．
故答案为：19.2m ．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相等的比例关系，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
17、
【解题分析】根据sin30°=直接解答即可． 【题目详解】sin30°
=. 【题目点拨】
本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.
18、16:25
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．
【题目详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：45k =
， ∴这两个三角形的面积比224
16()525
k ===；
故答案为：16∶25.
【题目点拨】
本题考查了相似三角形性质，解题的关键是熟记相似三角形的性质.
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
三、解答题(共66分)
19、 (1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解题分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．
（2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG=CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG=NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N．由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD=FM，又因为BE=EF，易证∠EFM=∠EBC，则△EFM≌△EBC，∠FEM=∠BEC，EM=EC，得出△MEC是等腰直角三角形，就可以得出结论．
【题目详解】（1）在中，为的中点，
∴．
同理，在中，．
∴．
（2）如图②，（1）中结论仍然成立，即EG=CG．
理由：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．
∴∠AMG=∠DMG=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠ADG=∠CDG．∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
在△DAG和△DCG中，
，
∴△DAG≌△DCG（SAS），
∴AG=CG．
∵G为DF的中点，
∴GD=GF．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠BAD，
∴AD∥EF，
∴∠N=∠DMG=90°．
在△DMG和△FNG中，
，
∴△DMG≌△FNG（ASA），
∴MG=NG．
∵∠DA∠AMG=∠N=90°，
∴四边形AENM是矩形，
∴AM=EN，
在△AMG和△ENG中，
，
∴△AMG≌△ENG（SAS），
∴AG=EG，
∴EG=CG；
（3）如图③，（1）中的结论仍然成立．
理由：过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN⊥AB于N．∵MF∥CD，
∴∠FMG=∠DCG，∠MFD=∠CDG．∠AQF=∠ADC=90°
∵FN⊥AB，
∴∠FNH=∠ANF=90°．
∵G为FD中点，
∴GD=GF．
在△MFG和△CDG中
，
∴△CDG≌△MFG（AAS），
∴CD=FM．MG=CG．
∴MF=AB．
∵EF⊥BE，
∴∠BEF=90°．
∵∠NHF+∠HNF+∠NFH=∠BEF+∠EHB+∠EBH=180°，∴∠NFH=∠EBH．
∵∠A=∠ANF=∠AMF=90°，
∴四边形ANFQ是矩形，
∴∠MFN=90°．
∴∠MFN=∠CBN，
∴∠MFN+∠NFE=∠CBN+∠EBH，
∴∠MFE=∠CBE．
在△EFM和△EBC中
，
∴△EFM≌△EBC（SAS），
∴ME=CE．，∠FEM=∠BEC，
∵∠FEC+∠BEC=90°，
∴∠FEC+∠FEM=90°，
即∠MEC=90°，
∴△MEC是等腰直角三角形，
∵G为CM中点，
∴EG=CG，EG⊥CG．
【题目点拨】
考查了正方形的性质的运用，矩形的判定就性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
20、（1）1；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜1．
【解题分析】（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=1，
即m=1，
故答案为：1；
（2）
如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=1有3个实数根；
②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是-1＜a＜1，
故答案为：3，3，2，-1＜a＜1．
21、（1）AB＝4，AC＝3（2）BC＝2，AC＝1．
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【题目详解】（1）在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC3＝3；
（2）在△ABC中，∠C＝90°，tan A 2
，AB＝2，
∴BC AC
∴设BC k ，AC ＝4k ，
∴AB k ＝，
∴k ＝2，
∴BC k ＝，AC ＝4k ＝1．
【题目点拨】
本题考查了含30°角的直角三角形，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．
22、（1）10500(3038)y x x =-+；（1）2a =．
【解题分析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．根据题意得到w=（x-10-a ）（-10x+500）=-10x 1+（10a+700）x-500a-10000（30≤x≤38）求得对称轴为x ＝35+12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38，则当1352
x a =+时，w 取得最大值，解方程得到a 1=1，a 1=58，于是得到a=1．
【题目详解】解：（1）根据题意得，()()2501025105003038y x x x =--=-+；
（1）设每天扣除捐赠后可获得利润为w 元．
()()()()220105001010700500100003038w x a x x a x a x =---+=-++--
对称轴为x ＝35+
12a ，且0＜a ≤6，则30＜35+12a ≤38， 则当1352x a =+
时，w 取得最大值， ∴1135201035500196022a a x a ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+---++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴122,
58a a ==（不合题意舍去）， ∴2a =．
【题目点拨】
本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，正确的理解题意，确定变量，建立函数模型．
23、当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.
【解题分析】试题分析：利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x 的关系式，求出即可． 试题解析：设每个商品的定价是x 元.
由题意，得()()40[1801052]2000.x x ---=
整理，得211030000.x x -+=
解得125060.x x ==， 都符合题意.
答：当该商品每个单价定为50元时，进货200个；每个单价为60元时，进货100个.
24、（1）352522+-；（2）2522
． 【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，根据实数的混合运算法则计算即可；
(2) 作BE ⊥CC 1于点E ，利用等腰直角三角形的性质求得BE 的长即可求得BC 的正投影11B C 的长，即可求得答案．
【题目详解】(1) 122126045330452(2)tan tan cos sin ---︒+-⎛⎫ ⎝⎭
-⎪ ()21232=231()224
--+-- ()232=231()2222
-+-- 352=522
+- ； (2)过点B 作BE ⊥CC 1于点E ，
在Rt BCE 中，45BCE ∠=︒，5BC =，
∴52sin 45BE BC =︒=， ∵1BB ⊥11B C ，1CC ⊥11B C ，且BE ⊥CC 1，
∴四边形11BB C E 为矩形，
∴11522
B C BE ==， ∵115C D CD ==，
∴1111
111152252522
A B C D S B C C D ===四边形． 【题目点拨】 本题主要考查了平行投影的性质，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，本题理解并掌握正投影的特征是解题的关键：正投影是在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影．
25、详见解析.
【分析】连接OD ，由切线的性质可知∠ODE=90°，证OD ∥AE 即可解决问题；
【题目详解】连接OD .
DE 是O 的切线，
OD DE ∴⊥，
90ODE ∴∠=︒，
OA OD =，
OAD ODA ∠=∠∴，
AD 平分BAC ∠，
CAD DAB ∴∠=∠，
CAB ADO ∴∠=∠，
// OD AE ∴，
180E ODE ∴∠+∠=︒，
90E ∴∠=︒，
DE AE ∴⊥.
【题目点拨】
本题考查切线的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26、（1）OE ∥BC .理由见解析；（2）125
【分析】（1）连接OC ，根据已知条件可推出E ACO ∠∠=，进一步得出AFO EFC 90ACB ∠∠∠==︒=结论得以证明；
（2）根据（1）的结论可得出∠E =∠BCD ，对应的正切值相等，可得出CE 的值，进一步计算出OE 的值，在Rt △AFO
中，设OF=3x,则AF=4x，解出x的值，继而得出OF的值，从而可得出答案．【题目详解】解：（1）OE∥BC.理由如下：
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE=90︒，
∴∠OCA+∠ECF=90︒，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠CAB．
又∵∠CAB=∠E，
∴∠OCA=∠E，
∴∠E+∠ECF=90︒，
∴∠EFC=180O-(∠E+∠ECF) =90︒．
∴∠EFC=∠ACB=90︒，
∴OE∥BC．
(2)由(1)知，OE∥BC，
∴∠E=∠BCD．
在Rt△OCE中，∵AB=12，
∴OC=6，
∵tan E=tan∠BCD=OC CE
，
∴
4
68
tan3
OC
CE
DCB
==⨯=
∠
．
∴OE2=O C2+CE2=62+82，∴OE=10
又由（1）知∠EFC =90︒，∴∠AFO=90︒．
在Rt△AFO中，∵tan A =tan E=3
4
，
∴设OF=3x,则AF=4x．
∵OA2=OF2+AF2，即62=(3x)2+(4x)2，
解得：
6
5 x=
∴
18
5 OF=，
∴
1832
10
55 EF OE OF
=-=-=．
【题目点拨】
本题是一道关于圆的综合题目，涉及到的知识点有切线的性质，平行线的判定定理，三角形内角和定理，正切的定义，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．。