2023年山东省泰安市中考数学试卷含答案解析

绝密★启用前
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.−2
3
的倒数为( )
A. −3
2B. −2
3
C. 3
2
D. 2
3
2.下列运算正确的是( )
A. 2a+3b=5ab
B. (a−b)2=a2−b2
C. (ab2)3=a3b5
D. 3a3⋅(−4a2)=−12a5
3.2023年1月17日，国家航天局公布了我国嫦娥五号月球样品的科研成果.科学
家们通过对月球样品的研究，精确测定了月球的年龄是20.3亿年，数据20.3亿
年用科学记数法表示为( )
A. 2.03×108年
B. 2.03×109年
C. 2.03×1010年
D. 20.3×109年
4.小亮以四种不同的方式连接正六边形的两条对角线，得到如图四种图形，则既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=35°，则∠2的度数
等于( )
A. 65°
B. 55°
C. 45°
D. 60°
6.为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测.在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩(单位：个)如下：
7，11，10，11，6，14，11，10，11，9．
根据这组数据判断下列结论中错误的是( )
A. 这组数据的众数是11
B. 这组数据的中位数是10
C. 这组数据的平均数是10
D. 这组数据的方差是4.6
7.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度
数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
(a,b为常数且均不等于0)在同一坐标系内的图象可能是( )
8.一次函数y=ax+b与反比例函数y=ab
x
A. B.
C. D.
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO=40°，∠ACB=
70°，则阴影部分的面积是( )
π
A. 4
3
π
B. 8
3
π
C. 16
3
π
D. 32
3
10.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两.根据题意得( ) A. {11x =9y (10y +x)−(8x +y)=13
B. {10y +x =8x +y 9x +13=11y
C. {9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13
D. {9x =11y (8x +y)−(10y +x)=13
11.如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，∠A =36°.以点B 为圆心，任意长为半径作弧，交AB 于点F ，交BC 于点G ，分别以点F 和点G 为圆心，大于1
2
FG 的长为半径作弧，两弧相交于点H ，作射线BH 交AC 于点D ；分别以点B 和点D 为圆心，大于
1
2
BD 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN 交AB 于点E ，连接DE.下列四个结论：①∠AED =∠ABC ；②BC =AE ；③ED =1
2BC ；④当AC =2时，AD =√ 5−1.其中正确结论的个数是( ) A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，点A 的坐标为(−6,4)；Rt △COD 中，∠COD =90°，OD =4√ 3，∠D =30°，连接BC ，点M 是BC 中点，连接AM.将Rt △COD 以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM 的最小值是( ) A. 3
B. 6√ 2−4
C. 2√ 13−2
D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

13.已知关于x 的一元二次方程x 2−4x −a =0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是______．
14.为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB =4cm ，则这张光盘的半径是______cm.(精确到0.1cm.参考数据：√ 3≈1.73)
15.二次函数y =−x 2−3x +4的最大值是______．
16.在一次综合实践活动中，某学校数学兴趣小组对一电视发射塔的高度进行了测量.如图，在塔前C 处，测得该塔顶端B 的仰角为50°，后退60m(CD =60m)到D 处有一平台，在高2m(DE =2m)的平台上的E 处，测得B 的仰角为26.6°.则该电视发射塔的高度AB 为______m.(精确到1m.参考数据：tan50°≈1.2，tan26.6°≈0.5)
17.如图，在△ABC 中，AC =BC =16，点D 在AB 上，点E 在BC 上，点B 关于直线DE 的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC 相交于F 点，G 点，若AF =8，DF =7，B′F =4，则CG 的长度为______．
18.已知，△OA 1A 2，△A 3A 4A 5，△A 6A 7A 8，…都是边长为2的等边三角形，按如图所示摆放.点A 2，A 3，A 5，…都在x 轴正半轴上，且A 2A 3=A 5A 6=A 8A 9=⋯=1，则点A 2023的坐标是______．
三、解答题：本题共7小题，共54分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

19.(本小题8分) (1)化简：(2−x−1
x+2)÷
x 2+10x+25
x 2−4
； (2)解不等式组：{2x +7>3
x+13
>x−12．
20.(本小题8分)
2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开.为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为优秀奖.并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据相关信息解答下列问题：
(1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是______度；
(2)补全条形统计图；
(3)若该党史馆有一个入口，三个出口.请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率．
21.(本小题8分)
的图象分别交于点A，点B，与y轴，x轴分别交于如图，一次函数y1=−2x+2的图象与反比例函数y2=k
x
点C，点D，作AE⊥y轴，垂足为点E，OE=4．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在第二象限内，当y1<y2时，直接写出x的取值范围；
(3)点P在x轴负半轴上，连接PA，且PA⊥AB，求点P坐标．
22.(本小题8分)
为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？
23.(本小题6分)
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点F是DC边上的一点，连接AF，将△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，连接AG并延长交DC于点H，连接FG并延长交BC于点M，交AB的延长线于点E，且AC=AE．
(1)求证：四边形DBEF是平行四边形；
(2)求证：FH=ME．
24.(本小题6分)
如图，△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，EF⊥AD．
(1)当AF=DF时，求∠AED；
(2)求证：△EHG∽△ADG；
(3)求证：AE
EH =AC
HC
．
25.(本小题10分)
如图1，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点A(−4,0)，B(−1,0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点P在二次函数对称轴上，当△BCP面积为5时，求P坐标；
(3)小明认为，在第三象限抛物线上有一点D，使∠DAB+∠ACB=90°；请判断小明的说法是否正确，如果正确，请求出D的坐标；如果不正确，请说明理由．
1.【答案】A
【解析】解：−23
的倒数为−32
． 故选：A ．
根据倒数的定义解答即可，倒数：乘积是1的两数互为倒数． 本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A 、2a 与3b 不是同类项，没法合并，故选项A 不正确； B 、由完全平方公式得(a −b)2=a 2−2ab +b 2，故选项B 不正确； C 、由积的乘方和幂的乘方得，(ab 2)3=a 3(b 2)3=a 3b 6，故选项C 不正确；
D 、单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式，故选项D 正确． 故选：D ．
利用幂的运算，完全平方公式，单项式乘单项式的运算法则，容易选出D 选项． 此题考查完全平方公式，幂的运算，单项式乘以单项式，较为基础．
3.【答案】B
【解析】解：20.3亿年=2030000000年=2.03×109年， 故选：B ．
科学记数法的表现形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4.【答案】D
【解析】解：A 、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C 、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D 、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D ．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5.【答案】B
【解析】解：∵∠A=30°，∠1=35°，
∴∠EDF=65°，
∵DF//EG，
∴∠BEG=65°，
∵∠B=60°，
∴∠2=180°−∠B−∠BEG=180°−60°−65°=55°．
故选：B．
先根据外角的性质求出∠EDF，再根据平行线的性质求出∠BEG，再根据三角形内角和求出∠2即可．
本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用平行线的性质并灵活运用．
6.【答案】B
【解析】解：这组数据中11出现的次数最多，故众数为11，故选项A不符合题意；
=10.5，故选项B符合题意；
把这组数据从小到大排列，排在中间的数分别为10和11，故中位数10+11
2
×(7+11+10+11+6+14+11+10+11+9)=10，故选项C不符合题意；这组数据的平均数是：1
10
×[(7−10)2+4×(11−10)2+2×(10−10)2+(6−10)2+(14−10)2+(9−
这组数据的方差为：1
10
10)2]=4.6，故选项D不符合题意．
故选：B．
分别根据众数、中位数、平均数以及方差的定义解答即可．
本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，
∵∠ADC=115°，
∴优弧ABC
⏜所对的圆心角为2×115°=230°， ∴∠BOC =230°−180°=50°， ∴∠BAC =1
2
∠BOC =25°， 故选：A ．
连接OC ，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC 的度数，进而求得∠BAC 的度数． 本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC 的度数是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：A 、一次函数y =ax +b 的图象经过第一、二、三象限，则a >0，b >0，所以ab >0，则反比例y =
ab
x
应该经过第一、三象限，故本选项不可能； B 、一次函数y =ax +b 的图象经过第一、二、四象限，则a <0，b >0，所以ab <0，则反比例y =ab
x 应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
C 、一次函数y =ax +b 的图象经过第一、三、四象限，则a >0，b <0，所以ab <0，则反比例y =ab x
应该经过第二、四象限，故本选项不可能；
D 、一次函数y =ax +b 的图象经过第一、二、四象限，则a <0，b >0，所以ab <0，则反比例y =ab x 应该经过第二、四象限，故本选项有可能； 故选：D ．
根据一次函数图象判定a 、b 的符号，根据ab 的符号判定反比例函数图象所在的象限．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
9.【答案】C
【解析】解：∵OA =OC ，∠CAO =40°， ∴∠CAO =∠ACO =40°，
∴∠AOC =180°−∠40°−40°=100°， ∵∠ACB =70°，
∴∠AOB =2∠ACB =140°，
∴∠BOC =360°−100°−140°=120°， ∴阴影部分的面积是120⋅π×42
360
=16
3π.
故选：C ．
根据∠CAO =40°，∠ACB =70°和圆周角定理，得出圆心角BOC 的度数即可得出阴影部分的面积． 本题主要考查三角形外接圆的知识，熟练掌握三角形外接圆的性质及扇形面积的计算是解题的关键． 10.【答案】C
【解析】解：∵甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等，
∴9x =11y ；
∵两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，
∴(10y +x)−(8x +y)=13．
根据题意可列方程组{9x =11y (10y +x)−(8x +y)=13
． 故选：C ．
根据“甲袋中装有黄金9枚，乙袋中装有白银11枚，称重两袋相等；两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两”，即可列出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：由题意可知，BD 是∠ABC 的平分线，MN 是线段BD 的中垂线，
∵AB =AC ，∠A =36°，
∴∠ABC =∠ACB =180°−36°2=72°，
∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =36°=∠A ，
∴AD =BD ，
在△BCD 中，∠C =72°，∠CBD =36°，
∴∠BDC =180°−36°−72°=72°=∠C ，
∴BD =BC ，
∴AD =BD =BC ，
∵MN 是BD 的中垂线，
∴EB =ED ，
∴∠BDE =∠ABD =36°=∠CBD ，
∴DE//BC ，
∴∠AED =∠ABC ，
因此①正确，
∴AE=AD=BD=BC，
因此②正确；
由于DE不是△ABC的中位线，
因此③不正确；
∵∠CBD=∠BAC=36°，∠BCD=∠ACB=72°，∴△BCD∽△ABC，
∴AC BC =BC
CD
，
即BC2=AC⋅CD，
设BC=x，则CD=2−x，
∴x2=2×(2−x)，
解得x=−1−√ 5(舍去)或x=√ 5−1，
即BC=√ 5−1=AD，
因此④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，
故选：C．
根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，进而得出AD=BD=BC，再根据平行线的判定方法可得出DE//BC，对①作出判断；再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出AE=AD=BD=BC，对②作出判断；由AE≠BE，可得DE不是△ABC的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出△BCD∽△ABC，进而求出BC，即AD即可对④作出判断．
本题考查角平分线，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和是180°以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
12.【答案】A
【解析】解：取OB中点N，连接MN，AN．
在Rt△OCD中，OD=4√ 3，∠D=30°，
∴OC=4，
∵M、N分别是BC、OB的中点，
∴MN=1
OC=2，
2
在△ABN中，AB=4，BN=3，
∴AN=5，
在△AMN中，AM>AN−MN；当M运动到AN上时，AM=AN−MN，
∴AM≥AN−MN=5−2=3，
∴线段AM的最小值是3，
故选：A．
由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．
13.【答案】a>−4
【解析】解：根据题意得Δ=(−4)2−4×1×(−a)>0，
解得a>−4．
故答案为：a>−4．
根据判别式的意义得到Δ=(−4)2−4×1×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
14.【答案】6.9
【解析】解：设光盘的圆心为O，由题意可知：AB，AC切⊙O于B、C，
连接OC，OB，OA，
如图所示：
∵AC，AB分别为圆O的切线，
∴AO为∠CAB的平分线，OC⊥AC，OB⊥AB，又∠CAD=60°，
∠CAB=60°，
∴∠OAC=∠OAB=1
2
在Rt△AOB中，∠OAB=60°，AB=4cm，
∴tan∠OAB =OB AB ，
∴OB =tan∠OAB ×AB =√ 3×4=4√ 3≈6.9(cm)，
∴这张光盘的半径为6.9cm ．
故答案为：6.9．
设光盘的圆心为O ，连接OC ，OA ，OB ，经过圆外一点A 的两条直线AC 与AB 都与圆O 相切，根据切线长定理得到AO 平分两切线的夹角，由∠CAD 的度数求出∠OAB 的度数为60°，同时由切线的性质得到OB 与AB 垂直，在直角三角形AOB 中，由tan60°等于对边OB 与邻边AB 之比，将AB 及tan60°的值代入，求出OB 的长，即为圆的半径．
此题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 15.【答案】254
【解析】解：y =−x 2−3x +4=−(x +32)2+254．
∵a =−1<0，
∴当x =−32时，y 取得最大值，最大值=254．
故答案为：254．
将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键． 16.【答案】55
【解析】解：过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ，
由题意得：AF =DE =2m ，EF =AD ，BA ⊥DA ，
设AC =x m ，
∵CD=60m，
∴EF=AD=AC+CD=(x+60)m，
在Rt△ABC中，∠BCA=50°，
∴AB=AC⋅tan50°≈1.2x(m)，
在Rt△FBE中，∠BEF=26.6°，
∴BF=EF⋅tan26.6°≈0.5(x+60)m，
∴AB=BF+AF=[2+0.5(x+60)]m，
∴1.2x=2+0.5(x+60)，
解得：x=320
7
，
∴AB=1.2x≈55(m)，
∴该电视发射塔的高度AB为约为55m，
故答案为：55．
过点E作EF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AF=DE=2m，EF=AD，BA⊥DA，然后设AC=x m，则EF=AD=(x+60)m，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，再在Rt△FBE中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出AB的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17.【答案】9
2
【解析】解：∵△BDE与△B′DE关于DE对称，
∴∠B=∠B′，
又∵∠AFD=∠B′FG，
∴△ADF∽△B′GF，
∴AF B′F =DF
GF
，
即8
4=7
GF
，
∴GF=7
2
，
∴CG=AC−AF−GF
=16−8−7 2
2
故答案为：9
2
．
根据轴对称可得∠B=∠B′，进而得出△ADF∽△B′GF，根据相似三角形的性质可求出FG，进而求出CG．本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
18.【答案】(2023,√ 3)
【解析】解：如图，∵△A1A2O是边长为2正三角形，
∴OB=BA2=1，A1B=√ 22−12=√ 3，
∴点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…
因此点A2023横坐标为2023，
∵2023÷3=674……1，而674是偶数，
∴点A2023在第一象限，
∴点A2023的纵坐标为√ 3，
即点A
2023
(2023,√ 3)，
故答案为：(2023,√ 3).
根据正三角形的性质以及三角形的排列规律可得点A1横坐标为1，点A2横坐标为2，点A3横坐标为3，点A4横坐标为4，…因此点A2023横坐标为2023，再根据这些正三角形的排列规律得出点A2023在第一象限，求出点A2023的纵坐标为√ 3，得出答案．
本题考查正三角形的性质以及点的坐标的规律性，掌握正三角形的性质和点的坐标的变化规律是解决问题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=2(x+2)−(x−1)
x+2⋅(x−2)(x+2)
(x+5)2
=2x+4−x+1
x+2⋅(x−2)(x+2)
(x+5)2
=x+5
x+2⋅(x−2)(x+2)
(x+5)2
x+5
(2){2x +7>3①x+13>x−12
②， 解①得：x >−2；
解②得：x <5，
故不等式组的解集为：−2<x <5．
【解析】(1)直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案；
(2)分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
此题主要考查了分式的混合运算以及一元一次不等式组的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 20.【答案】解：(1)200、108；
(2)补全图形如下：
(3)将三个出口分别记作A 、B 、C ，列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为39=13．
【解析】解：(1)本次竞赛获奖选手共有80÷
144°360∘=200(名)，
则B 等级人数为200×25%=50(名)，
∴C等级人数为200−(80+50+10)=60(名)，
∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×60
200
=108°，
故答案为：200、108；
(2)补全图形如下：
(3)将三个出口分别记作A、B、C，列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的有3种结果，
所以小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率为3
9=1
3
．
(1)由A等级人数及其圆心角度数所占比例求出总人数，总人数乘以B等级人数所占比例即可求得其人数，根据各等级人数之和等于总人数求出C等级人数，最后用360°乘以C等级人数所占比例可得答案；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】解：(1)∵一次函数y1=−2x+2的图象与y轴，x轴分别交于点C，点D，
∴点C(0,2)，点D(1,0)，
∵点E(0,4)，即OE=4，
∴OC=CE=2，
∵∠AEC =∠DOC =90°，∠ACE =∠DCO ，
在△AEC 和△DOC 中
{∠AEC =∠DOC
CE =CO ∠ACE =∠DCO
∴△AEC ≌△DOC(ASA)，
∴AE =OD =1，
∴点A(−1,4)，
∵点A 在反比例函数y 2=k x 的图象上，
∴k =−1×4=−4，
∴反比例函数的关系式为y 2=−4x ；
(2)方程组{y =−2x +2y =−4x 的解为{x 1=−1y 1=4，{x 2=2y 2=−2， ∵点A(−1,4)，
∴点B(2,−2)，
由于是在第二象限，当y 1<y 2时，x 的取值范围为−1<x <0；
(3)由于直线PA ⊥AB ，可设直线PA 的关系式为y =12x +b ，
把点A(−1,4)代入得，4=−12+b ，
解得b =92，
∴直线PA 的关系式为y =12x +92，
当y =0时，x =−9，
∴点P 的坐标为(−9,0)．
【解析】(1)根据一次函数的关系式可求出与x 轴，y 轴的交点D 、C 的坐标，再利用全等三角形的判定和性质得出AE =OD =1，进而确定点A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征确定k 的值即可；
(2)求出两个函数图象的交点坐标，再根据图象直观得出答案；
(3)求出直线PA 的关系式，再根据关系式求出其与x 轴的交点坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，掌握反比例函数、一次函数的图象和性质是正确解答的前提，确定点的坐标是解决问题的关键．
22.【答案】解：设这个学校九年级学生有x人，
根据题意得：3600
x ×50=3600
x+60
×60，
解得：x=300，
经检验，x=300是所列方程的解，且符合题意．
答：这个学校九年级学生有300人．
【解析】设这个学校九年级学生有x人，利用单价=总价÷数量，结合按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵△ADF沿直线AF折叠，点D落在点G处，
∴△ADF≌△AGF，
∴AD=AG，∠AGF=∠ADF=90°，
∴∠AGE=∠ADC=90°，
在Rt△ADC和Rt△AGE中：
{AD=AG
AC=AE
，
∴Rt△ADC≌Rt△AGE(HL)，
∴∠ACD=∠E，
在矩形ABCD中，对角线互相平分，
∴OA=OB，
∴∠CAB=∠ABD，
又∵DC//AB，
∴∠ACD=∠CAB，
∴∠ABD=∠ACD，
∴∠ABD=∠E，
∴DB//FE，
又∵DF//BE，
∴四边形DBEF是平行四边形．
(2)∵四边形DBEF是平行四边形，
∴DF=EB，
又∵DF=FG，
∴FG=EB，
∵DC//AE，
∴∠HFG=∠E，
在△FGH和△EBM中：
{∠FGH=∠EBM=90°FG=EB
∠HFG=∠E
，
∴△FGH≌△EBM(ASA)，
∴FH=ME．
【解析】(1)要证四边形DBEF是平行四边形，因为DF//BE，只要证DB//FE，进而证明∠E=∠ABD即可，需证明△ADC≌△AGE；
(2)只要证明△FGH≌△EBM即可．
此题以矩形为载体，考查了平行四边形的判断，三角形全等的知识，比较综合．
24.【答案】(1)解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠BAC=45°，∠CED=∠CDE=45°，
∴∠CGE=180°−∠ACB−∠CED=90°，
∵CE=CD，
∴EG=DG=1
2
DE，
∵AF=DF，EF⊥AD，
∴AE=DE，
∴EG=1
2
AE，
∴cos∠AED=EG
AE =1
2
，
∴∠AED=60°；
(2)证明：由(1)得：∠CGE=90°，∴CG⊥DE，
∴∠AGD=∠EGH=∠AFH=90°，∵∠AHF=∠EHG，
∴∠FAH=∠HEG，
∴△EHG∽△ADG；
(3)证明：如图，
作AQ//BC ，交EF 的延长线于点Q ，
∴△CHE ∽△AHQ ，
∴QH EH
=AH HC ，∠Q =∠CEF ，∠QAE =∠AEB ， ∴EQ EH =AC HC ，
设∠GEH =∠FAH =α，
由(1)知：AC 是DE 的垂直平分线，
∴AE =AD ，
∴∠EAG =∠FAH =α，
∴∠AEB =∠ACB +∠EAG =45°+α，
∵∠CEF =∠CED +∠GEH =45°+α，
∴∠AEB =∠CEF ，
∴∠Q =∠QAE ，
∴AE =EQ ，
∴AE EH =AC HC ．
【解析】(1)可推出EG =DG =12DE ，DE =AE ，进一步得出结果；
(2)可推出∠FAH =∠HEG ，∠AGD =∠EGH =90°，从而得出结论；
(3)作AQ//BC ，交EF 的延长线于点Q ，可推出△CHE ∽△AHQ ，从而
QH EH =AH HC ，∠Q =∠CEF ，∠QAE =∠AEB ， 从而得出EQ EH =AC HC ，设∠GEH =∠FAH =α，可推出∠EAG =∠FAH =α，从而∠AEB =∠ACB +∠EAG =45°+α，∠CEF =∠CED +∠GEH =45°+α，从而得出∠AEB =∠CEF ，从而∠Q =∠QAE ，从而推出AE =EQ ，从而得出AE EH =AC HC ．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是推出AC 是DE 的垂直平分线．
25.【答案】解：(1)由题意得：C(0,4)，
设抛物线的解析式为：y=a(x+4)(x+1)，
∴4=a⋅4×1，
∴a=1，
∴y=(x+4)(x+1)=x2+5x+4；
(2)如图1，
过点P作PT//BC，交x轴于点T，作BQ⊥PT于Q，∴∠QTB=∠CBO，∠TQB=∠BOC=90°，
∴△TBQ∽△BCO，
∴TB BC =BQ
OC
，
∴TB⋅OC=BC⋅BQ，
∵B(−1,0)，C(0,4)，A(−4,0)，
∴OC=4，OB=1，直线BC的解析式为：y=4x+4，抛物线的对称轴为：x=−5
2
，∴k PT=k BC=4，
由S△PBC=5得，
1
2
BC⋅BQ=5，
∴BC⋅BQ=10，
∴4TB=10，
∴TB =52
，
∴OT =OB +TB =1+52=72，
∴T(−72,0)，
∴直线PT 的解析式为y =4x +14，
当x =−52时，y =4×(−52)+14=4，
∴P 1(−52,4)；
同理可得：直线T ′Q ′解析式为y =4x −6，
∴当x =−52时，y =−16，
∴P2(−52,−16)；
∴P(−52,4)或P(−52,−16)；
(3)如图2，
存在D(−83,−209)，使∠DAB +∠ACB =90°，理由如下：
作BF ⊥AC 于F ，设AD 与y 轴交于点E ，
∴∠BFA =∠BFC =90°，
∴∠ACB +∠CBF =90°，
∵∠ACB +∠DAB =90°，
∴∠DAB =∠CBF ，
∵∠AOC =90°，OA =OC =4，
∴∠CAO =45°，AC =4√ 2，
∵AB =3，
∴AF =BF =AB ⋅sin45°=√ 22AB =3√ 22，
∴CF =AC −AF =4√ 2−
3√ 22=5√ 22， ∴tan∠DAB =tan∠CBF =
CF BF =53， ∴OE OA =53，
∴OE 4=53，
∴OE =203
， ∴E(0,−203
)， ∴直线AD 的解析式为：y =−53x −203
， 由{y =x 2+5x +4y =−53x −203
得， {x 1=−4y 1=0(舍去)，{x 2=−83y 2=−209， ∴D(−83,−209
). 【解析】(1)设抛物线的解析式为：y =a(x +4)(x +1)，代入点C(0,4)，进一步得出结果；
(2)过点P 作PT//BC ，交x 轴于点T ，作BQ ⊥PT 于Q ，可得△TBQ ∽△BCO ，从而TB BC =BQ OC ，变形得出TB ⋅OC =BC ⋅BQ ，由S △PBC =5得，12
BC ⋅BQ =5，从而BC ⋅BQ =10，从而求得TB ，从而得出点T 坐标，进而求得PT 的解析式，进一步得出结果；
(3)作BF ⊥AC 于F ，设AD 与y 轴交于点E ，可推出∠DAB =∠CBF ，解斜三角形ABC ，求得AF 和CF ，根据tan∠DAB =tan∠CBF =CF BF =53，得出OE OA =53，从而求得OE ，进而求得AD 的解析式，将其和抛物线的解析式联立，从而求得点D 坐标．
本题考查了求二次函数的解析式、一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．。