2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线(含答案)

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2023年湖南省中考数学真题分类汇编：相交线与平行线
一、选择题
1．（2023·岳阳）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F，G在直线CD上，EG⊥EF于点E，∠AEF=40°，则
∠EGF的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
2．（2023·怀化）如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．60°C．100°D．120°3．（2023·长沙）如图，直线m∥直线n，点A在直线n上，点B在直线m上，连接AB，过点A作
AC⊥AB，交直线m于点C．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2023·张家界）如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）
A．70°B．50°C．40°D．140°5．（2023·常德）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连接AF，DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为( )
A．80°B．90°C．105°D．115°6．（2023·邵阳）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，若添加一个条件，使四边形ABCD为平形四边形，则下列正确的是（ ）
A．AD=BC B．∠ABD=∠BDC C．AB=AD D．∠A=∠C 7．（2023·邵阳）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1=50°，则∠2的大小为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．130°
二、填空题
8．（2023·常德）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，D是AB上一点，且AD=2，过
的值为 ．点D作DE∥BC交AC于E，将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中BD
CE
9．（2023·株洲）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，∠B的平分线BE交AD于点E，则DE的长为 ．
10．（2023·怀化）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE=3．则点P到直线AB的距离为 ．
三、解答题
11．（2023·常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN 平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°=0.91，cos65.8°=0.41，tan65.8°=2. 23）
四、综合题
12．（2023·长沙）如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD=AF；
（2）若AD=6，AB=3，∠A=120°，求BF的长和△ADF的面积．
13．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD=BC，AE=BF，CE=DF．
（1）求证：AE∥BF；
（2）若DF=FC时，求证：四边形DECF是菱形．
14．（2023·常德）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是BD的中点，过点C作CE⊥AD 交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AC=8，求CE，DE的长．
15．（2023·邵阳）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB=8，AC=6，DE=4．
（1）证明：△ABC∽△DEB．
（2）求线段BD的长．
16．（2023·株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知∠POQ=30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．
（1）求∠COD的大小；
，OD=12米．问该轿车至少行驶多少米（2）若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=3
5
才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）
17．（2023·常德）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB，EC．
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在如图1中，若AE=AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC 的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．
求证：①AF⋅MH=AM⋅AE；
②GF=GD．
18．（2023·邵阳）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D做BC的平行线DE交AC于点E，点P 是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ ，PQ交AC于F．
（1）证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．
为何值时，△AQF是直角三角形？
（2）当AP
DP
答案解析部分1．【答案】C
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】4
5
9．【答案】2
10．【答案】3
11．【答案】解：方法一：
过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠FBA=114.2°，
∴∠FCQ=∠CBH=180°―114.2°=65.8°，
∵FC=57
∴FQ=FC⋅sin∠FCQ=57⋅sin65.8°，
过点A作AP⊥MN于点P，
由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，
∴∠ANP=∠FCQ=65.8°，
又∵AN=43，
∴AP=AN⋅sin∠ANP=43⋅sin65.8°，
过C作CH⊥AB于点H，
∵BC=CE，EB=16.4，
∴BH=8.2，
∴CH=BH⋅tan∠CBH=8.2×tan65.8°=8.2×2.23≈18.29，
∴靠背顶端F点距地面(MN)高度为
FQ+AP―HC=57sin65.8°+43sin65.8°―18.29=100×0.91―18.29=72.71≈72.7cm；方法二：
如图，过点F作FQ⊥DC交DC的延长线于点Q，过点C作CH⊥AB于点H，延长AB交FQ于点S，
∵BC=CE，EB=16.4，
∴BH=8.2，
又∵AB∥CD，
∴∠FCQ=∠HBC=180°―114.2°=65.8°，
=8.2÷0.41=20cm，
∴BC=BH
cos∠CBH
∴FS=FB⋅sin∠FBS=FB⋅sin∠HBC=(57―20)⋅sin65.8°=37sin65.8°，
过A作AP⊥MN于P，
由题意知AB∥CD∥MN，FC∥AN，
∴∠ANP=∠FCQ=65.8°，
又∵AN=43，
∴AP=AN⋅sin∠ANP=43sin65.8°，
∴靠背顶端F点距地面(MN)高度为FS+AP=37sin65.8°+43sin65.8°=80×0.91=72.8cm．12．【答案】（1）证明：在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDE=∠F，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF．
（2）解：∵AD =AF =6，AB =3，
∴BF =AF ―AB ＝3；
过D 作DH ⊥AF 交FA 的延长线于H ，
∵∠BAD =120°，
∴∠DAH =60°，
∴∠ADH =30°，
∴AH =12
AD =3，∴DH =AD 2―AH 2=33，
∴△ADF 的面积=12AF ⋅DH =12
×6×33=93．13．【答案】（1）证明：∵AD =BC ，
∴AD +DC =BC +DC ，
即AC =BD
在△AEC 和△BFD 中，
AC =BD AE =BF CE =DF
，∴△AEC≌△BFD(SSS)
∴∠A =∠B ，
∴AE ∥BF
（2）证明：方法一：在△ADE 和△BCF 中， AE =BF ∠A =∠B AD =BC
，∴△ADE≌△BCF(SAS)
∴DE =CF ，又EC =DF ，
∴四边形DECF 是平行四边形
∵DF=FC，
∴▱DECF是菱形；
方法二：∵△AEC≌△BFD，∴∠ECA=∠FDB
∴EC∥DF，
又EC=DF，
∴四边形DECF是平行四边形∵DF=FC，
∴▱DECF是菱形．14．【答案】（1）证明：连接OC
∵C为BD的中点，
∴CD=BC，
∴∠1=∠2，
又∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AE∥OC，
又∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，OC为半径，
∴CE为⊙O的切线，
（2）解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8，
∴AB=10，
又∵∠1=∠2，∠AEC=∠ACB=90°，∴△AEC∽△ACB，
∴EC CB =AC
AB
，即EC
6
=8
10
，
∴EC=24
5
，
∵CD=CB，
∴CD=BC=6，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：
DE=CD2―CE2=62―(24
5
)2=185．15．【答案】（1）证明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，∴∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90°，
∵CE⊥BE，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴∠C=∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
（2）解：∵△ABC∽△DEB，
∴AB DE =AC BD
，
∵AB=8，AC=6，DE=4，
∴8 4=6 BD
，
解得：BD=3．
16．【答案】（1）解：∵AO⊥OP，
∴∠POD=90°，
∵∠POQ=30°，
∴∠DOQ=∠POD―∠POQ=90°―30°=60°，∵OC⊥OQ，
∴∠COQ=90°，
∴∠COD=∠COQ―∠DOQ=90°―60°=30°，即∠COD的大小为30°；
（2）解：∵BC∥OQ，
∴∠BCO=180°―∠COQ=90°，
在Rt△COD中，∠COD=30°，OD=12，
∴CD=1
2
OD=6，
∴OC=OD2―CD2=122―62=63，
∵tanα=tan∠OBC=3
5=OC BC
，
∴BC=OC
tanα=63÷3
5
=30，
∴BD=BC―CD=30―6=24，
即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车．
17．【答案】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
又∵E在AD上，
∴EB=EC，
在△BAE和△CAE中，AB=AC，EB=EC，AE=AE
∴△BAE≌△CAE(SSS)
（2）证明：①连接AH，
∵A，H分别是ED和EC的中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AH∥DC，
∴∠EAH=∠EDC=90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠AFD=90°，
又∵HG∥AB，
∴∠FAD=∠AMH，
在△AFD和△MAH中，∠AFD=∠MAH=90°，∠FAD=∠AMH，∴△AFD∽△MAH，
∴AF AM =AD MH
，
∴AF⋅MH=AM⋅AD，
又∵AE=AD，
∴AF⋅MH=AM⋅AE；
②在△AMH和△DAC中，∠MAH=∠ADC=90°，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DF⊥AB，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
∵∠ABD+∠FAD=90°，
∴∠ABD=∠ADF，
∵AB∥HG，
∴∠AFD=∠HGD=90°，
∵∠AMH=∠GMD，
∴∠AHM=∠ADF，
∴∠ABD=∠ADF=∠AHM，
∴∠AHM=∠ACB，
∴△AMH∽△DAC，
又∵A、H分别为ED和EC中点，
∴AH为△EDC的中位线，
∴AM
AD =AH
DC
=1
2
，
∴AM=1
2
AD，即M为AD中点，
又∵AF∥GH，
∴G为FD中点，
∴GF=GD.
18．【答案】（1）证明：∵等边三角形ABC，
∴AB=BC=CA，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，∵DE∥BC，
∴∠AEP=∠ACB=60°，
∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，∴∠PAQ=60°，AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠AQP=∠APQ=60°，
∴∠AQP=∠AEP=60°，
∴A、P、E、Q四点共圆，
∴∠APQ=∠AEQ=60°，
∴∠PEQ=∠AEP+∠AEQ=120°．
（2）解：如图，根据题意，只有当∠AFQ=90°时，成立，∵△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，
∴∠PAQ=60°，AP=AQ，
∴△APQ时等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∵∠AFQ=90°，
∴∠PAF=∠QAF=30°，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°，
∵DE∥BC，
∴∠ADP=∠ABC=60°，
∴∠DAP=30°，∠APD=90°，
=3．
∴tan∠ADP=tan60°=AP
PD。