(2024年高考真题)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(文) 试卷 全国甲卷(含部分解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷
数学（文） 试卷
养成良好的答题习惯，是决定成败的决定性因素之一。

做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。

1.集合{1,2,3,4,5,9}A =，{1}B x x A =+∈∣，则A B =( ) A.{1，2，3，4}
B.{1，2，3，4}
C.{1，2，3，4}
D.{1，2，3，4}
2.设z =，则z z ⋅=( ) A.2
B.2
C.2
D.2
3.若实数x ，y 满足约束条件（略），则5z x y =-的最小值为( ) A.5
B.
12
C.2-
D.72
-
4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=( ) A.2-
B.
73
C.1
D.
29
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A.
14 B.13 C.12
D.
23
6.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12(0,4)(0,4)F F -、，且经过点
(6,4)P -，则双曲线C 的离心率是( )
A.
135
B.
137
C.2
D.3
7.曲线6()3f x x x =+在 (0,1)-处的切线与坐标轴围成的面积为( )
A.16
B.
2 C.12
D.
2
8.函数()2()e e sin x x f x x x -=-+-的大致图像为( ) 9.
已知
cos cos sin ααα=-an 4πt α⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭( )
A.3
B.1-
C.3-
D.1
3
10.直线过圆心，直径
11.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面：①若m α⊥，n α⊥，则//m n ；②若m α
β=，//m n ，则//n β；③若//m α，//n α，m 与n 可能异面，也可能相交，也可能平
行；④若m αβ=，n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥，以上命题是真命题的是( )
A.①③
B.②③
C.①②③
D.①③④
12.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若π
3B =
，294b ac =，则sin sin A C +=( )
A.13
B.13
C.
2
D.
13
13.略
14.
函数()sin f x x x =，在[0,π]上的最大值是_______. 15.已知1a >，
8115
log log 42
a a -=-，则a =_______. 16.曲线33y x x =-与2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，则a 的取值范围为_______.
17.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{} n S 的通项公式. 18.题干略.
19.如图，己知//AB CD ，//CD EF ，2AB DE EF CF ====，4CD =，10AD BC ==，
23AE =，M 为CD 的中点.
（1）证明：//EM 平面BCF ； （2）求点M 到AD E 的距离. 20.已知函数()(1)ln 1f x a x x =--+. （1）求()f x 的单调区间；
（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.
21.已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点3(1,)2M 在椭圆C 上，且MF x ⊥轴.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）(4,0)P ，过P 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，N 为FP 的中点，直线NB 与MF 交于Q ，证明：AQ y ⊥轴.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+. （1）写出C 的直角坐标方程；
（2）直线x t
y t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数）与曲线C 交于A 、B 两点，若||2AB =，求a 的值.
23.[选修4-5：不等式选讲] 实数a ，b 满足3a b +≥. （1）证明：2222a b a b +>+； （2）证明：22226a b b a -+-≥.
2024年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷
数学（文）答案
1.
答案：A
解析：因为{}1,2,3,4,5,9A =，{1}{0,1,2,3,4,8}B x x A =+∈=∣，所以{1,2,}3,4A B =，故选A. 2.
答案：D
解析：因为z =，所以2z z ⋅=，故选D. 3.
答案：D
解析：将约束条件两两联立可得3个交点：(0,1)-、3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1 3,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，经检验都符合约束条件.
代入目标函数可得：min 7
2z =-，故选D.
4.
答案：D
解析：令0d =，则93712
91,,99n n S a a a a ===+=，故选D.
5.
答案：B
解析：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，81
243
P ==，故选B. 6.
答案：C
解析：1221
2F F c
e a PF PF ===-，故选C.
7. 答案：A
解析：因为563y x '=+，所以3k =，31y x =-，111
1236S =⨯⨯=，故选A.
8.
答案：B
解析：选B.
9. 答案：B
解析：因为cos cos sin ααα=-
tan 1α=
，tan 1tan 141tan πααα+⎛
⎫+== ⎪-⎝
⎭，故选B.
10.
答案：直径
解析：直线过圆心，直径. 11. 答案：A
解析：选A. 12.
答案：C 解析：因为π
3
B =
，294b ac =，所以241sin sin sin 93A C B ==.由余弦定理可得：
22294
b a
c ac ac =+-=，即：22
134a c ac +=，221313
sin sin sin sin 412
A C A C +==，所以2227
(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=
，sin sin 2A C +=，故选C.
13. 答案：略
解析： 14.
答案：2
解析：π()sin 2sin 23f x x x x ⎛
⎫==-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当5π6x =时取等号.
15. 答案：64
解析：因为
28211315
log log log 4log 22
a a a a -=-=-，所以()()22log 1log 60a a +-=，而1a >，故2log 6a =，64a =.
16. 答案：(2,1)-
解析：令323(1)x x x a -=--+，则323(1)a x x x =-+-，设32()3(1)x x x x ϕ=-+-，
()(35)(1)x x x ϕ+'=-，()x ϕ在(1,)+∞上递增，在（0，1）上递减.因为曲线33y x x =-与
2(1)y x a =--+在(0,)+∞上有两个不同的交点，(0)1ϕ=，(1)2ϕ=-，
所以a 的取值范围为(2,1)-. 17.答案：见解析
解析：（1）因为1233n n S a +=-，所以12233n n S a ++=-，两式相减可得：121233n n n a a a +++=-，即：
2135n n a a ++=，所以等比数列{}n a 的公比5
3
q =，又因为12123353S a a =-=-，所以11a =，
1
53n n a -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
.
（2）
因为1233n n S a +=-，所以()133511223n
n n S a +⎡⎤⎛⎫
=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
.
18.答案：见解析
解析：（1）2
2
150(70242630) 6.635965450100
χ⨯-⨯=
<⨯⨯⨯，没有99%的把握；
（2）
p p >+. 19.答案：见解析
解析：（1）由题意：//EF CM ，EF CM =，而CF 平面ADO ，EM 平面ADO ，所以//
EM 平面BCF ；
（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则OA DM ⊥，OE DM ⊥，3OA =，
OE =而AE =，
故OA OE ⊥，AOE S =
△因为2DE =，AD =AD DE ⊥，AOE S △DM 设点
M 到平面ADE 的距离为h ，所以1133M ADE ADE AOE V S h S DM -=⋅=⋅△△，h ==
，故点M
到ADE 的距离为
5
. 20.答案：见解析
解析：（1）()(1)ln 1f x a x x =--+，1
()ax f x x
-=
，0x >. 若0a ≤，()0f x <，()f x 的减区间为(0,)+∞，无增区间； 若0a >时，当10x a <<
时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
增区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
；
（2）因为2a ≤，所以当1x >时，111e ()e (1)ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令
1()e 2ln 1x g x x x -=-++，则11()e 2x g x x -'=-+
.令()()h x g x '=.则121
()e x h x x
-'=-在(1,)+∞上递增，()(1)0h x h ''>=，所以()()h x g x '=在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ''>=，故()g x 在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g >=，即：当1x >时，1()e x f x -<恒成立.
21.答案：见解析
解析：（1）设椭圆C 的左焦点为1F ，则12F F =，3||2MF =
.因为MF x ⊥轴，所以15
2
MF =，12||4a MF MF =+=，解得：2
4a =，2
2
13b a =-=，故椭圆C 的方程为：22
143
x y +
=； （2）解法1：设()11,A x y ，()22,B x y ，AP PB λ=，则12
12410
1x x y y λλ
λλ
+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又
由()()22
11222
223412
3412x y x y λλλ
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可得：1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-，结合上式可得：25230x λλ-+=.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则222122335252Q y y y y y x x λλλλ=
==-=--，故AQ y ⊥轴.
解法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则
12
1244
y y x x =--，即：()1221214x y x y y y -=-，所以()()()
22
22
222211*********
21
213444433y x y x y x y x y x y x y y y ⎛⎫-+=-=+-+ ⎪⎝
⎭()()()()212121122144y y y y y y x y x y =-+=-+，
即：122121x y x y y y +=+，2112253x y y y =-.(4,0)P ，(1,0)F ，5,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则21212112335252Q y y y y y x y y x =
==--，故AQ y ⊥轴.
22.答案：（1）221y x =+ （2）
3
4
解析：（1）因为cos 1ρρθ=+，所以22(cos 1)ρρθ=+，故C 的直角坐标方程为：
222(1)x y x +=+，即221y x =+；
（2）将x t
y t a =⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得：222(1)10t a t a +-+-=，12||2AB t =-==，
解得：34
a =
. 23.答案：见解析
解析：（1）因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+. （3）
222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+=
22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b +-+≥+-+=++-≥.
高考质量提升是一项系统工程，涉及到多个方面、各个维度，关键是要抓住重点、以点带面、全面突破，收到事半功倍的效果。

一、备考策略务必精准
高三备考的不同阶段，目标和任务各不相同，就像打仗一样，攻克不同的山头有不同的打法，只有抓住要领，才能打赢主动仗。

一是细化“作战地图”。

从现在到一模考试前，主要任务是过课本、串教材，把基础知识再夯实，为专题复习奠定坚实基础。

各学科组教师要认真学习新课程、新课标、《中国考试评价体系及说明》和近三年高考原题，把高考考点和试题变化点做成“作战地图”，平时考试、练习要对照“作战地图”进行选题，并在“作战地图”上一一标注，确保考点训练无死角、考点覆盖无遗漏。

二是组织集体攻坚。

发挥学科组集体备考的优势，学科组内任务分解、责任到人，每次考试变式训练的预测由组长把关。

学科组坚持“一课一研”、“一考一研”，新老教师步调一致，节奏有序，充分发挥分工协作的集体教研智慧。

三是找准学科增分点。

认真研究本省、本市、本校近年来的高考数据，细化到每一个知识点的得失分情况，找准突破点和增分点，有目的进行专项训练和突破提升。

英语的阅读理解和小作文、语文的古文分析和作文、理科的做题速度、文科的答题思路等，都要制定详细的训练方案和突破的方法策略，在实践中调整提升，打破制约瓶颈，找到质量提升的突破口。

二、课堂教学务必高效。

课堂是教育教学是主阵地。

高三年级教学时间紧，教学任务重，更要切实发挥课堂40分钟的作用。

一是上好微专题课。

春节前后，一轮复习进入后期，学生不会的知识点逐步浮出水面。

这些薄弱知识点如果解决不好，将直接影响到二轮复习的效果。

高三年级要围绕浮现出来的问题，上好微专题或微微专题课，针对某一个点或几个点精讲、讲透，触类旁通。

微专题课怎么上？可以针对学生不会的问题，每节课重点解决1-2个知识点，专题强调，专
点训练，不贪多，顺一个点“追祖宗八代”，剖析透!微微专题，则更精、更准、更小、更有效，可以一节课只讲一道题，但是要把这一道题挖深、挖透，讲透一个会一类，做会一题能举一反三。

二是上好试卷讲评课。

试卷讲评课是高三的主打课型，必须切实收到实效。

首先，要精确掌握考情。

考试不过夜，打铁要趁热，每次考试以后，要对班级考试情况了如指掌，充分了解易错点、易考点，这样讲评时，才能有所侧重，才能有针对性地攻克重难点。

其次，要规范讲评流程。

针对错误率高或重点考察的试题，教师引导出方法思路；再由学生个人进行自评自纠，小组讨论展示，找出得分原因和失分原因，真正弄清楚解题思路。

师生合作再对解题思路进行再归纳总结，写到纸上记录下来，强化验证结果。

三是克服“漏斗思维”。

所谓“漏斗思维”，就是：今天正在学，突然有事不继续了，明天已经忘记一大部分，后天想起来，继续学，但是忘记的一大部分似乎又需要重新开始，周而复始，积累数月，结果是仅仅只有一点点的内容，而且是在同一个地方循环往复。

对于常错、常考的知识点，要经常复习，要不就如同漏斗一样慢慢溜掉。

尤其是对于已经进行过的专题训练、变式训练，不能认为进行过一次、两次就万事大吉，要每隔2周进行“回头看”，把学生的易错题重新编辑，归类整理后附上分析讲解印发给学生，克服漏斗思维，反复夯实专题训练的知识点。

三、学生训练务必得法。

教师的教学能力最终要转化为学生的学习能力，对高三学生而言，就是要通过训练转化为学生的答题能力。

一是严格限时训练。

限时训练就是让学生在规定时间内做完训练题目，既训练速度，又锻炼准确度。

限时训练可短可长，可以是课前十分钟，可以是一节课，但必须坚决做到即练即评，长期坚持，通过教师评阅提升学生答题速度和效度，做到日日清，周周清，月月清，适应高考临场答题要求。

二是严格规范答题。

要认真研究高考原题和高考答案，根据学生的答题情况认真进行比对。

要把学生在考试时的原生态答卷原汁原
味地展示出来，再让学生自己对照答案进行打分、评价，找出与标准答案的差距，小组内相互交流、讨论，制定答题标准模板，保证将来一分不丢。

三是突出变式训练。

对于临界生的典型错题或遗漏知识点，要进行变式训练，一题多变进行训练，把错题作为“母题”，至少进行一题五变以上，让学生写出每道题的解题思路，最后总结出此类变式的特点和解题入手点。

教师必须要把变式训练当做作业认真批改，带领学生共同验证解题思路，形成答题的基本思路。

四是落实“作业自助餐”。

对学生要进行分类指导，不能一刀切，尤其是对于清北临界生和一本临界生，学校应高度重视临界生转化工作。

要把握好临界生的学科短板，制定好辅导、转化和提升的具体措施，要实行面批面改，落实“作业自助餐”。

针对不同的高频错题，由教师分别独立设置变式训练题，也就是A错题出至少5道变式训练，独立印刷；B错题再出5道变式训练，独立印刷；C错题也出5道变式训练，独立印刷；学生可以根据自己的错题，自主领取对应的变式训练题，通过针对性训练补齐学科或知识短板，提升整体备考效益。

五是强化精神激励。

高三学生学习任务重，压力大，师生缺乏必要交流，学生容易出现心理焦虑、缺乏归属感等心理问题。

为此，要对高三年级学生多鼓励，多表扬。

大人总想听好听话，学生也是如此，越是鼓励越有劲，因老师的一句话、一个眼神而改变一生命运的事例不胜枚举。

教师要不吝赞美，从情绪上、从情感上调动学生学习积极性。