14 等可能概型讲解

设 A {摸得 2 只球都是白球}, A 包含基本事件数 4, 2
故
P( A) 4 2
6 2 . 2 5
解2 : P( A) A42
A62
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放回地 摸球3次,求前2 次摸到黑球、第3 次摸到红球的概率.
设随机变量X表示任取n件产品中次品的件数， 则X可取0,1,2,…,n (若n<D)
X的分布律：P{X=k}

D k


N D nk


N n
，
k=0,1,2,...,n
4、抓阄与次序无关
例 4 袋中有 a 只白球，b 只红球。k 个人依次在袋
解 设 A =“所取数能被6整除”, B=“所取数能被8整除” 则所求为 P( AB) P( A B) 1 P( A B)
1 {P( A) P(B) P( AB)}.
因为 333 2000 334, 所以 P( A) 333 ,
6
2000
由于 2000 250, 故得 P(B) 250 .
15! 25 . 5! 5! 5! 91
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种, 对于每一种分法,其余12名新生的分法有 12! 种.
2! 5! 5!
因此所求概率为
p2

3 12! 2! 5! 5!
15! 6 . 5! 5! 5! 91
作业：P25 5,6,7,11
设试验 E 的样本空间为 S={e1,e2 ,,en }，事 件 A={ei1 , ei2 ,, eik } S 。
因 P{e1} P{e2 } P{en }，
又 P(S) P{e1 e1 en }
P{e1} P{e2 } P{en } 1,
故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为
p
212 712

0.0000003
根据实际推断原理（小概率事件在一次试验中
几乎不可能发生）可知假设是错误的，可认为接待
站的接待时间是有规定的。
居然发生！
例6 在1~2000的整数中随机地取一个数,问取到的整 数既不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少 ?
解 设 A {前2次摸到黑球,第三次摸到红球}
第3次摸到红球 4种 第12次摸到黑球 6种6种
第123次摸球 10种
每一种摸法为一个基本事件，则基本事件总数为 103,
A 中基本事件数 6 6 4,
故
P( A)
664 103

0.144 .
例 1 一口袋有 4 只白球 2 只红球。从袋中取球 两次，每次随机取一只。就放回抽样和不放回抽样 两种情况求： （1）取到的两只球都是白球的概率; （2）取到的两只球颜色相同的概率; （3）取到的两只中至少有一只白球的概率。P10
(1)P( A) 4 4 4 而P(B) 2 2 1
66 9
66 9
(2)P("两球同色") P(A B)
P( A) P(B)
41 99
5 9
(3)P(C) P(B ) 1 P(B) 8 9
(b)不放回抽样
(1)P( A) 4 3 2 或P(A) C42 2 / 5
(1) 每个杯子只能放一个球 问题1 把4个球放到10个杯子中去,每个杯子只能
放一个球, 求第1 至第4个杯子各放一个球的概率.
解 ①把4个球放到10个杯子中去,每一种放法为一个 基本事件，则基本事件总数为 n=10*9*8*7 或n= A140 (从10个杯子中选4个装球，有次序)
②由对称性知可能性相同；因此属于古典概型。
65 5
C62
(1)P(B) 21 1
6 5 15
或P(B) C22 1/15 C62
(2)P( A B) P( A) P(B) 2 1 7 5 15 15
(3)P(C ) P(B ) 1 P(B) 14 15
2、球放入杯子模型（分房模型）
2、乘法原理：“若完成某事分k步，第i步有mi种方法 （i=1，2，…,k）则完成该事共有m1* m2*…* mk”
3、排列数： Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
4、组合数：
n m

Cnm

Anm m!

n! m!(n m)!
0! 1，Cnm

N(N
1)( N Nn

n
1)

ANn Nn
(生日问题)假设每人的生日在一年 365 天（N）
中的任一天是等可能的，求随机抽取的 n 个人中至
少有两人生日相同的概率 p。 (n<365)
解：n 个人生日各不相同的概率为 A3n65 365n
由此可知，至少有两人生日相同的概率为
p

1

An 365
故 P{e1 }

P{e2 }



P{en }

1。 n
于是 P( A) P({ei1 } {ei2 } {eik })

P{ei1 }
P{ei2 }
P{eik
}

k, n
则 P( A) k n
=
A包含的基本事件个数 S中的基本事件总数
有限性 “数数”
1、加法原理：“若完成某事分k类方法，第i类有mi种 方法（i=1，2，…,k）则完成该事共有m1+ m2+…+ mk”
第1至第4个杯子（指定）各放一个球的概率为
p

A44 A140
4321 10 9 8 7
1. 210
问题2：杯子容量无限 把 4 个球放到 3个杯子中去,求 (1)第1、2个杯子（ 指定 ）中各有两个球的概率; (2) 恰好（ 不指定 ）有两个杯子中各有两球的概率.
解：4个球放到3个杯子的所有放法 3 3 3 3 34种,
(1) p 4 2 34 2 .
2 2
27
（2）
342
p


2


2

2
34
例 2 将 n 只球随机地放入 N 个盒子中去，试
求每个盒子中至多有一只球的概率（设盒子的容量
不限）。（ n<N, 见课本 P11 例 3）
解：所求概率 p
解：记 A 表示取到的两只都是白球; B 表示取到的两只都是红球; C 表示取到的两只中至少有一只白球。
则所求：(1)P(A) (2)P(A B) P( A) P(B)
(3)P(C) P(B ) 1 P(B)
(a)放回抽样：从袋中依次取两球（有放回），每种取法为
一基本事件，取法总数：6*6；由对称性知等可能性。
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
中去接待站是等可能的.
71 72
73
74
172
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
故一周内接待 12 次来访共有 712种.
12 2
32
4 2
12 2
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
12 次接待都是在周二和周四进行的共有 212种.
解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 5 5 5
15! . 5! 5! 5!
不全相异元素的全排列公式
(1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
3!12! (4! 4! 4!) 种.
因此所求概率为
p1

3!12! 4! 4! 4!
365n
n 20 23 30 40 50 64
p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.97 0.997 我们利用软件包进行数值计算.
3、 超几何分布 的概率公式
例3 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任取
n 件,问其中恰有 k(k D) 件次品的概率是多少?
解 所求的概率为 p D N D N . k n k n
第一章 概率论的基本概念
第四节 等可能概型（古典概型）
一、古典概率公式 二、古典概型的基本模型
一、古典概型
1. 定义 若试验 E 满足下面两点：
1°试验的样本空间只包含有限个元素; 2°试验中每个基本事件发生的可能性相同。 这种试验称为等可能概型，也称古典概型。
说明：E（目的）→S 10 有限性 “数数”---加法原理、乘法原理+排列、组
二、 古典概型的基本模型 1、摸球模型 (1) 无放回地摸球
问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从袋中无
放回地依次摸出2只球,求这2只球都是白球的概率?
解 ①从袋中任取两球（无放回），每一种取法为一 个基本事件，则基本事件总数n= 6 ,
2
②由对称性知每个基本事件发生的可能性相同； 因此属于古典概型。
8
2000
由于 83 2000 84, 得 P( AB) 83 .
24
2000
P( AB)

1


333 2000

250 2000

280300

3. 4
例7 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少?
n = 8，即 S 中包含有限个元素，且由对称性知每个 基本事件发生的可能性相同，属于古典概型。
而 A1 {HTT , THT , TTH }. 得 P( A1 ) 3 8,
(2) A2 {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT ,TTH }.
因此 P( A 2 ) 7 8. 或 P(A2) P({TTT}) 1/8

Cnnm , Cnm

Cm nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1

C m1 n1
练习: 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为"恰有一
次出现正面",求 P( A1). (2) 设事件 A2 为 "至少有一 次出现正面",求 P( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
则 S {HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT }.
中中取一只球，（1）作放回抽样; （2）作不放回抽样。
求第 i 人取到白球（记为事件 B）的概率。（P12 例 5）
解：(1)所求概率为 P(B) a ab
(2)所求概率为 P(B)
aA k 1 ab1

a
Ak ab
ab
如同买彩票时各人得奖的机会是一样的。
例 5 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访， 已知所有这 12 次接待都是在周二或周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的？（P14 例 8）
合 20等可能---“对称性经验”
2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成, A
为 E 的任意一个事件,且包含 k 个样本点, 则事
件 A 出现的概率记为:
P{A}
k n

A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
称此为概率的古典定义.
下面推导等可能概型下概率的计算公式：