导数的概念与函数的求导法则

设质点的运动方程为s = s(t),则
从时刻 t0 到 t0 +Δt 时间段内，质点走过的路程为：
Δs = s(t0 + Δ t ) – s(t0 ) 在时间间隔Δt 内，质点运动的平均速度为:
v = Δ s = s(t0 + Δt) − s(t0 )
Δt
Δt
当Δt→0时，取极限得质点在时刻t0的瞬时速度:
=
lim
Δx→0
f ( x0
+ Δx) − Δx
f ( x0 )
若 lim Δx→0
f
( x0
+
Δx) − Δx
f ( x0 ) 不存在,则称f ( x)在点x0不可导.
y′
= x= x0
Δy lim Δx→0 Δx
=
lim
Δx→0
f ( x0
+ Δx) − Δx
f ( x0 )
其它形式
f
′( x0 ) =
∴(sin x)′ x= π = cos x x= π
4
4
= 2. 2
例3 求函数 f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1)的导数.
解 (a x )′ = lim a x+h − a x
h→0
h
= a x lim a h − 1 h→0 h
= a x ln a.
即 (a x )′ = a x ln a.
lim
h→0
f (x0
+
h) − h
f (Βιβλιοθήκη Baidu0 ) .
f
′( x0
)
=
lim
x→ x0
f (x) − f (x0 ) . x − x0
实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度:
v(t0 ) = s′(t0 )
实例2 曲线 y = f(x)上一点M(x0 , f (x0))处的
切线斜率:
tanα = f ′( x0 )
注意 导数的几何意义与物理意义
（1）几何意义
y
f ′( x0 )表示曲线 y = f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率 , 即
f ′( x0 ) = tanα , (α为倾角)o
y = f (x)
T
M
α
x0
x
切线方程为 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ).
Δx → 0
Δx
或 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) .
h→0
h
注意: f ′( x0 ) = f ′( x) . x=x0 f ′( x0 ) ≠ [ f ( x0 )]′
注意 函数f ( x)在点 x0的导数f ′( x0 )是因变量 在点 x0处的变化率，它反映了因变量随 自变量的变化而变化的快慢程度.
.
即
(log a
x)′
=
1 x ln a
.
(ln x)′ = 1 . x
例5 求函数 y = x n (n为正整数)的导数.
解 ( x n )′ = lim ( x + h)n − x n
h→0
h
= lim[nx n−1 + n(n − 1) x n−2h +
h→0
2!
即 ( x n )′ = nx n−1 .
α → 0 (Δx → 0) Δy = f ′( x0 )Δx + αΔx
lim
Δx → 0
Δy
=
lim [
Δx → 0
f
′(
x0
)Δx
+
αΔx]
=
0
∴函数
f
( x)在点
x
连续
0
.
注意: 该定理的逆定理不成立 (连续函数未必可导)
例如 y =|x|在x = 0处连续但不可导.
例7
讨论函数
f
(
x)
=
三、单侧导数
定义３（1）左导数:
f−′( x0 )
=
lim
x→ x0−
f ( x) − f ( x0 ) = lim
x − x0
Δx → 0−
f ( x0 + Δx) − Δx
f ( x0 ) ;
（2）右导数:
f+′( x0 )
=
lim
x→ x0+
f ( x) − f ( x0 ) = lim
x − x0
2．1 导数的概念 2．2 函数的求导法则 2．3 高阶导数 2．4 隐函数及由参数方程
所确定的函数的导数 2．5 导数的简单应用 2．6 函数的微分
2.1 导数的概念
一、导数概念的引入 二、导数的定义 三、单侧导数 四、函数的可导性与连续性的关系
一、导数概念的引入
求函数变化率的两个实例
实例1 质点作变速直线运动的瞬时速度.
lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 存在
Δx→0
Δx
则称y = f ( x)在点x0处可导, 并称这个极限为y = f ( x)
在点x0处的导数,记为y′
dy x= x0 , f '( x0 ), dx
或
x= x0
df ( x) dx . x= x0
即
y′
= x= x0
Δy lim Δx→0 Δx
连续 看左右导数是否存在且相等.
思考与练习
1. 函数 f (x)在某点 x0 处的导数 f ′(x0 ) 与导函数 f ′(x)
有什么区别与联系 ?
区别: f ′(x) 是函数 , f ′(x0 ) 是数值; 联系: f ′(x) x= x0 = f ′(x0 )
？ 注意: f ′(x0 ) = [ f (x0 ) ]′
小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
2. f ′( x0 ) = a ⇔ f−′( x0 ) = f+′( x0 ) = a; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率;
4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;
5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.
6. 判断可导性
不连续,一定不可导. 直接用定义;
定义2 如果y = f ( x)在开区间 I 内的每点处都可导, 则称函数f ( x)在开区间 I 内可导.
由∀x ∈ I → f ′( x)确定的新函数y = f ′( x)叫做f ( x)
的导函数，简称导数，记作 y′，f ′( x)，dy 或 df ( x) . dx dx
即 y′ = lim f ( x + Δx) − f ( x)
(e x )′ = e x .
例4 求函数 y = loga x(a > 0, a ≠ 1)的导数.
解 y′ = lim loga ( x + h) − loga x
h→0
h
=
lim
log a
(1
+
h) x
⋅
1
h→0
h
x
x
=
1 x
lim
h→0
log
a
(1
+
h
)
x h
x
=
1 x
log a
e
=
1 x ln a
x = 0 可导?
解: 由题设 f (0) = 0
0≤
f (x) − f (0) ≤ x x−0
由夹逼准则 lim f (x) − f (0) = 0 x→0 x − 0
故 f (x) 在 x = 0
可导, 且
f ′(0) = 0
5.
设
f
(x)
=
⎩⎨⎧asinx
x ,
,
x x
<0 ≥0
, 问 a 取何值时,
+ hn−1 ] = nx n−1
更一般地
( xμ )′ = μ xμ−1. (μ ∈ R)
例如,
(
x )′
=
1
1−1
x2
2
= 1. 2x
( x −1 )′ = (−1) x −1−1
=
−
1 x2
.
( x3 )′ = 3 x2
例6 讨论函数 f ( x) = x 在x = 0处的可导性.
解
∵
f (0 + h) −
非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数 为物体的线(面,体)密度.
四、函数的可导性与连续性的关系
定理２ 若 f (x)在 x0 处可导，则 f (x)在x0 处连续.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导,
lim Δy = Δx→0 Δx
f ′( x0 )
Δy Δx
=
f ′( x0 ) + α
2
法线方程为 y − 2 = 1 ( x − 1), 即 2x − 8 y + 15 = 0.
42
（2）物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率.
变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.
v(t) = lim Δs = ds . Δt →0 Δt dt
交流电路:电量对时间的导数为电流强度. i(t) = lim ΔQ = dQ . Δt→0 Δt dt
h→0
h
h→0 h
即 (C )′ = 0.
例2 设函数 f ( x) = sin x,求(sin x)′及(sin x)′ x=π . 4
解 (sin x)′ = lim sin( x + h) − sin x
h→0
h
h
=
lim cos( x
h→0
+
h) 2
⋅
sin h
2
=
cos
x.
2
即 (sin x)′ = cos x.
x→1−
f (1+ ) = lim (ax + b) = a + b x→1+
若f ( x)在x = 1连续,则a + b = 1
f_′(1) =
lim
x →1−
x2 −1 x−1
=
2
f+′ (1)
=
lim
x →1+
ax + b − 1 x−1
=
lim
x→1+
ax − a x−1
=
a
∴ a = 2, b = −1
−0 =
sin
1
Δx
Δx
Δx
当Δx → 0时, Δy 在 − 1和1之间振荡而极限不存在 . Δx
∴ f ( x)在x = 0处不可导.
例8
设函数
f
(
x)
=
⎧ x2,
⎨ ⎩ax
+
b,
x ≤ 1,为了使函数f ( x) x >1
在x = 1处连续且可导，a, b应取什么值 ?
解
f (1) = 1 , f (1− ) = lim x2 = 1,
法线方程为
y−
y0
=
−
f
1 (x
′( x0 )
−
x0 ).
例7 求等边双曲线 y = 1 在点(1 ,2)处的切线的 x2
斜率,并写出在该点处的切线 方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k = y′ x=1 2
= ( 1 )′ x
x=1 2
=
−
1 x2
x=1 2
= −4.
所求切线方程为 y − 2 = −4( x − 1), 即 4x + y − 4 = 0.
割线MN的斜率为 tan ϕ = y − y0 = f ( x) − f ( x0 ) ,
x − x0
x − x0
N ⎯沿⎯曲⎯线⎯C→ M , x → x0 ,
切线MT的斜率为 k = tan α = lim f ( x) − f ( x0 ) .
x→ x0
x − x0
二、导数的定义
定义1 设y = f ( x)在点x0的某个邻域U ( x0 )内有定义, 且x0 + Δx ∈ U ( x0 ) ,若
2. 设 f ′(x0 ) 存在 , 则
lim
h→0
f
( x0
−
h) h
−
f
(x0 )
=
_−__f_′_( x_0_)_
.
3. 已知
f (0) = 0,
f
′(0)
=
k0
,
则
lim
x→0
f
(x) x
=
_k_0__
.
4. 若 x ∈ (−δ , δ ) 时, 恒有 f (x) ≤ x2 , 问 f (x) 是否在
由定义求导数步骤:
(1) 求增量 Δy = f ( x + Δx) − f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
Δy = f ( x + Δx) − f ( x);
Δx
Δx
y′ = lim Δy .
Δx→0 Δx
例1 求函数 f ( x) = C(C为常数)的导数.
解 f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) = lim C − C = 0.
Δx→0+
f ( x0 + Δx) − Δx
f ( x0 ) .
左、右导数统称为单侧导数．
定理1 函数 f ( x)在点 x0处可导⇔左导数 f−′( x0 )和右 导数 f+′( x0 )都存在且相等.
注意:
如果 f ( x)在开区间(a, b)内可导，且 f+′(a)及
f−′(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间[a,b]上可导.
f (0) =
h ,
h
h
lim f (0 + h) − f (0) = lim h = 1,
h→0+
h
h h → 0 +
lim f (0 + h) − f (0) = lim − h = −1.
h→0−
h
h h → 0 −
y y= x
o
x
即 f+′(0) ≠ f−′(0), ∴函数y = f ( x)在x = 0点不可导.
f ′(x) 在
(−∞ , + ∞) 都存在 , 并求出 f ′(x) .
解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
f−′
(0)
=
lim
x→ 0−
sin x
⎪⎧ ⎨
x
sin
1 x
,
x ≠ 0,
⎪⎩ 0, x = 0
在x = 0处的连续性与可导性 .
解 ∵sin 1 是有界函数 , ∴ lim x sin 1 = 0
x
x→0
x
∵ f (0) = lim f ( x) = 0 ∴ f ( x)在x = 0处连续.
x→0
但在x = 0处有
Δy
=
(0 + Δx)sin 1 0 + Δx
v = lim s(t0 + Δt) − s(t0 )
Δ t →0
Δt
实例2 切线问题 割线的极限位置——切线位置
播播放放
y
如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.
y = f (x)
N
T
CM
极限位置即
αϕ
o
x0
xx
MN → 0, ∠NMT → 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).