第8章第1节直线的倾斜角与斜率直线的方程

考点突破
考点一 直线的倾斜角与斜率(易错突破)
【例 1】 (1)(2017·常州模拟)若 ab<0，则过点 P0，－1b与 Qa1，0的直线 PQ 的倾斜角的取值范围是________．
(1)kPQ＝－0－1b－1a0＝ab<0，又倾斜角 的取值范围为[0，π)，故直线 PQ
的倾斜角的取值范围为π2，π.填 (π2，π)．
适用范围
不含直线 x＝x1
不含垂直于 x 轴的直线
不含直线 x＝ x1(x1＝x2)和直 线 y＝y1(y1＝y2)
教材回顾
截距式
直线在 x 轴、y 轴上的截距分别 为 a，b
一般式
ax＋by＝1 (a≠0，b≠0)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
不含垂直于坐 标轴和过原点 的直线 平面直角坐标 系内的直线都 适用
＝0 垂直，则 l 的方程是( A )
A．3x＋2y－1＝0
(1)设 A2B2C2≠0，两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2： ∴A2xl：＋yB－2y2＋＝C－2＝32(0x＋平1行)，的充要条件为AA12＝BB12≠CC12.更
B．3x＋2y＋7＝0
即一般3x地＋，2y两－直1＝线0l，1：选A1Ax＋. B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y
考点突破
考点三
(2)若过点 A(－2，m)，B(m,4)的直线与直 ∵过点 A，B 的直线平行于直线 2x＋y＋2＝0，
线 2x＋y＋2＝0 平行，求 m 的值．
∴kAB＝4m－＋m2＝－2，解得 m＝－8.
课堂小结
1．过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为 x＝x1； (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为 y＝y1； (3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为 x＝0； (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，方程为 y＝0.
此系数时法，求直出线直方线程方为程x＋．2y＋1＝0.
当(3)直重线视过直原线点方时程，一斜般率形式k＝的－应25用，，因为它具有广泛
直的适线用方性程．为 y＝－52x，即 2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为
x＋2y＋1＝0 或 2x＋5y＝0.
考点突破
考点二
母题变式 (1)在本例(1)中，过点(3,2)， ①若直线过原点，适合题意，其方程为 y＝23x，
直线过点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 且 x1≠x2
公式 k＝_ta_n_θ____ k＝yx11－ －yx22
教材回顾
3.两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件
两直线位置关系
斜率的关系
两条不重合的直线 l1，l2，斜率分别为 k1，k2
平行 垂直
__k_1_＝__k_2 __ k1 与 k2 都不存在
3 A. 3
B． 3
C．－ 3
D．－
3 3
教材回顾
2．(必修 2·3.2 练习改编)已知直线 l 经过点 P(－2,5)，且斜率为－43，则直线 l
的方程为( A )
A．3x＋4y－14＝0
B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0
D．4x－3y＋14＝0
教材回顾
3．(必修 2·习题 3.1A 组改编)已知直线斜率的绝对值为 1，其倾斜角为________． 答案：π4或34π 4．(必修 2·3.2 练习改编)过点(5,0)，且在两轴上的截距之差为 2 的直线方程为 ________． 答案：3x＋5y－15＝0 或 7x＋5y－35＝0
考纲解读
考纲解读 1.求直线的倾斜角和斜率；2.明确直线位置的几何要素，会求直线方 程；3.利用直线方程解决关于 x、y 的一次变量问题．
教材回顾
1．直线的倾斜角 (1)定义：
[基的取值范围是：[0，π)．
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2．直线的斜率 条件
直线的倾斜角 θ，且 θ≠90°
若 a≠0，则设 l 的方程为ax＋ay＝1，
∵l 过点(3,2)，∴3a＋2a＝1，
∴a＝5，即 l 的方程为 x＋y－5＝0，
综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y
－5＝0.
考点突破
考点二
(2)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x (2)设所求直线的斜率为 k，
的斜率的－41倍；
__k_1k_2_＝__－__1___ k1 与 k2 一个为零、另一个 不存在
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4.直线方程的五种形式
名称
已知条件
方程
点斜式 斜截式
斜率 k 与点(x1， y1)
斜率 k 与直线在 y 轴上的截距 b
y－y1＝k(x－x1) y＝kx＋b
两点式
两点(x1，y1)，(x2， y2)
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 (x1≠x2，y1≠y2)
教材回顾
5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1，P2 的中点 M 的坐标为(x，
y)，则yx＝＝xy11＋ ＋22 xy22，，
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．
教材回顾
[三基自测]
1.(必修 2·3.2 练习改编)直线 l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0 的斜率是( A )
求得 B 点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即 x＝1 为所求．
设过 A(1，－1)且与 y 轴不平行的直线为 y＋1＝k(x－1)，解方程
组2y＋x＋1y＝－k6x＝－01，.
x＝kk＋ ＋72， 得两直线交点为y＝4kk＋－22，
(k≠－2，
否则与已知直线平行)．则 B 点坐标为kk＋ ＋72，4kk＋－22. ∴kk＋＋27－12＋4kk＋－22＋12＝52， 解得 k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即 3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为 x＝1 或 3x＋4y＋1＝0.
考点突破
考点二
(4)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距 (思4)维当升直华线不给过定原条点件时求，直线方程的思路
等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
设(1)所考求虑直问线题方的程特为殊2情xa＋况ay，＝如1，斜率不存在的情况，截 距等于零的情况． 将(2)(在－一5,2般)代情入况所下设准方确程选，定解直得线方a＝程－的12形，式，用待定
与两坐标轴形成的三角形面积为29”，求 直线方程．
则 －12a|a5b＋|＝2b92＝1
，∴－5a＋2b＝1 ，或－5a＋2b＝1 ，
ab＝9
ab＝－9
∴ab＝＝－－33
a＝125 ，或b＝65
.
∴方程为 x＋y＋3＝0 或 4x＋25y－30＝0.
考点突破
考点三 两条直线的位置关系 (方法突破)
答案：(－∞，－4]∪34，＋∞
考点突破
考点二 求直线方程 (思维突破)
(1)设直线 l 在 x，y 轴上的截距均为 a，若 a
【例 2】 求适合下列条件的直线方程：
＝0，即 l 过点(0,0)和(3,2)，
(1)经过点
P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； ∴l
的方程为
y＝23x，即
2x－3y＝0.
课堂小结
2．直线系方程 (1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R 且 m≠C)． (2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋m＝0(m∈R)． (3)定点直线系：y－y0＝k(x－x0)((x0，y0)为定点，k 为参数)． (4)交点直线系：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(过直线 A1x＋B1y＋C1＝0 与 A2x＋B2y＋C2＝0 交点的直线，不含直线 A2x＋B2y＋C2＝0)．
C．2x－3y＋5＝0
＋C2＝0 平行的充要条件为 A1B2－A2B1＝0，A1C2－
D．2x－3y＋8＝0
A2C1≠0.
(2)利用两直线的斜率判定两直线的平行、垂直关系
时，注意斜率不存在的情况不能忽略．
考点突破
考点三
跟踪训练 (1)已知直线 l1：(a＋2)x＋(1 l1⊥l2 的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝
但不是所有的直线都存在斜率．
考点突破
考点一
纠错训练 (1)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾 设倾斜角为 θ，则有 tan θ＝－sin α，其中 sin α∈[－
斜角的取值范围是( B )
A．[0，π)
B．0，π4∪34π，π
1,1]．又 θ∈[0，π)，∴0≤θ≤4π或34π≤θ<π.
C.0，π4
D．既不充分也不必要条件
在，则 a＝0；
若 l1 与 l2 斜率都存在，则 a≠0，
有－a＋a2 1＝－2a且a32≠2aa＋1，解
得 a∈∅，故当 l1∥l2 时，有 a＝
0.故选 C.
考点突破
考点三
(2)直线 l 过点(－1,2)且与直线 2x－3y＋4 (技2)法由感条悟件知判kl断＝两－直32，线平行或垂直的两个策略
－a)y－3＝0 与直线 l2：(a－1)x＋(2a＋3)y 0，即 a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得 a＝±1.
＋2＝0，则“a＝1”是“l1⊥l2”的( A ) 显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故
A．充分不必要条件
选 A.
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例 3】 (1)“a＝0”是“直线 l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0 与 (1)当 a＝0 时，l1：x－3＝0，l2：
直线 l2：2x＋ay－2a－1＝0 平行”的( C )
2x－1＝0，故 l1∥l2.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
当 l1∥l2 时，若 l1 与 l2 斜率不存
C．充要条件
依题意 k＝－14×3＝－34.
又直线经过点 A(－1，－3)，
因此所求直线方程为 y＋3＝－34(x＋1)，
即 3x＋4y＋15＝0.
考点突破
考点二
(3)过点 A(1，－1)与已知直线 l1：2x＋y －6＝0 相交于 B 点且|AB|＝5；
(3)过点 A(1，－1)与 y 轴平行的直线为 x＝1. 解方程组x2＝x＋1， y－6＝0，
课堂小结
3．斜率的求法 (1)定义法：若已知直线的倾斜角 α 或 α 的某种三角函数值，一般根据 k＝tan α 求斜率． (2)公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 k＝yx22－ －yx11 (x1≠x2)求斜率．
课堂小结
4．注意易失误点 (1)求倾斜角或求直线方程时，注意斜率是否存在． (2)求直线的截距时，注意截距是否为 0 或不存在． (3)由直线一般式化为特殊式，注意系数为 0 的讨论．
考点突破
考点一
(2)直线 l：ax＋(a＋1)y＋2＝0 的倾斜角大 (易2)错当提a＝醒－1倾时斜，角直与线斜l率的的倾关斜系角为 90°，符合要求；
于 45°，求 a 的取值范围．
当(1)当a≠α－∈10时，，π2且直由线0l 的增大斜到率π2为α－≠aπ2＋a时1，. k 由 0 增大
到＋∞.
课时规范练
课时 跟踪检测
本课内容结束
D．0，π4∪π2，π
考点突破
考点一
(2)(2017·太原模拟)已知点 A(2，－3)，B(－ 如图，kPA＝11＋－32＝－4，kPB＝11＋＋23＝34.要使直线 l 3，－2)，直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为 与线段 AB 有交点，则有 k≥43或 k≤－4. ________．
则(2)有当－α∈a＋aπ21，>1π时或，－ka＋也a 1是<关0，于解α得的－单1调<a函<－数21，或当a<α
－在近－此于1∞区0或，(间k－≠a内12>00由)∪．. 综π2(0α，上≠＋可π2∞增知)大．，到实π数(α≠aπ)的时，取k值由范－围∞是趋
(3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，
且在两轴上截距互为相反数的直线方程 即 2x－3y＝0.
是什么？
②若直线不过原点，设直线方程为ax＋－ya＝1，
∴3a－2a＝1，
∴a＝1，方程为 x－y－1＝0.
综上，直线方程为 2x－3y＝0 或 x－y－1＝0.
考点突破 考点二
(2)在本例(4)中，改为“过点 A(－5,2)，且 设所求直线在 x 轴的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，