浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试
题
一、单选题
1．已知集合{}R ln 1P x x =∈<，{}R 12Q x x =∈-≤<，则P Q =I （ ） A ．(),2∞-
B ．[)1,2-
C ．()0,2
D ．()e,∞+
2．复数z 满足()1i 2024i z +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2025
i 2
-
B ．2025
2
-
C ．
2023
2
D ．
2023
i 2
3．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥
B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥
C ．若m α∥，m β⊥，则αβ⊥
D ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥
4．已知()53sin π2cos π224
πsin sin π2αααα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫
++- ⎪⎝⎭
，则sin 2α=（ ）
A ．1213
-
B ．
1213 C ．45
D ．45
-
5．在()8
2
121x x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为（ ）
A ．182
B ．42
C ．182-
D ．42-
6．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()1
2P A =，()712P B =，()
14
P AB AB +=，则()P A B +=（ ） A ．
7
12
B ．23
C ．
1112 D ．34
7．嫦娥六号是中国计划进行的一次月球采样返回任务.假设嫦娥六号在接近月球表面时，需要进行一系列的减速操作，其减速过程可以近似地看作是一个指数衰减过程，其速度()v t （单位：米/秒）随时间t （单位：秒）的变化关系可以表示为：()0t
v t v e
λ-=⋅，其中0v 是初始速
度，λ是一个减速过程相关的常数.已知嫦娥六号在0=t 时的初始速度为01000m /s v =，经
过10s t =后，速度变为()10500m /s v =.若嫦娥六号需要在s t T =时将速度减至月球表面的安全着陆速度()1m /s v T =，则T =（ ） （精确到小数点后一位，参考数值：lg 20.301≈） A ．99.7
B ．99.8
C ．99.3
D ．96.3
8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()2222f f x y x y y f f x +-⎛⎫⎛⎫
⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122f x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的图
像关于直线1
2
x =对称，()11f =，()f x 在[]1,0-上单调递增，则下列说法中错误的是（ ）
A ．()()240f f +=
B ．()f x 的一条对称轴是直线32
x = C ．()202342f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭
D ．()2024
11k f k ==∑
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A ．某校高二年级共有学生600人，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取容量为60的样本，若样本中男生有40人，则该校高二女生人数是200
B ．数据2，4，5，6，8，10，17的第75百分位数为9
C ．已知y 关于x 的回归直线方程为$0.70.3y x =-，若2x =，则0.1y =
D ．根据分类变量X 与Y 的成对样本数据，计算得到2 3.7136χ=，根据小概率值0.05α=的独立性检验（0.05 3.841x =），可判断X 与Y 有关，此推断犯错的概率不大于0.05
10．在△ABC 中，已知角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且)
22
2ABC S b c a =+-V ，则下列说法正确的是（ ）
A ．π3
A =
B ．若23cos 3cos b A c a B ⋅=-⋅，9
2
a =
，则满足条件的△ABC 有两个
C ．若
D 是边BC 上一点，满足2BD DC =，且1AD =，则△ABC D ．若△ABC 为锐角三角形，D 是边BC 上一点（不含端点），满足B BAD ∠=∠，则CD AD
的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -
的球的球面上，1AA =111A B =，G 为1BDC ∆内部（含边界）的动点，则（ ）
A ．正四棱台1111ABCD A
B
C
D -存在内切球 B
．1111ABCD A B C D V -=
正四棱台C ．直线AG 与平面1BDC 所成角的取值范围为ππ,63⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．1GA GA +
的取值范围为⎡⎤⎣⎦
三、填空题
12．已知实数0x >，0y >，且1x y +=，则15
x y
+的最小值为.
13．某高中为了调查学生对手机的使用情况，从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，他们一周内使用手机的时间（小时）频率分布直方图如下图所示，则参与调查的学生每周平均使用手机的时间约为小时.（同一组数据用该组数据的中点值作代表）
14．已知函数(
)11
sin cos 22
f m x m x x x =++[]0,2πx ∈上恰有两个零点，则实
数m 的取值范围为.
四、解答题
15
．已知向量(a =r
，b m ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
r ，R m ∈.
(1)若3m =，求a b +r r
；
(2)若32a a b ⎛⎫⊥- ⎪⎝
⎭r r r ，求b r 在a r 上的投影向量（用坐标表示）
16．已知函数()2cos sin 12cos 2f x x x x ωϕωϕωϕ+⎛⎫=⋅⋅+- ⎪
⎝⎭
（0ω>，0πϕ<<）且()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π
4
，()01f =.
(1)求()f x 的解析式与单调递减区间； (2)将函数()f x 的图象向右平移
π
12
个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数()y g x =的图象，当[]0,2πx ∈时，求方程()()2
60g x x -=的所有根之和.
17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB 的中点为D ．
(1)证明：1AC ∥面1CDB ；
(2)若底面ABC ⊥侧面11ACC A ，1A AC ∠是锐角，BC =13AC AA ==，π
2
ACB ∠=，且
1AA 和平面11AB C 1ABB 与平面ABC 所成角的余弦值.
18．某篮球俱乐部由篮球Ⅰ队和Ⅱ队组成.Ⅰ队球员水平相对较高，代表俱乐部参加高级别赛事；Ⅱ队是Ⅰ队的储备队，由具有潜力的运动员组成.为考察Ⅰ队的明星队员甲对球队的贡献，教练对近两年甲参加过的60场与俱乐部外球队的比赛进行统计：甲在前锋位置出场12次，其中球队获胜6次；中锋位置出场24次，其中球队获胜16次；后卫位置出场24次，其中球队获胜18次.用该样本的频率估计概率，则：
(1)甲参加比赛时，求Ⅰ队在某场与俱乐部外球队比赛中获胜的概率；
(2)为备战小组赛，Ⅰ队和Ⅱ队进行10场热身赛，比赛没有平局，获胜得1分，失败得0分.已知Ⅰ队在每场比赛中获胜的概率是p （0.51p <<），若比赛最有可能的比分是7∶3，求p 的取值范围；
(3)现由Ⅰ队代表俱乐部出战小组赛，小组共6支球队，进行单循环赛（任意两支队伍间均
进行一场比赛），若每场比赛均派甲上场，在已知Ⅰ队至少获胜3场的条件下，记其获胜的场数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19．已知函数()()y f x g x =+的定义域为D .若a ∃∈R ，对于1x D ∀∈，都2x D ∃∈，使得()()12f x g x a +=，则称函数()f x 与()g x 具有“和缘”，a 叫做函数()f x 与()g x 的“和缘”值.
(1)已知()1f x =()2
32
f x x -
=，()1e x g x =，()2ln g x x =，()()(){}12,x x x f f f ∈，
()()(){}12,x x x g g g ∈，若0是函数()f x 与()g x 的“和缘”值，请写出所有符合题意的函数
()f x 与()g x 的组合（不用说明理由）；
(2)已知m ∈R 且0m ≠，()21f x x x =+-，()()()223344182182
x x x x g m m m m x +-+-=⋅+⋅+-+-9616m +-，[]0,1D =.
（ⅰ）求()f x 的值域；
（ⅱ）若存在唯一实数a ，使函数()f x 与()g x 具有“和缘”，求m 的值.。