[理学]第五章代数结构

x 有 x ∘ = 成立，即
x+-x = x -x = 0 = 1
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
x+y-xy = 0 y x
(x 1)
因此当 x 1时， y x x 1是 x 的逆元.
x1
第五章 代数结构
分 析 P(B)
运算 普通加法 + 与乘法
并 与交 交 与对称差
分配律 对 + 可分配 + 对 不分配 对 可分配 对 可分配 对 可分配 对 不分配
吸收律 无 有 无
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定义6：
设<A,*>，若存在一个元素el∈A，对于任意元素x∈A
5.1代数系统的引入
2、代数系统的概念
一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运
算f1,f2,…,fk所组成的系统称为一个代数系统，记
作<A, f1,f2,…,fk >。
当A为有限集时该代数系统为有限系统。 否则称为无限代数系统。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
1、交换律 2、结合律 3、分配律 4、吸收律 5、等幂律 6、幺元 7、零元 8、逆元
yl = yl * e = yl *(x * yr)= (yl * x) * yr= e * yr = yr 令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y'= y’ * e = y’ *(x * y) = ( y’ * x) * y = e * y = y 所以 y 是 x 惟一的逆元.
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定义7：
设有代数系统<A,*>，若存在一个元素θl∈A，对任 意元素x∈A都有θl*x=θl，则θl称为A中关于运算*的
左零元；如果有一个元素θr∈A，对任意元素x∈A都有
x*θr=θr，则θr称为A中关于运算*的右零元；如果A中
的一个元素它既是左零元又是右零元，则称θ为A中关于 运算*的零元。
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
例 S = P({1, 2}), , ∼分别为对称差和绝对补运算{1, 2}为全集）
解：
的 运 算 表
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1} {1.2} {2} {1,2} {1,2} {2} {1}
{1,2} {2} {1}
4、*有零元，当且仅当该元素所对应的行和列中元素都 与该元素相同；
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
<A,*>是一个代数系统，*是A上一个二元运算，那么该 运算的有些性质可从运算表中直接看出：
5、*有幺元，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运 算表的行和列相一致。
6、设A中有幺元，a和b互逆，当且仅当位于a所在行，b所 在列的元素以及b所在行，a所在列的元素都是幺元。
都有el*x=x，则称el为A中关于运算*的左幺元；若存在一
个元素er∈A，对于任意元素x∈A都有x*er=x，则称er为A
中关于运算*的右幺元；若存在一个元素e∈A，它既是左 幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算*的幺元。
显然，对任x∈A有e*x=x*e=x。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定理3：
设<A,*>是一个代数系统，且集合A中元素的个数大 于1。如果该代数系统存在幺元e和零元θ，则θ≠e。
证：用反证法。 设θ＝e，那么对于任意的x∈A，必有 x＝e*x＝θ*x＝θ＝e 于是，A中的所有元素都是相同的，这与A中含有多
个元素相矛盾。
第五章 代数结构
∼
a
∼a
的
运
{1,2}
算 {1}
{2}
表 {2}
{1}
{1,2}
例 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
解：
01234
01234
0
01234
1
12340
2
23401
3
34012
4
40123
0
00000
1
01234
2
02413
3
03142
4
04321
第五章 代数结构
第五章 代数结构
∘运算不满足幂等律：因为2Q，但 2 ∘ 2 = 2+2-22 =0≠ 2。
∘ 运算满足消去律。 x, y, zQ, （x≠1）有
x ∘ y=x ∘ z x+y-xy=x+z-xz (y-z) =x(y-z) y=z 故∘ 运算满足左消去律。
(2) 设∘运算的幺元和零元分别为 e 和 ，则 x 有 x∘e = x 成立，即 x+e-xe = x e = 0 由于 ∘ 运算可交换，所以 0 是幺元.
定理1： 设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关
于运算*的左幺元el和右幺元er，则el=er=e，且A中的幺 元是唯一的。
证
el = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个幺元记作 e.
假设 e’ 也是 S 中的幺元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证。
类似地可以证明关于零元的惟一性定理。
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
例 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai : ∘为 S 上二元运算. (5) 幂集 P(S) 上的二元运算： ∪,∩,－, . (6) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
算“*”对运算“△”是可分配的。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
一般二元运算的一些性质：
定义4：
设有代数系统<A,*，△>，其中*和△可交换，若对于
任意x、y∈A，都有 x*(x△y)=x；
x△(x*y)=x，
则称运算“*”和运算“△”满足吸收律。
定义5：
设有代数系统<A,*>，若对任意x∈A，有产生和发展起来的。 它起始于十九世纪初，形成于30世纪30年代。在这期间，
挪威数学家阿贝尔（N.H.Abel）、法国数学家伽罗瓦 （E'.Galois）、英国数学家德。摩根（A.DeMorgan）和布 尔（G.Boole）等人人都做出了杰出贡献，范德瓦尔登 （B.L.Van Der Waerden）根据德国数学家诺特 （A.E.Noether）和奥地利数学家阿廷（E.Artin）的讲稿，于 1930年和1931年分别出版了《近世代数学》一卷和二卷，标 志着抽象代数的成熟。
第五章 代数结构
实例分析
集合 Z, Q, R
P(B)
运算 普通加法+
普通乘法
并 交 对称差
幺元 0
1
B
零元 无
0
B 无
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
定理2：
设*是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关 于运算*的左零元θl和右零元θr,那么θl =θr=θ,且A 中的零元是唯一的。
x 若存在逆元，则只有惟一的逆元，记作 x1。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
<A,*>是一个代数系统，*是A上一个二元运算，那么该 运算的有些性质可从运算表中直接看出：
1、*具有封闭性，当且仅当运算表中每个元素都属于A；
2、*具有可交换性，当且仅当运算表中关于主对角线对称；
3、*具等幂性，当且仅当运算表中主对角线上每一元素 与它所在的行（列）的表头元素相同；
*重点：幺元、零元和逆元及它们的性质是本
节的重要内容。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
一般二元运算的一些性质：
定义1： 设有代数系统<A,*>，若对于任意x、y∈A，均有
x*y= y*x，则称此代数系统的系统“*”满足交换律。
运算若满足交换律，则运算结果与元素的位置 顺序无关。
例 Z5 = { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
代数结构是以研究数字、文字和更一般元素的运算的规 律和由这些运算适合的公理而定义的各种数学结构的性质 为中心问题。它对现代数学如拓扑学、泛函分析等以及一 些其他科学领域，如计算机科学、编码理论等，都有着重 要影响和广泛地应用。
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
本概念和性质、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定 理、同态与同构、环与域。
教学要求： 了解：二元运算,代数系统,半群,群,子群,陪集。 理解：二元运算的概念；群的概念；元素阶的求法。 掌握：性质的判定、子群、群的证明与计算；陪集
的计算；拉格朗日定理及其应用。
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
代数系统也称为近世代数或抽象代数，简称代数，是近代数
[理学]第五章代数结构
第五章 代数结构
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更 为复杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和 特殊的元素，代数系统与代数系统之间的关系。如代 数系统的同态、满同态和同构，这些概念较为复杂也 较为抽象，是本课程中的难点。它们将集合、集合上 的运算以及集合间的函数关系结合在一起进行研究。
是a的一个逆元。
第五章 代数结构
实例分析
集合 Z, Q, R
P(B)
运算 普通加法+
普通乘法
并 交 对称差
幺元 0
1
B
零元 无
0
B 无
逆元 X 的逆元 x
X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
第五章 代数结构
定理4：
设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元 运算，A中存在幺元e，且每一个元素都有左逆元。如 果*是可结合的运算，那么，这个代数系统中任何一个 元素的左逆元必定也是该元素的右逆元，且每个元素 的逆元是唯一的。 证： 由 yl * x = e 和 x * yr = e 得
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
一般二元运算的一些性质： 定义2： 设有代数系统<A,*>，若对于任意x、y、z∈A，都有
(x*y)*z=x*(y*z),则称此代数系统的运算“*”满足结合律。
定义3： 设有代数系统<A,*，△>，若对于任意的x、y、z∈A， 都有x*(y△z)= (x*y)△(x*z)，则称此代数系统中的运
即有∘ 运算可交换。 x, y, zQ,
(x ∘ y) ∘ z= (x+y-xy) + z - (x+y-xy) z = x+y+z-xy-xz-yz+xyz
x ∘ (y ∘ z)= x + (y+z-yz) -x(y+z-yz) = x+y+z-xy-xz-yz+xyz
故(x ∘ y) ∘ z= x ∘ (y ∘ z) ，即有∘ 运算可结合。
称运算“*”是等幂的。
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
集合
实 Z, Q, R
例
分 析 P(B)
运算 普通加法+ 普通乘法
并 交 相对补 对称差
交换律 有 有 有 有 无 有
结合律 有 有 有 有 无 有
幂等律 无 无 有 有 无 无
第五章 代数结构
5.2 运算及其性质
集合
实 例 Z, Q, R
熟练地掌握集合、关系、函数等概念和性质是理 解本章内容的关键。
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入 5.2 运算及其性质 5.3 半群 5.4 群与子群 5.5 阿贝尔群和循环群 5.7 陪集与拉格朗日定理 5.8 同态与同构 5.9 环与域
第五章 代数系统
主要内容： 代数系统、运算及性质、半群与含么半群、群的基
第五章 代数结构 例题分析
例 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y-xy,
(1) 指出∘运算的性质. (2) 求 ∘ 运算的幺元、零元和元素的逆元. 解 (1) ∘ 运算可交换，可结合，不满足幂等律，满足消去律。
x, yQ, x ∘ y = x+y-xy = y+x-yx = y ∘ x,
1、 代数系统的一般概念 2、 代数系统的概念
第五章 代数结构
5.1 代数系统的引入
1、代数系统的一般概念
一个代数系统须满足两个条件：
1、有一个非空集合A； 2、有若干个建立在A上的运算；
定义1： 对集合A，一个从An到B的映射，称A上的一个n元
运算。如果BA，则称该n元运算在A上是封闭的。
*重点：运算就是函数。
5.2 运算及其性质
定义8：
设代数系统<A,*>，这里*是定义在A上的一个二元运 算，且e是A中关于运算*的幺元。如果对于A中的一个元 素a存在着A中的某个元素b，使得b*a=e，那么称b为a的
左逆元；如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元；如果一
个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元，那么就称b