江苏省南京市第十三中学2022-2023学年高三上学期教学质量调研(一)数学试题

2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
【十三中】数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.
已知
{,{30}
A x y
B x x a ===->∣∣，且
()
4,A B =-+∞ ，则=a （
）
A.3-
B.4
- C.9- D.12
-2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+（其中e 2.718=⋅⋅⋅，i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（）
A.i e π的实部为0
B.2i e 在复平面内对应的点在第一象限
C.i e
1
θ
= D.i e π的共轭复数为1
3.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3562,3,4S S S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q =（）
A.1或12
-
B.1-或
12
C.1-或2
D.1或2
-4.若函数()=y f x 在0x x =处取得极值，则称0x 是函数()f x 的一个极值点.已知函数
()sin (0)y x ωϕω=+>的最小正周期为2π，且在[]0,2π上有且仅有两个零点和两个极值点，则ϕ的值可
能是（）
A.π
B.π3
-
C.
π2
D.π2
-
5.某同学为班级设计一个班徽，他选择从正八边形中选取素材，如图所示.
厘米，则班徽的面积（图中阴影部分）为（
）平方厘米
.
A.4+
B.4+
C.7
D.10
6.已知圆()()2
2
2
:(0),3,0,6,0O x y r r A B +=>-，若对于圆O 上的任意一点P ，都有23PA PB +=
，
则正数r 的取值为（）A.1
B.2
C.3
D.4
7.已知抛物线2:16C y x =的焦点为F ，直线()40x my m --=∈R 与抛物线C 交于,A B 两点，则
4AF BF +的最小值是（
）
A.40
B.36
C.28
D.24
8.设14411,ln ,2ln sin cos 33366a b c ⎛
⎫=
==+ ⎪⎝
⎭，则（）
A.b a c <<
B.c a b <<
C.a c b
<< D.b c a
<<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9.函数()3
2
3f x x x =-过点()3,0的切线方程是（
）
A.9270x y --=
B.18540x y --=
C.6180
x y --= D.=0
y 10.已知数列11n n n n a a a a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是公差为1的等差数列，且121
1,2a a ==，则下列说法正确的有（
）
A.41
7
a =
B.存在等差数列{}n b ，使得其前n 项和1n n S a =
C.存在等差数列{}n c ，使得其前n 项和11n n
T a =-D.对任意的*
,01
n n a ∈<≤N 11.已知圆22:20F x y y +-=，抛物线2:4C x y =，过圆心F 的直线与两曲线的四个交点自左向右依次记为,,,P M N Q ，若,,PM MN NQ
构成等差数列，则直线的方程可能是（）
A.10
x y -+= B.10
x y +-=
C.0x -+=
D.0
x -=12.已知sin10a = ，则2231
sin 40cos 40
-
的值用a 可以表示为（）
A.
2
841a a +- B.2
421a a
+- C.16a D.32a
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.已知,a b 为单位向量，且,=60a b
，若=32c a b - ，则cos ,a c = ___________.
14.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ，若2
21zz z =，则复数=z ___________.
15.已知双曲线22:2=1C x y -的左､右顶点分别为,A B ，点(),P x y 是曲线C 在第一象限内图像上一点，则
+
1+1
y
y
x x -的取值范围为___________.
16.对任意的[
)1,x ∞∈+，不等式e ln ax x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos cos cos a b c
A B C
+=+.（1）求角A 的大小；
（2）若D 为线段BC 延长线上一点，且,3BA AD BD CD ⊥=，求sin ACD ∠.18.在条件：①()()
126
n n n n S ++=
；②1=1a 且()32n n S n a =+；③1=1S 且()13n n nS n S +=+中任选一
个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ___________，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，求n
T
19.已知双曲线22
22:1(0,0),x y C a b O a b
-=>>为坐标原点,离心率2e =,点M
在双曲线C 上
（1）求双曲线C 的方程;
（2）如图,若斜率为
5
的直线l 过双曲线的左焦点,分别交双曲线于,P Q 两点,求OP OQ ⋅ 的值,并求出POQ △外接圆的方程
20.如图，长方形ABCD 纸片的长AB 为3+
，将矩形ABCD 沿折痕,EF GH 翻折，使得,A B 两点均
落于DC 边上的点P ，若EG EPG ∠θ=
=.
（1）当sin2sin θθ=-时，求长方形宽AD 的长度；（2）当0,
2πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
时，求长方形宽AD 的最大值.21.已知椭圆22
:143
x y C +=的左，右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，点P 是椭圆C 上一动点（异于,A B ）
点P 关于原点的对称点为Q ，连接,AP QF 并延长交于点M 连接PF 并延长交椭圆C 于点N ，记
,AFM AFN 面积分别为12
,S S
（1）当P 点坐标为31,
2-⎛⎫
⎪⎝
⎭
时，求12S S 的值；（2）是否存在点P ，使得126S S =若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.22.已知函数()()2sin e
1,x
f x a x f x π-+'=-是()f x 的导函数，且()0
f π'=（1）判断()f x 在()0,π上的单调性，并说明理由；（2）判断函数()f x 在()()(
)*
21,22k k k ππ⎡⎤++∈⎣⎦N
内的零点个数，并说明理由.
2022-2023学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）
【十三中】数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】CD
【12题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
【13题答案】
【答案】
277
【14题答案】
【答案】12i -##2i 1-+【15题答案】
【答案】
)
+∞
【16题答案】【答案】1
,e
∞⎡⎫+⎪
⎢⎣⎭
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【17题答案】【答案】（1）
π
3
；
（2）
14
.【18题答案】【答案】（1）()12
n n n a +=（2）21
n n
T n =
+【19题答案】
【答案】（1）2
2
1
3
y x -=（2）0,2
2
115422x y ⎛⎫⎛
⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭【20题答案】
【答案】（1）
7
（2）
7
【21题答案】【答案】（1）7
（2）存在，135,24P ⎛⎫-± ⎪ ⎪
⎝⎭
【22题答案】
【答案】（1）()f x 在()0,π上单调递增，理由见解析；（2）()f x 在()()(
)*
21,22k k k ππ⎡⎤++∈⎣⎦N
内有两个零点，理由见解析.
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