2024中考数学复习模型专题 垂线段最短 强化训练(含答案)

2024中考数学复习模型专题 垂线段最短 强化训练
类型一 一动一定
1.已知点O 是边长为6的等边△ABC 的中心，点P 在△ABC 外，△ABC ，△P AB ，△PBC ，△PCA 的面积分别记为S 0，S 1，S 2，S 3.若S 1＋S 2＋S 3＝2S 0，则线段OP 长的最小值是( )
A. 332
B. 532
C. 3 3
D.
732 2.如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为________．
第2题图
类型二 两动一定
3.菱形ABCD 的边长为2，△ABC ＝45°，点P ，Q 分别是BC ，BD 上的动点，CQ ＋PQ 的最小值为________．
第3题图
类型三 一动两定(“胡不归”问题)
4.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10，对角线AC ，BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，
且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP ＋12
PB 的最小值是________．
第4题图
5.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，sin A ＝45
，BD △AC 交AC 于点D.点P 为线段BD 上的动点，则PC ＋35
PB 的最小值为________________．
第5题图
参考答案与解析
1. B 【解析】如解图，设点P 在BC 下方，∵S 1＋S 2＋S 3＝2S 0，且S 1＋S 2＋S 3＝S △ABC ＋2S △PBC ，
∴S 1＋S 2＋S 3＝S 0＋2S 2，∴2S 0＝S 0＋2S 2，∴S 2＝12
S 0，∵△ABC 是等边三角形，边长为6，∴S 0＝34 ×62＝93 ，∴S 2＝932
，过点P 作BC 的平行线l ，连接AO 并延长交BC 于点H ，交直线l 于点P ′.∵△PBC 的面积是定值，∴点P 的运动轨迹是直线l ，∵O 是△ABC 的
中心，∴AP ′⊥BC ，AP ′⊥PP ′，∴12 BC ·HP ′＝932 ，AH ＝33 ，OH ＝3 ，∴HP ′＝332
，∴OP ′＝OH ＋HP ′＝532 ，∵OP ≥OP ′，∴OP 的最小值为532
.
第1题解图
2. 125
【解析】∵∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，∴AC ＝BC 2－AB 2 ＝52－32 ＝4.如解图，设AC 与PQ 相交于O ，∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO ＝QO ，CO ＝AO ＝2.∴PQ 最短也就是PO 最短，过O 作OP ′⊥BC 于点P ′，∵∠ACB ＝∠P ′CO ，∠CP ′O ＝∠CAB ＝90°，
∴△CP ′O ∽△CAB ，∴CO BC ＝OP ′AB ，∴25 ＝OP ′3 ，∴OP ′＝65
，∴则PQ 的最小值为2OP ′＝125
.
第2题解图
3. 2 【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴点A ，C 关于BD 对称，如解图，连接AQ ，AP ，则CQ ＋PQ ＝AQ ＋PQ ，当A ，Q ，P 三点共线且AP ⊥BC 时，CQ ＋PQ 取得最小值，作AP ′⊥BC 交BC 于点P ′，最小值为AP ′的长．∵∠ABC ＝45°，AB ＝2，∴AP ′＝22
AB ＝2 ，∴CQ ＋PQ 的最小值为2 .
第3题解图
4. 732
【解析】如解图，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10，∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB
＝60°，∴∠CBD ＝30°，∵PE ⊥BC ，∴PE ＝12 PB ，∴MP ＋12
PB ＝PM ＋PE ，∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM ＋PE 有最小值为ME ，∵AM ＝3，∴MC ＝7，∵sin ∠ACB ＝ME MC ＝32 ，∴ME ＝732 ，∴MP ＋12 PB 的最小值为732
.
第4题解图
5. 165 【解析】如解图①，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，∵AB ＝5，sin A ＝45
，BD ⊥AC ，∴BD ＝AB ·sin A ＝4，∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2 ＝3，∴sin ∠ABD ＝35
，∴PH ＝PB ·sin ∠ABD ＝35 PB ，∴PC ＋35 PB ＝PC ＋PH ，若使PC ＋35
PB 的值最小，也就相当于PC ＋PH 的值最小，如解图②，当C ，P ，H 三点共线且CH ⊥AB 时，PC ＋PH 的值最小，∵AC
＝4，∴CH ＝AC ·sin A ＝4×45 ＝165 ，∴PC ＋35 PB 的最小值为165
.
第5题解图。