2020-2021学年数学人教B版必修第一册 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 学案

3.2函数与方程、不等式之间的关系
第1课时
学习目标
1.帮助学生逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,引导学生感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,帮助学生学习运用函数性质求方程近似解的方法,逐步帮助学生树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一函数的零点
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的,即,则称.
α是函数f(x)零点的充分必要条件是,是函数图像与x轴的公共点.
思考:函数的零点是一个点吗?
知识点二:二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0
y=ax2+bx+c
(a>0)的图像
ax2+bx+c=0
(a>0)的根
有两个不
相等的实
根x1,x2,且
x1<x2
有两个相
等的实根
x1,x2,且
x1=x2
没有实数
根
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
课堂探究
一、问题探究
1.已知函数f(x)=x-1,我们知道,这个函数的定义域为,而且可以求出,方程f(x)=0的解集
为
,不等式f(x)>0的解集为,不等式f(x)<0的解集为.
2.在图中作出函数f(x)=x-1的图像,总结上述方程、不等式的解集与函数定义域、函数图像之间的关系.
要点归纳
(1)函数的零点是一个,是使函数值为0的自变量的值.函数的零点不是一个二维有序数组,而是一维数轴上的点的坐标.函数的零点可以与函数的最值点进行类比,两者都是一个数.
(2)函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有交点⇔方程f(x)=0有实数根.
(3)不是所有函数都有零点,例如f(x)=1
x
就没有零点.
(4)从函数的图像上能方便地看出函数的零点,但是得到函数的图像并不是一件容易的事.
(5)知道函数的零点之后,如果可以进一步得到函数在非零点处的符号信息,就能作出这个函数图像的示意图.
二、典型例题
题型一:求函数的零点
例1(1)函数y=1+1
的零点是()
x
A.(-1,0)
B.-1
C.1
D.0
(2)若3是函数f(x)=x2-mx的一个零点,则m=.
要点归纳
函数零点的两种求法:
(1)代数法:.
(2)几何法:.
(3)交点法:如果函数f(x)能够拆成两个函数差的形式,即f(x)=g(x)-h(x),那么函数f(x)的零点可以利用函数的图像的交点得到.
变式训练:函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是.
题型二:一元二次不等式的解法
例2利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-x-6<0;(2)-x2-2x-3≥0;(3)x2-4x+6≤0.
要点归纳
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤都有哪些?
(1)化标准:;
(2)判别式:;
(3)求实根:;
(4)画草图:;
(5)写解集:.
变式训练:(选自课本习题3—2A)利用函数求下列不等式的解集:
(1)x2-2x-3>0;(2)x2-8x+16≥0;(3)x2+4x+5>0.
题型三:“三个二次”之间的关系
例3若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-3<x<4},求不等式bx2+2ax-c-3b<0的解集.
要点归纳
“三个二次”之间都有什么关系?
变式训练:已知方程ax2+bx2+2=0的两根为-1
和2.
2
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2+bx-1>0.
核心素养专练
1.例3中把{x|-3<x<4}改为{x|x<-3或x>4},其他条件不变,则不等式的解集又如何?
2.已知x=-1是函数f(x)=a
x
+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2-bx的零点是()
A.-1,1
B.0,-1
C.1,0
D.2,1
3.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实根1,2,则函数f(x)=cx2+bx+a的零点为()
A.1,2
B.-1,-2
C.1,1
2D.-1,-1
2
4.若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,f(2)=0,则函数f(x)的零点有()
A.一个
B.两个
C.至少两个
D.无法判断
5.已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a,b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集.
第2课时
学习目标
1.逐渐养成借助直观概念、进行逻辑推理的思维习惯,感悟高中阶段数学课程的特征,逐步适应高中阶段的数学学习.(逻辑推理)
2.通过本节课的学习,掌握运用函数性质求方程近似解的方法,逐步树立数学建模的思想.(数学建模)
自主预习
知识点一:零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数
y=f(x)在这个区间上,即存在一点x0∈[a,b],使得,这个x0也就是方程f(x)=0的根.
思考:函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点,则f(a)f(b)<0,对吗?
知识点二:二分法
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上图像且的函数y=f(x),通过不断地把它的零点区,使得所在区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思考:用二分法求函数零点的近似值的条件是什么?
2.二分法求零点的一般步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的,且f (a )f (b )<0),给定近似的精度ε,用二分法求零点x 0的近似值x 1,使得|x 1-x 0<ε|的一般步骤如下:
第一步 检查 是否成立,如果成立,取x 1=a+b
2
,计算结束;如果不成立,转到第二步.
第二步 计算区间[a ,b ]的中点a+b
2
对应的函数值,若f (a+b
2
)=0,取x 1= ,计算结束;若f (
a+b
2
)≠0,转到第三步.
第三步 若f (a )f (a+b 2)<0,将a+b
2
的值赋给 ,(用
a+b
2
→b 表示,下同),回到第一步;若f (
a+b
2
)f (b )<0,将
a+b
2
的值赋给 ,回到第一步.
这些步骤可用如图所示的框图表示.
课堂探究
一、问题探究
1.关于x 的一元一次方程kx+b=0(k ≠0)的求根公式为 .
2.如图所示,已知A ,B 都是函数y=f (x )图像上的点,而且函数图像是连接A ,B 两点的连续不断的线,作出3种
y=f (x )的可能的图像.
判断f (x )是否一定存在零点,总结出一般规律.
二、典型例题
题型一:函数零点存在定理
例1 已知函数f (x )的图像是连续的,x ,f (x )的对应值如下:
x 3 4 5 6 7 8 f (x ) 123.56 21.45 -7.82 -11.57 53.76 126.69
则函数f(x)在区间[3,8]内()
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
要点归纳
在函数图像连续的前提下,f(a)f(b)<0,能判断出在区间(a,b)内有零点,但不一定只有一个;而f(a)f(b)>0,却不能判断在区间(a,b)内无零点.
变式训练:函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上()
A.没有零点
B.有一个零点
C.有两个零点
D.有无数个零点
题型二:二分法的概念
例2(1)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()
A.f(x)=3x-1
B.f(x)=x3
C.f(x)=|x|
D.f(x)=x2-2x
(2)用二分法求函数f(x)=-4x2+8x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0.可得其中一个零点
x0∈,第二次应计算.
要点归纳
运用二分法求函数的零点应具备的条件:
(1)函数图像在零点附近连续不断;
(2)在该零点左右的函数值异号.
变式训练:用二分法求方程2x+3x-7=0在区间(1,3)内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是.
题型三:用二分法求函数零点
例3用二分法求函数f(x)=x3-x-2的一个正实数零点(精确度小于0.1).
要点归纳
用二分法求函数零点的近似值的步骤往往比较烦琐,一般借助表格,利用表格可以清晰地表示逐步缩小到零点所在区间的过程;有时也利用数轴来表示这一过程.
变式训练:用二分法求函数f(x)=2x2-3x-1的一个正实数零点(精确度小于0.1).
核心素养专练
1.已知函数f(x)=x3-2x+2,若在区间(-2,0)中任取一个数作为x0的近似值,那么误差小于;
若取区间(-2,0)的中点作为x0的近似值,那么误差小于.
2.已知函数f(x)=x2+ax+1有两个零点,在区间(-1,1)上是单调的,且在该区间中有且只有一个零点,求实数a 的取值范围.
3.求下列函数的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≥0和f(x)<0的解集:
(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x+3);(2)f(x)=(x+2)x2.
4.若方程x2-2ax+4=0的两个不相等实数根均大于1,求实数a的取值范围.
参考★答案
★
第1课时
自主预习
略
课堂探究
例1(1)B(2)3
要点归纳略
变式训练:0和-1
2
例2(1)(-2,3)(2)⌀(3)⌀
要点归纳略
变式训练:(1){x|x>3或x<-1}(2)R(3)R
例3{x|-3<x<5}
要点归纳略
变式训练:(1)a=-2,b=3;(2)1
<x<1.
2
核心素养专练
1.{x|x<-3或x>5}
2.C
3.C
4.B
5.⌀
第2课时
自主预习
略
课堂探究
一、问题探究
略
二、典型例题
例1 C
变式训练:B
例2(1)C(2)x0∈(0,0.5),f(0.25)
变式训练:(1,2)
例31.562 5
变式训练:1.812 5
核心素养专练
1.小于2,小于1
2.(-∞,-1)∪(1,+∞)
3.(1)f(x)≥0的解集是[-3,1]∪[2,+∞);f(x)<0的解集是(1,2).
(2)f(x)≥0的解集是[-2,+∞);f(x)<0的解集是(-∞,-2).
4.2≤a<5
2
第1课时
学习目标
1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.
2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式.
3.了解高次不等式的解法.
自主预习
完成课本第112页“尝试与发现”中的任务,并阅读第112~113页的内容,完成下列问题:填写下列表格
函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3
函数的
图像
方程的
实数根
x1=x2=1
不等式的解集y>0的解
集
y>0的解
集y>0的解
集
y<0的解
集
课堂探究
(一)【问题导入】
已知二次函数y=x2-x-6,试问:
(1)x为何值时y等于0?
(2)画出这个函数的图像,并求图像与x轴交点的坐标.
(3)图像与x轴交点的坐标,与方程的解有什么关系?
思考:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像有什么关系?
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:
2.函数的零点是“点”吗?
3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?
(三)【巩固练习,学以致用】
例1判断下列函数是否存在零点,若存在,则求出零点.
(1)f(x)=x2-x-6;(2)f(x)=x3-x.
跟踪训练1若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,求实数a的值和f(x)其余的零点.
例2解下列不等式:
(1)-x2+5x-6>0;
(2)3x2+5x-2≥0.
跟踪训练2解下列不等式:
(1)4x2-4x+1>0;(2)-x2+6x-10>0.
例3求函数f(x)=(2x+1)(x-1)(x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集.
跟踪训练3求函数f(x)=(x+1)(x+2)(2x-3)的零点,并作出函数图像的示意图,写出不等式f(x)≤0的解集.
(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
课堂练习
1.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是()
A.-1
2,-1 B.1
2
,1 C.1
2
,-1 D.-1
2
,1
2.不等式x2-4x+3<0的解集为()
A.(1,3)
B.(-∞,1]∪[3,+∞)
C.(-3,-1)
D.(-∞,-3]∪[-1,+∞)
3.不等式(x+1)(x-2)(x-3)<0的解集为.
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3
第2课时
学习目标
1.理解函数零点存在定理.
2.会用二分法求函数变号零点的近似值,并能对二分法的过程作出程式化的步骤.
自主预习
1.函数y=f(x)的零点的定义:.
2.可以从以下三个方面来理解函数y=f(x)的零点:
(1)函数的零点指的是一个实数,当函数的自变量取这个实数时,其对应的函数值为.
(2)函数的零点可以理解为函数的图像与x轴的交点的.
(3)确定函数y=f(x)的零点,就是求方程的.
3.函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点三者关是
.
4.函数零点存在定理:
.
5.根据函数零点存在定理,函数y=f(x)满足条件:(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像
是,(2)f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间内有零点.
课堂探究
(一)【问题导入】
1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?
2.当A,B与x轴是怎样的位置关系时,AB间一段连续不断的函数图像与x轴一定有交点?
y=f(x)
x∈[a,b]
3.A,B与x轴的位置关系如何用数学符号(式子)表示?
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点存在定理
思考所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.
2.二分法
(1)定义:
(2)用二分法求函数零点的一般步骤
(三)【巩固练习,学以致用】
例1分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点.
(1)f(x)=3x-6;
(2)f(x)=x2-x-12;
(3)f(x)=x2-2x+1;
(4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.
跟踪训练1判断下列函数是否有变号零点:
(1)f(x)=x2-5x-14;
(2)f(x)=x2+x+1;
(3)f(x)=x4-18x2+81.
例2求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确度0.01)
跟踪训练2已知函数f(x)=x3-x-2用二分法求它的一个正实数零点.(精确到0.01)
(四)【课堂小结,总结升华】
通过本节课的学习,你有什么收获?(知识层面,思想方法层面)
课堂练习
1.函数f(x)=x3+5的可能存在区间是()
A.[-2,-1]
B.[-1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
2.在用二分法求方程f(x)=0在(1,3)内近似解的过程中,得到f(1)<0,f(2)>0,f(1.5)<0,则方程的根所在区间为()
A.(1.5,2)
B.(1,1.5)
C.(2,3)
D.不能确定
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,参考数据如下:
f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260f(1.437
5)=0.162
f(1.406 25)=-0.054
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为.
课后巩固
阅读课本,结合学案,进行知识整理,形成系统.必做题A组,选做题B组.
课本119页习题3—2A1,2,3,5,6,7,B1,2,3.
参考★答案
★
第1课
自主预习
略
课堂探究
略
课堂探究
(一)【问题导入】
★答案★:(1)x=-2,x=3;(2)(-2,0),(3,0);(3)交点的横坐标是方程的解.
(二)【理性认识,概括性质】
1.函数零点的概念:
一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于零,即f(α)=0,则称α为函数y=f(x)的零点.
2.函数的零点是“点”吗?
函数的零点不是点,而是函数y=f(x)与x轴的交点的横坐标,即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零.
3.函数的零点与方程的根及函数图像有何关系?
函数f(x)的零点,即对应方程f(x)=0的根,也是函数图像与x轴的交点横坐标.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)因为x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1).
令f(x)=0,即x(x-1)(x+1)=0,
所以f(x)的零点有x1=0,x2=1,x3=-1.
跟踪训练1解:由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6,∴f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.
∴函数f(x)其余的零点是2.
例2解:(1)方法一由x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3,
所以函数f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
方法二作出函数f(x)=x2-x-6的图像,如图.
因为函数的图像是一条开口向上的抛物线,且f(0)=-6<0,
所以函数f(x)的图像与x轴有两个交点A(-2,0),B(3,0).
故f(x)的零点是x1=-2,x2=3.
(2)设g(x)=3x2+5x-2,
令g(x)=0,得3x2+5x-2=0,
即(x+2)(x-1
3)=0.从而x=-2或x=1
3
,
因此-2和1
3都是函数g(x)的零点,从而g(x)的图像与x轴相交于(-2,0)和(1
3
,0),
又因为函数的图像是开口向上的抛物线,
所以可以作出函数图像示意图,如图所示.
由图可知,不等式的解集为(-∞,-2]∪[1
3
,+∞).
跟踪训练2
解:(1)∵方程4x2-4x+1=0有两个相等的实根x1=x2=1
2
.作出函数y=4x2-4x+1的图像如图.
由图可得原不等式的解集为(-∞,1
2)∪(1
2
,+∞).
(2)原不等式可化为x2-6x+10<0,
∵Δ=36-40=-4<0,∴方程x2-6x+10=0无实根,∴原不等式的解集为⌀.
例3解:函数零点依次为-1
2
,1,3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x(-∞,-1
2)(-
1
2,1)(1,3)(3,+∞)
f(x)-+-+由此可以画出函数图像的示意图,如图所示.
由图可知f(x)>0的解集为(-1
2
,1)∪(3,+∞);
f(x)≤0的解集为(-∞,-1
2
]∪[1,3].
跟踪训练3解:函数零点依次为-2,-1,3
2
.
函数的定义域被这三个点分成了四部分,每一部分函数值的符号如下表所示.
x(-∞,-2)(-2,-1)(-1,3
2)(
3
2,+∞)
f(x)-+-+由此可以画出函数图像的示意图如图所示.
所以f(x)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,3
2
].
(四)【课堂小结,总结升华】
略
课堂练习
1.B
2.A
3.(-∞,-1)∪(2,3)
课后拓展
略
第2课时
自主预习
略
课堂探究
(一)【问题导入】
略
(二)【理性认识,概括性质】 1.函数零点存在定理
如果函数y=f (x )在区间[a ,b ]上的图像是连续的,并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f (x )在区间[a ,b ]中至少有一个零点,即∃x 0∈[a ,b ],f (x 0)=0.
思考 所有函数的图像都是连续不断的吗?试举例说明.
★答案★:不是,如反比例函数y=1x
.
2.二分法
(1)定义:对于在区间[a ,b ]上的图像连续不断且f (a )f (b )<0的函数y=f (x ),通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点的方法叫做二分法.
(2)用二分法求函数零点的一般步骤
★答案★:已知函数y=f (x )是定义在区间[a ,b ]上的连续函数,且f (a )f (b )<0,给定近似的精度ε,用二分法求零点x 0的近似值x 1,使得|x 1-x 0|<ε的一般步骤如下:
第一步:检查|b-a|<2ε是否成立,如果成立,取x 1=a+b
2
,计算结束;如果不成立,转到第二步. 第二步:计算区间[a ,b ]的中点a+b 2对应的函数值,若f (a+b 2)=0,取x 1=a+b 2,计算结束;若f (a+b
2
)≠0,转到第三步. 第三步:若f (a )f (
a+b 2)<0,将a+b 2的值赋b (用a+b 2→b 表示,下同),回到第一步;若f (a+b 2)f (b )<0,将a+b
2
的值赋给a ,回到第一步.
(三)【巩固练习,学以致用】
例1 解:(1)零点是2,是变号零点. (2)零点是-3和4,都是变号零点. (3)零点是1,是不变号零点.
(4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2. 跟踪训练1 解:(1)零点是-2,7,是变号零点.函数有变号零点. (2)无零点.函数无变号零点.
(3)零点是-3,3,都不是变号零点.函数无变号零点.
例2 解:∵f (x )=x 5-x 3-3x 2
+3 =x 3(x 2-1)-3(x 2-1)=(x+1)(x-1)(x 3
-3),
∴f (x )最右边的一个零点的横坐标就是方程x 3
-3=0的根.
令g (x )=x 3
-3,以下用二分法求函数g (x )的零点.
由于g (1)=1-3=-2<0,g (2)=23
-3=5>0,
故可取[1,2]作为计算的初始区间,列表如下: 零点所在区间 区间中点 中点函数近似值
[1,2] 1.5 g (1.5)=0.375>0 [1,1.5] 1.25 g (1.25)≈-1.046 9<0 [1.25,1.5] 1.375 g (1.375)≈-0.400 4<0 [1.375,1.5] 1.437 5 g (1.437 5)≈-0.029 5<0 [1.437 5,1.5] 1.468 75 g (1.468 75)≈0.168 4>0 [1.437 5,1.468
75]
1.453 125 g (1.453 125)≈0.068 4>0
[1.437 5,1.453
125]
1.445 312 5
∵|1.453 125-1.437 5|=0.015 625<2×0.01,
∴方程x 3
=3的根的近似值可取为1.445 312 5.
故函数f (x )最右边的一个零点的近似值为1.445 312 5.
跟踪训练2 解:由f (1)=-2<0,f (2)=4>0,可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间,用二分法逐步计算,具体如表.
零点所在区
间 区间中点
中点的函数值
[1,2]
x 0=
1+2
2
=1.5 f (x 0)=-0.125<0
[1.5,2] x 1=1.5+2
2
=1.75 f (x 1)≈1.609 4>0 [1.5,1.75]
x 2=
1.5+1.75
2
=1.625 f (x 2)≈0.666 0>0 [1.5,1.625] x 3=1.5+1.625
2
=1.562 5 f (x 3)≈0.252 2>0
[1.5,1.562
5]
x 4=
1.5+1.562 5
2
=1.531 25
由表中数据可知,|1.562 5-1.5|=0.062 5<2×0.06, 所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25. (四)【课堂小结,总结升华】 略
课堂练习
1.A
2.A
3.1.437 5 课后巩固
略
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