安徽农业大学概率论往年试卷

这是前两次概率论考试试卷，仅供参考，必须安装office 公式编辑器才能正常阅读和打印，请转告全班同学抓紧时间复习。

安徽农业大学2006―2007学年第一学期
《 概率论 》试卷（A 卷）
考试形式: 闭卷、笔试，2小时
一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
1、设,A B 为相互独立的事件，且()0.6,()0.3P A B P A ⋃==，则()P B = 。

2、掷两枚均匀的骰子，最有可能出现的点数和为 点。

3、设~(1,4)X N ，若()()P X c P X c >=≤，则c = 。

4、设~(1,4)X N ，则随机变量21Y X =+服从的分布为 。

（要求写出分布类型及其所含参数）
5、设离散型随机变量X 的分布函数为0,
10.3,11()0.7,131,
3
x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪≥⎩，
则()E X = 。

二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）
1、设B A ,是两个事件，则B A ,
恰有一个发生表示为（ ）。

（A ） B A （B ） B A （C ） AB AB ⋃（D
） B A
2、设事件B A ,相互独立，则;;A B A B A B 与与与 这三对事件中有（ ） 对也是相互独立的。

： 专业班级： 姓名： 学号：
装 订 线
（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3
3、设随机事件A 与B 互不相容，则（ ）。

（A ） 1)(=B A P （B ）)()()(B P A P AB P =
（C ）)(1)(B P A P -= （D ） 1)(=⋃B A P
4、下列各函数可以作为某随机变量分布函数的是（ ）。

（A ） 2
1
()1F x x =+ （B ）()sin F x x =
（C ） 21
,0()11,0
x F x x x ⎧≤⎪
=+⎨⎪>⎩ （D ）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩
0X Y A X Y B D X Y D X D Y C E X Y E X E Y D X Y xy 5、设随机变量、的相关系数，则下列结论中不正确的是（）。

（）与一定相互独立（）（）（）＋（）（）（）（）（）
（）与一定无关
r =?=
三、证明题（本题满分8分）
设随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为
2312,
01,01
(,)0,
x y x y f x y ⎧<<<<=⎨
⎩其他
证明：X 与Y 相互独立。

四、解答题（共4小题，每小题8分，共32分）
1、将一枚硬币均匀抛掷3次，观察正反面出现的情况，试求至少有一次出现正面的概率。

2、设甲口袋中有4个红球3个黑球，乙口袋中有3个红球2个黑球，从甲口
袋中任取一个球放入乙口袋，然后再从乙口袋中任取一个球，求取出的是红球的概率。

3、某批铸件每件的缺陷数X 服从泊松分布~(1)X P ，若规定缺陷数不超过一个为一等品；大于一个不多于四个的为二等品；有五个以上缺陷数的为次品，
求该批产品为一等品及次品的概率。

4、有甲、乙两个射手，他们的射击技术用下表表示：
乙射手成绩：
试用期望和方差比较这两个射手的射击技术水平。

五、计算题（共2小题，每小题15分，共30分）
1、设随机变量X 的概率密度函数为
2,01
()0,Ax Bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩
其他
且1
()2
E X =
，试求：（1）常数A B 、（2）X 的分布函数（3）()D X 。

2、设二维随机变量,)X Y （的联合概率密度函数为
(6),02,2(,)0,k x y x y f x y --<
<<<⎧=⎨⎩
其他
试求：（1）常数k ；（2）(1,3)P X Y ≤<；（3）(4)P X Y +<。

安徽农业大学2006―2007学年第二学期
《概率论》（A 卷）试卷答案与评分标准
考试形式: 闭卷笔试，2小时
一、填空题：
（共5小题，每小题3分，共15分）
1、袋中有2只黑球, 3只白球,它们除颜色不同外其它方面没有区别， 现逐一不放回摸出, 则第3次摸出的球是黑球的概率是 0.4 。

学号：
2、在4重伯努利试验中，事件A 至少出现一次的概率为65
81
，则在一次伯努利试验中事件A 出现的概率为 1/3 。

3、设随机变量X 的分布律为P(),1,2,,k X k k λ=== 则λ= 0.5 。

4、设随机变量P()X λ ，且P(1)P(2),X X === 则λ= 2 。

5、设随机变量X 服从参数为λ
的指数分布，则P(X >= 1/e 。

二、选择题：（共5小题，每小题3分，共15分）
1、A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，B 在A 右边的概率是 （ C ）
（A ）15 （B ）710 (C) 12 (D) 1
4
2、()p x 在下列区间取sin x ，在其余部分为0，可以作为随机变量X 的概率密
度函数的是 （ B ） （A ）[,0]2π
-
（B ）[0,]2π （C ）[0,]π （D ）3[,]2
π
π 3、设随机变量,X Y 相互独立，且都服从参数为(01)p p <<的两点分布，则有
（ C ）
（A ）2P()X Y p == （B ）X Y = （C ）22P()(1)X Y p p ==+- （D ）P()1X Y ==
4、已知随机变量X 服从参数为,n p 的二项分布B(,)n p , 且E() 2.4,D() 1.44X X ==，则参数,n p 的值是 （ B ） （A ）4,0.6n p == （B ）6,0.4n p == （C ）8,0.3n p == （D ） 24,0.1n p ==
5、若随机变量,X Y 不相关，则下面结论正确的是 （ D ） （A ）,X Y 独立 （B ）D()D()D()XY X Y =
（C ）D()D()D()X Y X Y -=- （D ）D()D()D()X Y X Y -=+
三、应用题：（共2小题，每小题8分，共16分）
1、设某工厂有A ，B 两个车间生产同一型号的螺钉，每个车间的产量分别占
该厂螺钉总产量的60%，40%，每个车间成品中的次品率分别为4%，5%，现从全厂生产的产品中任抽一件螺钉为次品，问它最可能是哪个车间生产的？ 解：设C 表示任抽一件螺钉为次品.事件A 、B 分别表示产品为A 、B 车间生产。

（2分）
则由Bayes 公式得
P(A)P(C|A)60%4%6
P(A|C)=
P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)60%4%40%5%11
⨯==⨯+⨯ （5分）
5P(B|C)=1P(A|C)11
=-=
所以最可能是A 车间生产的。

（8分）
2、一个系统共有60个元件组成，每个元件发生故障与否是相互独立的，且每
个元件发生故障的概率都是1
4
，试求这个系统发生故障的元件数Y 的数学期
望。

解：根据题意系统发生故障的元件数Y 服从二项分布1
B(60,)4。

（4分）
所以系统发生故障的元件数Y 的数学期望为
1
E()60154
Y =⨯= （8分）
四、计算题：（共3小题，每小题8分，共24分） 1、设A,B 为随机事件，已知P(A)=0.7,P(A B)=0.3-，求P(AB)。

解：由题意，P(A B)=P(A)P(AB)=0.3--，解得P(AB)0.4= （4分）
P(AB)=1P(AB)=10.4=0.6-- （8分）
2、设随机变量X 的分布律为1
1
P(),0122
k X k k +==
= ，，，，求随机变量cos Y X π=的分布律。

解：随机变量Y 的可能取值为 -1和1。

（2分）
220
11
P(1)P(21)23
n n n Y X n ∞
∞
+===-==+==
∑∑
（4分） 210
12
P(1)P(2)23
n n n Y X n ∞∞
+=======
∑∑
（6分）
（8分）
3、设随机变量X 的概率密度函数为
,02,1(),24,4
0,
ax x p x x b x <<⎧⎪⎪
=-+≤<⎨⎪⎪⎩其它
已知E()2,X = 求,a b 的值。

解：2
4
2
2021814
2E()()d d ()d 6433
X xp x x ax x x bx x a b ∞
-∞===+-+=+-⎰⎰⎰ （3分）
240213
1()d d ()d 2242p x x ax x x b x a b ∞-∞==+-+=+-⎰⎰⎰ （6分）
联立上两式解得
141
a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩ （8分）
五、综合题：（共2小题，每小题15分，共30分）
1、设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从N(0,1)，求： （1）(,)X Y 的联合密度函数(,)p x y ；（2）P(0,0)X Y ≤>； （3）概率22P(2)X Y +≤；
解：（1）(,)X Y 的联合密度函数(,)p x y 为
22
1(,)exp(),,22
x y p x y x y π+=--∞<<∞-∞<<∞（5分）
（2）1
P(0,0)P(0)P(0)(0)(1(0))4
X Y X Y ≤>=≤>=Φ-Φ=
（10分） （3）222222
2
2
221
P(2)(,)d d exp()d d 22x y x y x y X Y p x
y x y x y π
+≤+≤++≤==
-⎰⎰⎰⎰
2
20
1
1
cos ,sin d )d 122e
r x r y r r r π
θθ
θπ
==-=-⎰
（15分）
2、设随机变量X 的概率密度函数为
||()A ,x p x e x -=-∞<<+∞
求：（1）常数A ； （2）求X 的方差；
（3）求协方差COV(,||)X X ，并判断X 与||X 是否相关？
解：（1）||1()d Ae d 2A x p x x x ∞
∞
--∞-∞===⎰⎰，解得1
A=2 （5分）
（2）||1
E()()d d 02x X xp x x x e x ∞∞--∞-∞===⎰⎰，
222||20
11E()()d d 2d 222x x X x p x x x e x x e x ∞∞∞
---∞-∞===⋅=⎰⎰⎰ （8分）
22D()E()(E())2X X X =-= （10分）
（3）||1
COV(,||)E(||)E()E(||)E(||)||d 0
2
x X X X X X X X X x x e x ∞--∞=-===⎰（13分）
所以X 与||X 是不相关的。

（15分）。