学而思初一数学秋季班第2讲.有理数综合运算.尖子班.学生版

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初一秋季·第2讲·尖子班·学生版
如何计算？
实数7级 实数初步
实数6级 绝对值 实数5级 有理数综合运算 满分晋级阶梯
漫画释义
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有理数综合运算
12 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版
知识点切片（4个） 7+2+1+1
知识点目标
有理数综合运算（7） 1、有理数加减法则；2、有理数加法的运算律；3、有理数减法法则；4、有理数乘法法则；5、有理数除法法则；6、有理数乘方；7、有理数混合运算的运算顺序 裂项技巧（2） 1、分数裂项；2、整数裂项 连锁约分（1） 1、连锁约分，简便运算 整体思想（1）
1、整体思想，化繁为简
题型切片（6个）
对应题目
题型目标 乘法分配律的应用 例1、练习1 连续自然数的加减交替 例2、练习1 有理数综合运算 例3、练习2
裂项 例4、例5、练习3、练习4 连锁约分
例6、练习5 整体思想
例7、练习6
有理数综合运算
1．有理数加法法则：
① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
② 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③ 一个数同0相加，仍得这个数．
2．有理数加法的运算律：
①两个加数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律） ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． ()()a b c a b c ++=++（加法结合律）.
3．有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数，()a b a b -=+-.
4. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0.
5. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.1
a b a b
÷=⋅，(0b ≠)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0. 6. 有理数乘方 知识导航
知识、题型切片
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概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n 叫 做指数.
含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，它表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘. 特别注意:负数及分数的乘方，应把底数加上括号.
7. 有理数混合运算的运算顺序： ① 先乘方，再乘除，最后加减； ② 同级运算，从左到右进行；
③ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算.
同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.
④ 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.
【例1】 计算：⑴735(1)(36)1246⎡⎤
-+---⨯-⎢⎥⎣⎦
⑵111
71110()71110
⨯⨯⨯++
⑶111
(0.25)(5)( 3.5)()2244
-⨯-+⨯-+-⨯
⑷3
71(8)32-⨯-
乘法分配律的应用
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⑸112571113623461236⎛⎫⎛⎫-÷+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【例2】
⑴填空：12344950-+-+
+-= ；
123499100101-+-+
+-+= ； ⑵计算：()
1
12341n n +-+-++-⨯.
连续自然数加减交替问题
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【例3】 计算：⑴()216123113284 2.5242523412⎛⎫
-÷-⨯+++--⨯ ⎪⎝⎭
⑵()22
2131111
12190.75242222⎡⎤⎛⎫⎛⎫÷÷-+÷--⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⑶()()3
220132231313 1.20.33⎛⎫
--⨯-÷--⨯÷ ⎪⎝⎭
⑷()()2
31814511722851755⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-⨯-+-⨯----⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
有理数综合运算
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⑸()2
3
23
510.35
34124111159650.52
-÷⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-÷-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦÷
1.分数裂项技巧：
⑴()11111n n n n =-
++； ⑵()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
；
⑶
()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
；
⑷()()()()()1111
222n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
.
2.整数裂项技巧：
⑴()()()()()()()()11
1121121133n n n n n n n n n n n n +=++--=++--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ⑵
()()()()()()()()()()()()11
12123112311244n n n n n n n n n n n n n n n n ++=+++--=+++--++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.
3.连锁约分
多个分数相乘通过约掉分子分母中的相同因数简便运算.
思路导航
分数裂项运算
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【例4】 计算：⑴111111
61111161621212626313136
+++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯； ⑵23
10011(12)(12)(123)
(1299)(12100)
---
-
⨯++++++
+++
+.
【例5】 计算：⑴12233499100⨯+⨯+⨯++⨯；
整数裂项运算
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⑵1335579799⨯+⨯+⨯++⨯；
⑶123234484950⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯.
【例6】 计算：⑴11111111111111241035911⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+++---- ⎪⎪
⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
连锁约分运算
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⑵11111111111113243546979998100⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
【例7】 ⑴已知
1111111112581120411101640+++++++=，11111111
2581120411101640---+--++
的值为 .
⑵计算：
11
11111111111123
2006232005232006232005⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯++++-++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
整体思想
20 初一秋季·第2讲·尖子班·学生版
学案1. 计算：
1111111261220304256⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-++--+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦
学案2. 计算：111
11
132435
17191820
++++
+
⨯⨯⨯⨯⨯
学案3. 33221129234+==⨯⨯；333221
12336344
++==⨯⨯；
3333221
1234100454
+++==⨯⨯；……．
⑴ 若n 为正整数，猜想3333123n ++++= ；
⑵ 利用上题的结论来比较3333123100++++与()2
5000-的大小．
学案4. 设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1a b a +，，的形式，又可分别表示为0b
b
a
，，的形式，则20042001
a b +=
初一秋季·第2讲·尖子班·学生版
乘法分配律的应用、连续自然数的加减交替
【练习1】 ⑴ 计算：()()(){}
()34|15|73-+---+-----⎡⎤⎣⎦；
⑵ 计算：1111181232⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；
⑶ 计算： 135********+++
+-----.
有理数综合运算
【练习2】 计算：4343(27)(2)(2)3⎡⎤⎛⎫-÷---⨯-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
裂项
【练习3】 计算：1111112612203042
-----= ．
【练习4】 计算：2446688101012⨯+⨯+⨯+⨯+⨯.
复习巩固
连锁约分
【练习5】计算：
11111111 11111111 22334420132013⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+-+-
⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
整体思想
【练习6】计算：
()()()() 222222222222 123492350123502349
+++++++-+++++++.
初一秋季·第2讲·尖子班·学生版
1+1=2吗？ 皮亚诺（Peano,Giuseppe ） 意大利数学家。

1858年8月27日生于皮埃蒙特的库内奥附近的斯皮内塔村；1932年4月20日卒于都灵。

皮亚诺致力于发展布尔所创始的符号逻辑系统。

1889年他出版了《几何原理的逻辑表述》一书，书中他把符号逻辑用来作为数学的基础，这工作在二十多年后为怀特黑德所继续。

皮亚诺由未定义的概念“零”，“数”，及“后继数”出发建立公理系统。

皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。

根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

1+1=2
1 + 1
= 0’ + 1 （根据自然数的公理）
= （0 + 1)’（根据加法定义 2）
= 1’ （根据加法定义 1）
= 2 （根据自然数的公理）
在数1,2,3,,2006⋅⋅⋅前分别添加“+”或“-”，使其运算结果为最小的非负数。

复习巩固
数学史
第十三种品格：公平
困境即是赐予
有一天，素有森林之王之称的狮子，来到了天神眼前：“我很感激你赐给我如此雄浑威武的体魄、如此强盛无比的力量，让我有足够的才能统治这整座森林．”
天神听了，微笑地问：“但这不是你今天来找我的目的吧！看起来你似乎为了某事而困扰呢！”
狮子轻轻吼了一声，说：“天神真是懂得我啊！我今天来的确是有事相求．尽管我有罪足够的才能，但是天天鸡叫的时候，我总是会被鸡鸣声给吓醒．神啊！祈求您，再赐给我一个力气，让我不再被鸡鸣声给吓醒吧！”
天神笑道：“你去找大象吧，它会给你一个满意的回答的．”
狮子兴冲冲地跑到湖边找大象，还没见到大象，就听到大象跺脚所发出的“砰砰”响声．
狮子加速地跑向大象，却看到大象正气呼呼地直跺脚．狮子问大象：“你干嘛发这么大的火呀？”大象拼命摇摆着大耳朵，吼着：“有只讨厌的小蚊子，总想钻进我的耳朵里，害我都快要死了．”
狮子离开了大象，心里暗自想着：“本来体型这么宏大的大象，还会怕那么瘦小的蚊子，那我还有什么好埋怨呢？究竟鸡鸣也不过一天一次，而蚊子却是无时无刻地骚扰着大。