2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》含答案

2020年初三数学中考压轴题综合训练：《二次函数》1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两
点．
（1）求直线OB和该抛物线的解析式；
（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；
（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．
解：（1）设直线OB的解析式为y＝kx，
∵B（﹣2，3），
∴﹣2k＝3，
∴k＝﹣，
∴直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），
∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．
将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）设M（t，﹣t2﹣2t+3），MN＝s，
则N的横坐标为t﹣s，纵坐标为﹣（t﹣s），∵，
∴x
1＝﹣2，x
2
＝，
∵点M是直线OB的上方抛物线上的点，
∴﹣2＜t＜，
∵MN∥x轴，
∴﹣t2﹣2t+3＝﹣（t﹣s），
∴s＝﹣t+2＝﹣，
∵﹣2＜t＜，
∴当t＝﹣时，MN的最大值为；
（3）解：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，CQ＝t+3，DQ＝1﹣t，∴tan∠PCD+tan∠PDC＝，
＝，
＝，
＝1﹣t+t+3，
＝4．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作PM⊥x轴交BC于M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM是直角三角形时，求P点坐标；
（3）如图2，作P点关于直线BC的对称点P′，作直线P′M与抛物线交于EF，设抛物线对称轴与x轴交点为Q，当直线P′M经过点Q时，请你直接写出EF的长．
解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交点C，
∴B（4，0），C（0，2），
∴把B（4，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣+2；
（2）∵PM⊥x轴交BC于M．BC不平行x轴，
∴∠PMC≠90°，
当∠CPM＝90°时，PC∥x轴，则P点的纵坐标为2，
∵y＝﹣+2的对称轴为x＝1，
∴P点的横坐标为：2，
此时P（2，2）；
当∠PCM＝90°时，设P（m，），则M（m，﹣m+2），
由PC2+CM2＝PM2得，＝，
解得，m＝0（与C的横坐标相同，舍去），或m＝﹣6，
此时P（﹣6，﹣10）；
综上，P点的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣10）；
（3）作Q点关于直线BC的对称点K，QK与BC相交于点N，再过K作KL⊥x轴于点L，如图所示，
则根据题意可知，KL与BC的交点为M，P点在KM上，P'在QM上，
∵y＝﹣+2，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴Q（1，0），
∴BQ＝4﹣1＝3，
∵∠QBN＝∠CBO，∠QNB＝∠COB＝90°，
∴△BQN∽△BCO，
∴，即，
∴QN＝，
∴QK＝2QN＝，
∠BQN＝∠KQL，∠BNQ＝∠KLQ＝90°，
∴△BQN∽△KQL，
∴，即，
∴QL＝，
∴OL＝1+，
∴M（，），
设QM的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则
，
∴，
∴直线QM的解析式为：y＝，
联立方程组，
解得，，或，
∴E（，），F（，），∴EF＝．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），且直线BC的解析式为y＝x﹣2，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点F，与线段BC交于点E（不与点B和点C重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△CEF是以CE为腰的等腰三角形，求m的值；
（3）点P为y轴左侧抛物线上的一点，过点P作PM⊥BC交直线BC于点M，连接PB，若以P、M、B为顶点的三角形与△ABC相似，求P点的坐标．
解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，
∴C（0，﹣2），B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，
得，
解得，，
∴y＝x﹣2；
（2）∵
∴，＝，
，
若以C为顶点，则CE2＝CF2，
∴，
解得：m
1＝2，m
2
＝4（舍去），
若以E为顶点，则EC2＝EF2，∴＝，
解得：m
3＝4﹣，m
4
＝4+（舍去），
综合以上得m＝2或m＝4﹣．
（3）①∵AC＝，BC＝2，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，
∴当点P与点A重合时，点M与点C重合，此时P
1
（﹣1，0），②如图，当△BPM∽△ABC时，
过点M作HR∥x轴，作PH⊥HR于点H，BR⊥HR于点R，
∵∠PMB＝∠PHM＝∠BRM＝90°，
∴∠BMR＝∠MPH，
∴△PHM∽△MRB，
∴
又∵AB∥HR，
∴∠ABC＝∠BMR，
∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，
令BR＝a，MR＝2a，
又∵∠ABC＝∠BMR，
∴tan∠BMR＝tan∠ABC＝，
∴，
∴PH＝4a，HM＝2a，PQ＝3a，
∴HR＝4a，
∴P（4﹣4a，3a），
又∵点P在抛物线上，
将P（4﹣4a，3a）代入y＝x﹣2得：
（4﹣4a）﹣2＝3a，
∴a（8a﹣13）＝0，
a 1＝0（舍），a
2
＝．
∴．
∴符合条件的点P为P
1
（﹣1，0）或．
4．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求b，c的值：
（2）如图1，点P是第一象限抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线1，交BC于点H．当△PHC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E．已知直线y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M、N两点，求证：无论k为何值，△EMN恒为直角三角形．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴b＝2，c＝3；
（2）∵抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入y＝kx+3，
解得：k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），①如图1，过点C作CM⊥PH于点M，
则CM＝x，PH＝﹣x2+3x，
当CP＝CH时，PM＝MH，∠MCH＝∠MCP，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
∵CM∥OB，
∴∠MCH＝∠OBC＝45°，
∴∠PCH＝90°，
∴MC＝PH＝（﹣x2+3x），
即x＝（﹣x2+3x），
解得：x
1＝0（舍去），x
2
＝1，
∴P（1，4）；
②如图2，当PC＝PH时，
∵PH∥OC，
∴∠PHC＝∠OCB＝45°，
∴∠CPH＝90°，
∴点P的纵坐标为3，
∴﹣x2+2x+3＝3，
解得：x＝2或x＝0（舍去），
∴P（2，3）；
③当CH＝PH时，如图3，
∵B（3，0），C（0，3），
∴BC＝＝3．
∵HF∥OC，
∴，
∴，
解得：x＝3﹣，
∴P（3﹣，4﹣2）．
综合以上可得，点P的坐标为（1，4）或（2，3）或（3﹣，4﹣2）．
（3）∵函数表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点E （1，4）；
设点M 、N 的坐标为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
∴MN 2＝（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2，ME 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2，NE 2＝（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）
2
，
∵ME 2+NE 2＝（x 1﹣1）2+（y 1﹣4）2+（x 2﹣1）2+（y 2﹣4）2＝x 12+x 22﹣2（x 1+x 2）+2+y 12+y 22﹣8（y 1+y 2）+32
＝x 12+x 22﹣2x 1x 2+2﹣4+y 12+y 22﹣2y 1•y 2+18﹣48+32 ═（x 1﹣x 2）2+（y 1﹣y 2）2， ∴MN 2＝ME 2+NE 2， ∴∠MEN ＝90°， 故EM ⊥EN ，
即：△EMN 恒为直角三角形．
5．如图1所示，已知直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 分别交于x 轴和y 轴上同一点，交点分别是点B （6，0）和点C （0，6），且抛物线的对称轴为直线x ＝4； （1）试确定抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；
（3）如图2，点Q 是线段BC 上一点，且CQ ＝，点M 是y 轴上一个动点，求△AQM
的最小周长．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，
∴点A的坐标为（2，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），
∴，
解得a＝，b＝﹣4，c＝6．
∴抛物线的解析式为：y＝；
（2）设P（4，y），
∵B（6，0），C（0，6），
∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，
当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，
∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，
解得：y＝﹣2，
∴P（4，﹣2）；
当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，
∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，
解得：y＝10，
∴P（4，10）；
当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．
∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，
解得：y＝3．
∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．
综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，
∵B（6，0），C（0，6），
∴OB＝6，OC＝6，
∴∠OCB＝45°，
∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，
∵CQ＝，
∴CH＝QH＝，
∴OH＝6﹣，
∴点Q的坐标为（，），
在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，
∴AQ＝＝，
QG＝＝，
∴AQ+QG＝，
∴△AQM的最小周长为4．
6．如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数表达式；
（2）动点P沿线段AD从A到D，同时动点Q沿线段CA从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动过程中能否存在PQ⊥AC？如果不存在请说明理由；如果存在请说明点的位
置？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？
解：（1）由y＝﹣x+3，
令x＝0，得y＝3，所以点A（0，3）；
令y＝0，得x＝4，所以点C（4，0），
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
∴B点坐标为（﹣4，0），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D点坐标为（8，3），
将点B（﹣4，0）、点D（8，3）代入二次函数y＝x2+bx+c，
∴，
解得：，
故该二次函数解析式为：y＝x2﹣x﹣3．
（2）∵OA＝3，OB＝4，
∴AC＝5．
①设点P运动了t秒时，PQ⊥AC，此时AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠AOC＝90°，∠PAQ＝∠ACO，
∴△APQ∽△CAO，
∴，即，
解得：t＝．
即当点P运动到距离A点个单位长度处，有PQ⊥AC．
②∵S
四边形PDCQ +S
△APQ
＝S
△ACD
，且S
△ACD
＝×8×3＝12，
∴当△APQ的面积最大时，四边形PDCQ的面积最小，当动点P运动t秒时，AP＝t，CQ＝t，AQ＝5﹣t，
设△APQ底边AP上的高为h，作QH⊥AD于点H，
由△AQH∽△CAO可得：
，
解得：h＝（5﹣t），
∴S
△APQ
＝t×（5﹣t）＝（﹣t2+5t）＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S
△APQ 达到最大值，此时S
四边形PDCQ
＝12﹣＝，
故当点P运动到距离点A个单位处时，四边形PDCQ面积最小，最小值为．
7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点x轴上的A（﹣1，0）和B点，交y轴于点C，点P是该抛物线上第一象限内的一动点，且CO＝3AO．
（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3 ；
（2）过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）若sin∠BCP＝，在对称轴左侧的抛物线上是否存在点Q，使∠QBC＝∠PBC？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
又∵CO＝3AO，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）由﹣x2+2x+3＝0，得B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
∴PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x＝．∴当时，PD有最大值．
（3）存在．
∵，点P在第一象限，
∴∠BCP＝45°，
∵B（3，0），C（0，3），
∴OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠BCP＝∠OCB＝45°，
∴CP∥OB，
∴P（2，3），
设BQ与y轴交于点G，
在△CPB和△CGB中：
2，
∴△CPB≌△CGB（ASA），
∴CG＝CP＝2，
∴OG＝1，
∴点G（0，1），
设直线BQ：y＝kx+1，
将点B（3，0）代入y＝kx+1，
∴，
∴直线BQ：，
联立直线BQ和二次函数解析式，
解得：或（舍去），
∴Q（，）．
8．如图，以D为顶点的抛物线y＝ax2+2x+c交x轴于点A，B（6，0），交y轴于点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将B（6，0），C（0，6）代入y＝ax2+2x+c，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+6．
（2）当y＝0时，﹣x2+2x+6＝0，
解得：x
1＝﹣2，x
2
＝6，
∴点A的坐标为（﹣2，0）．
∵点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6．
如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（6，6）．
∵O与O′关于直线BC对称，
∴PO＝PO′，
∴PO+PA的最小值＝PO′+PA＝AO′═＝10．
设直线AO′的解析式为y＝kx+m，
将A（﹣2，0），Q′（6，6）代入y＝kx+m，得：，
解得：，
∴直线AO′的解析式为y＝x+．
联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，）．
（3）∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8，
∴点D的坐标为（2，8）．
又∵点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（6，0），
∴CD＝2，BC═＝6，BD═＝4，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．
∵点A的坐标（﹣2，0），点C的坐标为（0，6），
∴OA＝2，OC＝6，
∴＝＝2，．
又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，
∴△AOC∽△DCB，
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽DCB，
∴，即，
∴AQ＝20，
∴点Q的坐标为（18，0）．
综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（18，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD 相似．
9．如图，抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k为常数且a＞0）经过点C（﹣1，0），顶点为M，经过点P（0，a+4）的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n：y＝ax+c经过点C．
（1）用a表示k及点M的坐标；
（2）BP﹣AP的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当直线n经过点B时，求a的值及点A，B的坐标；
（4）当a＝1时，设△ABC的外心为点N，则：
①求点N的坐标；
②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB＜∠ACB，直接写出b的取值范围．
解：（1）把点C（﹣1，0）代入L，得
0＝a×（1﹣）2﹣2a×（﹣1）+a+k，
∴k＝﹣4a．
又L：y＝ax2﹣2ax+a+k＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点M（1，﹣4a）．
（2）是定值．
根据图象，由抛物线的轴对称性，可知BF＝AF，
又QL的对称轴为x＝1，
故PF＝1，
∴由图象可得，BP﹣AP＝（BF+PF）﹣（AF﹣PF），
＝BF+PF﹣AF+PF＝2PF＝2．
（3）当直线n经过点B时，有ax+a＝a（x﹣1）2﹣4a，
化简得，ax2﹣3ax﹣4a＝0，
∵a＞0，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x
1＝﹣1，x
2
＝4，
∵B在A的右侧，对称轴为x＝1，∴B（4，a+4），A（﹣2，a+4），
把点B代入直线n，得a+4＝4a+a，解得a＝1，
∴A（﹣2，5），B（4，5）．
（4）①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x＝1就是AB的垂直平分线，
故△ABC的外心N就在直线x＝1上，则有AN＝CN．
∴设N（1，c），
由（3）可知A（﹣2，5），及C（﹣1，0），
∴（﹣2﹣1）2+（5﹣c）2＝（﹣1﹣1）2+（0﹣c）2，
即32+（5﹣c）2＝22+c2，
解得c＝3．
∴N（1，3）．
②或b．
如图，对于点Q（1，b），若∠AQB＝∠ACB，
根据同弧所对的圆周角相等，可得点Q为x＝1与⊙N的交点，
由（4）①得，⊙N的半径为r＝NC＝（﹣1﹣1）2+（0﹣3）2＝，
则b＝﹣（r﹣c）＝﹣（﹣3）＝3﹣；
设点Q关于直线AB的对称点为Q'（1，d），若∠AQ'B＝∠ACB，
则d＝FQ'+5＝FQ+5＝（5+|3﹣|）+5＝+7．
综上，若点Q满足∠AQB＜∠ACB，则有b或b．
10．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，
（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．
（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a ＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．
解：（1）将点B、A的坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵过点D（m，0）（0＜m＜4）作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，∴E（m，），C（m，﹣m+4）．
∴EC＝＝．
∵点C是DE的中点，
∴．
解得：m＝2，m＝4（舍去）．
∴ED＝OB＝4，
∴四边形ODEB为矩形．
（3）如图，由（2）可知D（2，0），在y轴上取一点M′使得OM′＝1，连接AM′，在AM′上取一点D′使得OD′＝OD．
∵OD′＝2，OM′•OB＝1×4＝4，
∴OD′2＝OM′•OB，
∴，
∵∠BOD′＝∠M′OD′，
∴△M′OD′∽△D′OB，
∴．
∴．
∴D′A+D′B＝D′A+M′D′＝AM′，此时D′A+D′B最小（两点间线段最短，A、M′、D′共线时），
∴D′A+D′B的最小值＝AM′＝＝．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝OC ＝6，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接BD，若点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标：
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请求出点Q的坐标．
解：（1）∵OA＝2，OB＝OC＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），
把C点的坐标代入可得6＝﹣12a，
解得a＝．
∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；
∴D（2，8）；
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，﹣x2+2x+6），
则FG＝|﹣x2+2x+6|，
∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°，
∴△FBG∽△BDE，
∴．
∵B（6，0），D（2，8），
∴E（2，0），BE＝4，DE＝8，OB＝6，
∴BG＝6﹣x，
∴，
当点F在x轴上方时，有，
解得x＝﹣1或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣1，），
当点F在x轴下方时，有，
解得x＝﹣3或x＝6（舍去），
此时F点的坐标为（﹣3，），
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）；
（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，
∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，
∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，
QO′＝MO′＝PO′＝NO′，PQ⊥MN，
设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），
∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+6的图象上．
∴n＝﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，
解得n＝﹣1+或n＝﹣1﹣，
∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．12．如图，直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，抛物线经过B，C，与x轴交于另一点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位的速度向B点运动，同时点F从B 点出发，在线段BC上以每秒1个单位的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点将停止运动．设△EBF的面积为S，点E运动的时间为t．
①求S与t的函数关系式，并求出S有最大值时点F的坐标；
②点E，F在运动过程中，若△EBF为直角三角形，求t的值．
解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴，y轴交于点B，C，
∴x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝4，
∴B（4，0），C（0，﹣4）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴A点坐标为（﹣2，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
（2）由题意得，BF＝t，BE＝6﹣3t，
①作FH⊥x轴，如图，
∵B（4，0），C（0，﹣4）．
∴OB＝OC＝4，
∴，
∵FH∥BC，
∴△BHF∽△BOC，
∴，
∴．
解得：HF＝．
∴＝．
当S有最大值时，t＝1，此时点F的坐标为（）．②∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
若∠BEF＝90°，
则cos∠EBF＝，
解得：t＝．
若∠EFB＝90°，
则cos∠EFB＝．
解得：t＝．
综合以上可得，若△EBF 为直角三角形，t 的值为或．
13．如图，在直角坐标系中，y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左），与y 轴交于C 点．
（1）若△ABC 的面积为，求抛物线的解析式；
（2）已知点P 为B 点右侧抛物线上一点，连PC ，PB 交y 轴于D 点，若∠BCP ＝2∠ABC ，求的值；
（3）若P 为对称轴右侧抛物线上的动点，PA 交y 轴于E 点，判断
的值是否为定值，说明理由．
解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a 与x 轴交于A 、B 两点，
∴ax 2+4 ax +3a ＝0，
解得x 1＝1，x 2＝3，
∴A （1，0），B （3，0），
当x ＝0，y ＝3a ，
∴OC ＝﹣3a ，
∵S △ABC ＝
， ∴
， 解得a ＝﹣，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣
；
（2）如图，过B 点作BM ⊥x 轴交CP 于M ，过点C 作CF ⊥BM 于点F ，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，
∵∠BCP＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠BCF＝∠FCM，∵CF＝CF，
∴△CBF≌△CMF（ASA），∴BF＝FM，
∴M（3，6a），
又∵C（0，3a），
设CP解析式y＝mx﹣3m，∴8a＝m×2，
∴m＝4a，
∴y＝4ax﹣12a，
∴，
解得：x
1＝3，x
2
＝5，
∴P（5，8a），
∴直线BP的解析式为y＝4ax﹣12a，∴D（0，﹣12a），
∵OC＝|3a|，OD＝|﹣12a|，
∴；
（3）∵A（1，0），
∴设PA的解析式y＝k
1x﹣k
1
，
∴
∴ax2﹣（4a+k
1）x+3a+k
1
＝0，
∴（ax﹣3a﹣k
1
）（x﹣1）＝0，解得，x＝1或x＝，
∴x p＝3+，
∵B（3，0），
∴设PB的解析式y＝k
2x﹣3k
2
，
∴，
∴ax2﹣（4a+k
2）x+3a+3k
2
＝0，
∴（ax﹣a﹣k
2
）（x﹣3）＝0，∴x p＝1+．
又∵EC＝﹣k
1﹣3 a，DE＝﹣3k
2
﹣3 a，
∴＝＝．
14．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点点A（0，1）、点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将A （0，1），B （9，10）代入函数解析式，得
， 解得，
∴抛物线的解析式y ＝x 2﹣2x +1；
（2）∵AC ∥x 轴，A （0，1）， ∴x 2﹣2x +1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0（舍），即C 点坐标为（6，1），
∵点A （0，1），点B （9，10），
∴直线AB 的解析式为y ＝x +1，设P （m ，m 2﹣2m +1），
∴E （m ，m +1），
∴PE ＝m +1﹣（m 2﹣2m +1）＝﹣m 2+3m ．
∵AC ⊥PE ，AC ＝6，
∴S 四边形AECP ＝S △AEC +S △APC ＝AC •EF +AC •PF ＝AC •（EF +PF ）＝AC •EP ＝×6×（﹣m 2+3m ）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣）2+
，
∵0＜m ＜6，
∴当m ＝时，四边形AECP 的面积最大，此时P （，﹣）；
（3）∵y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣3）2﹣2，
∴P （3，﹣2）．
∴PF＝y F﹣y p＝3，CF＝x F﹣x C＝3，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°，
同理可得∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB＝9，AC＝6，CP＝3，∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，，
即，
解得t＝4，
∴Q（4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，，
即，
解得t＝﹣3，
∴Q（﹣3，1）．
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（﹣3，1）．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P为抛物线的对称轴上一点，连接BP，CP，当四边形BOCP的周长最小时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D为抛物线的顶点，在线段CD上是否存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∴令x＝0，y＝3，
∴C（0，3）．
∴OC+OB＝3+1＝4，
∴当四边形BOCP的周长最小时，则CP+BP最小，如图1，连接AC，与对称轴的交点即为所求的点P，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线的对称轴为x＝＝2，
∴x＝2时，y＝﹣2+3＝1，
∴P（2，1）．
（3）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，﹣1），
又∵C（0，3），
∴直线CD为y＝﹣2x+3，OC＝3，
∵A（3，0），
∴AB＝2，∠BAC＝∠OCA＝45°，
∴AC＝3，
∴．
∵∠ABC＝90°+∠OCB，
∴∠ABC为钝角，
若△AMO与△ABC相似，显然∠ABC＝∠OMA，
则在线段CD上存在点M使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，①若点M在x轴上方时，如图2，
当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，
设M（a，﹣2a+3），
∴a＝﹣2a+3，
解得a＝1，
∴M（1，1）．
此时OM＝，OA＝3，
∴，
∴．
则△ABC∽△OMA．
②若点M在x轴下方，如图3，
∵M在线段CD上，
∴∠AOM≠45°，
∴∠OAM＝∠BAC＝45°，
∴M（2，﹣1），
此时点M与点D重合，AM＝，OA＝3，
∴．
则△ABC∽△AMO．
综合以上可得，在线段CD上存在点M（不与点C重合），使得△AMO与△ABC相似，此时点M的坐标为（1，1）或（2，﹣1）．
16．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q 作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求线段PG的长；
（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求S
．
△OBE
解：（1）一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分别为：（0，2）、（4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4；
即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝QG，
设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4），
QM•QN＝m×（﹣m+4+m﹣2）＝（﹣m2+2m），
当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；
（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan；
①当PE在AP下方时，如图1，
由点A（0，2）、P（2，3）知，
AP＝，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，
过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M，
设：MA＝x，则MH＝2x，
tan∠APH＝＝＝tanα＝，
解得：x＝，则AH＝x＝，则点H（0，），
设直线PH的表达式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线PH的解析式为y＝x+，
联立抛物线的解析式和直线的解析式：，解得：x＝2（舍去）或﹣，
∴点E（﹣，﹣），
∴＝＝．
②当PE在AP上方时，
如图2，过点P作PM⊥y轴交于点M，交抛物线于点E，
∵tan∠APM＝．tan∠ABO＝，
∴∠APM＝∠ABO，
∵PE∥x轴，
∴E点的纵坐标为3，
将y＝3代入抛物线解析式求得x＝1，
∴E（1，3），
∴＝6．
综上可得△OBE的面积为或6．
17．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM与△BQC相似？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）∵A（﹣1，0），B（3，0）．
代入y＝﹣x2+bx+c，得
，
解得b＝2，c＝3．
∴抛物线对应二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．
∴PE⊥CD，PE＝PA．
由y＝﹣x2+2x+3，得
对称轴为直线x＝1，C（0，3）、D（1，4）．
∴DF＝4﹣3＝1，CF＝1，
∴DF＝CF，
∴△DCF为等腰直角三角形．
∴∠CDF＝45°，
∴∠EDP＝∠EPD＝45°，
∴DE＝EP，
∴△DEP为等腰三角形．
设P（1，m），
∴EP2＝（4﹣m）2．
在△APQ中，∠PQA＝90°，
∴AP2＝AQ2+PQ2＝[1﹣（﹣1）]2+m2
∴（4﹣m）2＝[1﹣（﹣1）]2+m2．
整理，得m2+8m﹣8＝0
解得，m＝﹣4±2．
∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．
如图2，连结CQ、CB、CM，
∵C（0，3），OB＝3，∠COB＝90°，
∴△COB为等腰直角三角形，
∴∠CBQ＝45°，BC＝3．
由（2）可知，∠CDM＝45°，CD＝，
∴∠CBQ＝∠CDM．
∴△DCM与△BQC相似有两种情况．
当时，
∴，解得DM＝．
∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣＝．
∴M
（1，）．
1
当时，
∴，解得DM＝3，
∴QM＝DQ﹣DM＝4﹣3＝1．
∴M
（1，1）．
2
综上，点M的坐标为或（1，1）．
18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC 于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q，连结PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）当0＜m＜4时，求d关于m的函数关系式；
（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），
∴
解得：
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，
∴点C（0，﹣3）
设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，
∴0＝3k﹣3
∴k＝1，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3；
（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，
∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），
当0＜m＜3时，PQ＝d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，
当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵PQ∥OC，
∴∠PQB＝45°，
若BP＝PQ，
∴∠PQB＝∠PBQ＝45°，
∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，
∴m＝1，
若BP＝QB，
∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，
∴∠QBP＝90°，
∴BP解析式为：y＝﹣x+3，
∴
解得：，
∴点P（2，1）
∴m＝2；
若PQ＝QB，
∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，
综上所述：m＝1或2或±．
19．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y 轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为直线BD上方抛物线上一点，若S
＝3，请求出点P的坐标．
△PBD
（3）如图3，M为线段AB上的一点，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，请求出点M的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将点B（3，0）代入得，（3﹣1）2×a+4＝0．
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．
（2）过点P作PQ∥y轴交DB于点Q，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3
∴D（0，3）．
设直线BD的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3．
设P（m，﹣m2+2m+3），则Q（m，﹣m+3），∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．
∵S
△PBD ＝S
△PQD
+S
△PQB
，
∴S
△PBD
＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，
∵S
△PBD
＝3，
∴﹣m＝3．
解得：m
1＝1，m
2
＝2．
∴点P的坐标为（1，4）或（2，3）．
（3）∵B（3，0），D（0，3），
∴BD＝＝3，
设M（a，0），
∵MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴，
即．
∴MN＝（1+a），DM＝＝，∵△DNM∽△BMD，
∴，
∴DM2＝BD•MN．
∴9+a2＝3（1+a）．
解得：a＝或a＝3（舍去）．
∴点M的坐标为（，0）．
20．如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使△EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB？若存在，求出PB2的值；
若不存在，请说明理由．
解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，
抛物线的顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
∴直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
（3）①当点P在x轴上方时，如图2，
∵OB＝OC＝3，则∠OCB＝45°＝∠APB，
过点B作BH⊥AP于点H，设PH＝BH＝a，
则PB＝PA＝a，
由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，
16＝a2+（a﹣a）2，解得：a2＝8+4，
则PB2＝2a2＝16+8．
②当点P在x轴下方时，
同理可得．
综合以上可得，PB2的值为16+8．。