65.课标全国卷文科立体几何试题的体积“情结”之体积公式

课标高考全国卷数学试题揭秘.预测

第19讲:课标全国卷文科立体几何试题的体积“情结”之体积公式 287

第19讲:课标全国卷文科立体几何试题

的体积“情结”之体积公式

揭秘情结

课标全国卷中的立体几何试题与概率统计试题一起排列在解答题的第二、三题,属于解答题的中档题;研究发现:课标全国卷文科中的立体几何试题具有鲜明的个性:着意于几何体的体积问题,即课标全国卷文科立体几何试题具有浓浓的体积“情结”.

情结渊源

1.柱体的体积:

1.(2013年课标Ⅰ高考试题文科第19题)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, CA=CB,AB=AA 1,∠BAA 1=600

. (Ⅰ)证明:AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若AB=CB=2,A 1C=6,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.

[解析]:(Ⅰ)取AB 的中点O,连接OC,OA 1,A 1B;由CA=CB ⇒OC ⊥AB;由AB=AA 1∠BAA 1=600⇒△AA 1B 为等边三角形⇒OA 1⊥

AB ⇒AB ⊥平面OA 1C ⇒AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)由△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形⇒OC=OA 1=3;又A 1C=6⇒A 1C 2=OC 2+OA 12

⇒OA 1⊥OC ⇒OA 1⊥平面ABC ⇒OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高;又△ABC 的面积S △ABC =3⇒三棱

柱ABC -A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ×OA 1=3.

2.锥体的体积:

2.(2010年课标高考试题文科第18题)如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB ∥CD,AC ⊥BD,垂足为H,PH 是四棱锥的高. (Ⅰ)证明:平面PAC ⊥平面PBD;

(Ⅱ)若AB=6,∠APB=∠ADB=600

,求四棱锥锥P-ABCD 的体积.

[解析]:(Ⅰ)由PH ⊥平面ABCD ⇒PH ⊥AC ⇒AC ⊥PH,又由AC ⊥BD ⇒AC ⊥平面PBD ⇒

平面PAC ⊥平面PBD;

(Ⅱ)在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD,AC ⊥BD,AB=6⇒HA=HB=3;由∠ADB=600⇒CH=DH=AHcot600

=1⇒梯形ABCD 的面积S=

21AC ×BD=2+3;又由∠APB=600

⇒PA=PB=AB=6⇒PH=3⇒四棱锥锥P-ABCD 的体积V=31S ×PH=3

323+.

3.(2013年课标Ⅱ高考试题文科第18题)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D 、E 分别是AB 、BB 1的中点. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD;

(Ⅱ)设AA 1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥C-A 1DE 的体积.

[解析]:(Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点,又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF,BC 1⊄平

面A 1CD ⇒BC 1∥平面A 1CD;

(Ⅱ)由CA=CB ⇒CD ⊥AB;又由AA 1⊥平面ABC ⇒AA 1⊥CD ⇒CD ⊥平面AA 1B 1B ⇒CD 是

三棱锥C-A 1DE 的高;在ΔABC 中,由AC=CB=2,AB=22⇒CD=2;在矩形AA 1B 1B 中, 由D 、E 分别是AB 、BB 1的中点,AA 1=2,AB=22⇒ΔA 1DE 的面积S=2

2

3⇒三棱锥 C-A 1DE 的体积V=3

1S ⋅CD=1.

命题规律

无论是求柱体的体积,还是求锥体的体积,其底面面积和高是两个必求的量,隐含这两个量是高考命题的常用手段和着力点;四面体的体积是“原子”体积,求四面体的体积要着意于选择“底面”.

原创预测

1.柱体的体积:

[原创示例]:如图,在三棱柱ABC-A 1B 1

C 1

中,∠BAC=900

,∠A 1

AB=∠A 1

AC=600

,AB=AC=AA 1

=2,

D 是B 1C 1的中点.

(Ⅰ)证明:平面A 1BC ⊥平面A 1BD; (Ⅱ)求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.

[解析]:(Ⅰ)取BC 的中点O,由∠BAC=900,AB=AC=2⇒OA=OB=OC=

2;由∠A 1AB=∠A 1AC=600

,

AB=AC=AA 1=2⇒A 1B=A 1C=2⇒OA 1=2⇒OA 2+OA 12=AA 12

⇒OA ⊥OA 1;又因OA ⊥BC ⇒OA ⊥平面A 1BC;

由A 1D ∥AO ⇒A 1D ⊥平面A 1BC ⇒平面A 1BC ⊥平面A 1BD; (Ⅱ)三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积V=

2

1

AB ⋅AC ⋅OA 1=22. [原创预测]:

1.如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,侧棱AA 1⊥底面ABCD,AB ⊥AC,AB=1,AC=2,AD=CD=

5,CB 1=3,且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点.

(Ⅰ)证明:MN ∥平面ABCD;

(Ⅱ)求四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积.

2.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=900

,

BC=1,AC=CC 1=2. (Ⅰ)证明:AC 1⊥A 1B;

(Ⅱ)若点A 到平面AA 1C 1C 的距离为3,求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积.

2.锥体的体积:

[原创示例]:如图,己知四棱锥P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ∥CD,AC ⊥BD,

垂足为H,PH 是四棱锥的高,E 为AD 中点.若AB=6,∠APB=∠ADB=600

.

(Ⅰ)证明:平面PEH ⊥平面PBC; (Ⅱ)求四棱锥P-ABCD 的体积.

[解析]:(Ⅰ)由PH ⊥平面ABCD ⇒PH ⊥BC ⇒BC ⊥PH;在等腰梯形ABCD 中,设EH 的延长线交BC 于F,由∠ADB=600⇒∠HCF=

∠ACB=600

;又由AC ⊥BD,E 为AD 中点⇒∠CHF=∠EHA=∠AHE=300

⇒BC ⊥EF ⇒BC ⊥平面PEH ⇒平面PEH ⊥平面PBC;

(Ⅱ)由四边形ABCD 为等腰梯形,AB ∥CD,AC ⊥BD,AB=6,∠APB=∠ADB=600

⇒AH=BH=3,PA=AB=6⇒PH=3;由∠ADB=

600

⇒DH=1⇒CH=1⇒梯形ABCD 的面积=

21AC ⋅BD=21(3+1)2

=2+3⇒四棱锥P-ABCD 的体积=3

1(2+3)3;