2023届高三数学一轮复习大题专练08导数构造函数证明不等式2

一轮大题专练8—导数（构造函数证明不等式2）
()
a R ∈．
（1）讨论函数()f x 的单调性；
解：（1）函数的定义域为(0,)+∞
()i 当0a =时，()
()10,()0g x g x f x x
'=-<=
<，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减；()ii 当0a ≠时，()g x 为二次函数，△
①若△0…，即时，()g x 的图象为开口向下的抛物线且()0g x …时()f x 在(0,)+∞上5单调递减；
②当△
>0
a >时，令
()0
g x =当
8
a <-时，
()
g x
，
)
+∞时，
()0
g x …，则
()0
f x '<，
()
f x 单调递减，当
()0g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增；
当
a >时，
()
g x 的图象为开口向上的抛物线，
12
0x x <<，
当
2(0,)
x x ∈，
()0
g x …，则
()0
f x '<，
()
f x 单调递减，当
，
)
+∞，
()0
g x >，则
()0
f x '>，
()f x 单调递增；
综上，当
8
a <-时，
()
f x 在
单调递减，在
时，
()
f x 在
当80a -……(0,)+∞上单调递减．
（2）证明：由（1()f x
()f x f >（1），即
又2
0lnx x x <<-
令121
()(1),12
x m x e x x -=-+…1x …，
()0m x ''∴…
)+∞1）0=，
()0m x '…[1上单调递增，又m （1
1），即
2．已知函数
()x
f x xe =．
212||(1)4
x x e a -<++．
解：（1）()x f x xe =
()(1)x f x x e ∴'=+故2x =-时的切线方程是
（2）证明：由（1）知：()f x (1,)-+∞递增，
1(1)f e -=-
时，方程()f x a =有2
，故
1()0
g x >，
故
(2,0)
x ∈-
（1）讨论关于x 的方程||()lnx f x =根的个数；
（2）当x ∈()1()f x x F x -…
…．解：（1）令()||()g x lnx f x =-，(0,)x ∈+∞，
()0g x =
当(0,1)x ∈
2121()x x g x x e
+'=-+因此()g x '在区间上单调递增，()g x g ''<（1，()g x 在(0,1)区间上单调递减，
2
2(1)0g e =-<
210x +>g （1，g （e ）0>，
2个．
（2）2
1()(22cos 2
x x F x x x --=--++
设2
()2cos 22
x M x x =+-
()M x '1]1]所以，1()0x F x --…
，
当(0,1)x ∈
1]
（1）求()f x 的单调区间；
边和右边两个不等式可只选一个证即可）
解：（1
当1
m…()
f x
()0
f x'<
1
1
x
m
<<
-
，
综上，当1
m…时单调递增区间为(0,)
+∞；单调递增区间为
（2）证明：()
g x lnx x m
=-+
设()(0)
h x x lnx x
=->，则
x→
h（1
①若证所证不等式的左边，即1
1
2m e b
b
-<+
又
b）
=
，则故即证即证2
21(1)
ln ln b b
-<+-
，
设t（b）2
(1)
ln b b
=+-
b
b1
②若证所证不等式的右边，即即证即证
2
21(1)
ln m ln a lna
+->+-
，
又g（a）
=
，即故即证2
21(1)
ln a lna ln a lna
+-->+-
，即证
设ϕ（a
a a 1
（1）求实数a 的值；
解：（1
易知函数()f x
令2
()10a
g x x '=-
=1）10a =-=，解得故实数a 的值为1；
（2）由（1）知，函数()f x 在
又11()1,(1)1,(3)33f f f ln e e =--=-=-
1()min f x f =（3
①当10k +>，即1k >-时，对不等式成立，即为
13k ln ∴-…，
此时k 的取值范围为13k ln -…；
②当10k +<，即1k <-时，
对不等
式成立，即
为
则
1()()33132
min max k f x f x ln ln +-=-+=-…，
33k ln ∴-…，
此时k 的取值范围为33k ln -…，
综上，实数k 的取值范围为，)+∞；
（3
下证：1x xlnx e x -<--
()112x x h x lnx e lnx e '=+-+=-+，1
()x h x e x
''=-，
(0,)+∞
()0h x ''=
00lnx x =-，且当
0(0,)
x x ∈时，
，
)
+∞时，
2000000
(1)1()()220
x max
x x h x lnx e x x x -''==-+=--+=-<，
()h x ∴
又0x →时，()0h x <
再证：1cos 1(0)x x x --<->
()sin 10m x x '=-+…
，()m x ∴
（1）讨论()f x 的极值情况；
（2）若a …解：（1）
()21
x f x e ax b =--+
①0a …()f x
()0f x '>
故()f x
综上：0a …
（2
()11
x f x e b b =-+>-+
则10b -+…，1b …
1时，
()(2)2221
min f x f ln a a aln a b ==--+，
()0f x …
设
2
()22214g x x xln x x =-+-
为(0,)+∞上的减函数，且
则存在唯一实数01(8x ∈当
0(0,)x x ∈时，
，
)
+∞时，
2000()421
g x x x =++，
a。