四川省眉山市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一上期末考试
数学试题
本试卷共150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回.
第I 卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 命题：“，有”的否定形式为（ ） p Q x ∀∈2
Q x ∈p ⌝A. ，有 B. ，有 Q x ∀∉2Q x ∉Q x ∀∈2Q x ∉C. ，使 D. ，使
Q x ∃∉2Q x ∉Q x ∃∈2Q x ∉【答案】D 【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题得
命题：“，有”的否定形式为，使 p Q x ∀∈2Q x ∈p ⌝Q x ∃∈2Q x ∉故选：D.
2. 已知集合，，则（ ） {}2A x x =<{
}
2
120B x x x =-->A B = A. B.
C.
D.
(,4)-∞-(,3)-∞-()3,2-(4,2)-【答案】B 【解析】
【分析】求出集合中元素范围，再直接求交集即可.
B 【详解】或，
{}{2
120|3B x x x x x =-->=<-}4x >{}
2A x x =<则 A B = (,3)-∞-故选：B.
3. 已知，，则的取值范围是（ ） 13x <<31y -<<3x y -A. B.
C.
D.
(0,12)(2,10)-(2,12)-(0,10)【答案】C 【解析】
【分析】利用不等式的性质得到的范围，再和的范围相加即可. 3y -x 【详解】,
31y -<< ，又， 339y ∴-<-<13x <<
2312x y ∴-<-<故选：C
4. 设，下列说法中错误的是（ ） ,x y ∈R A. “”是“”的充分不必要条件 1x >21x >B. “”是“”的必要不充分条件 0xy =220x y +=C. “”是“”的充要条件 1,1x y >>2,1x y xy +>>D. “”是“”的既不充分也不必要条件 x y >22x y >【答案】C 【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可.
【详解】解：对于A ，因为的解集为，所以“”是“”的充分不必要条21x >()(),11,-∞-⋃+∞1x >21x >件，故正确；
对于B ，“”时， “”不一定成立，反之“”成立时，“”一定成0xy =220x y +=220x y +=0xy =立，所以“”是“”的必要不充分条件，故正确；
0xy =220x y +=对于C ，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，
1,1x y >>2,1x y xy +>>2,1x y xy +>>不一定成立，例如，所以 “”是“”的充分不必要条
1,1x y >>1
,32
x y ==1,1x y >>2,1x y xy +>>件，故错误；
对于D ，当时，满足“”，但不满足“”；当时，满足“x 1,y 2==-x y >22x y >2,1x y =-=-22
x y >
”，但不满足“”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故正确. x y >x y >22x y >故选：C 5. 函数的定义域为，则的取值范围为（ ）
()f x =R a A. B.
C.
D.
{2}[]1,2(2,)+∞[2,)+∞【答案】A 【解析】
【分析】先验证时的情况，再当时，利用二次函数的性质列不等式求解. 1a =1a ≠【详解】当时，
；
1a =()f x =R 当时，若函数的定义域为
，
1a ≠()f x =
R 则，解得 ()()2
10Δ410a a a ->⎧⎪⎨=---≤⎪⎩
2a =故选：A. 6. 函数的图象大致为（ ）
0.5log ||
()2
2x
x
x f
x -=
+A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】判断函数的奇偶性可排除C 、D ，，，排除A ，即可得出答案.
()0,1x ∈()0.5log 022
x
x
x f x -=>+【详解】因为的定义域为，
0.5log ||
()22x x
x f x -=
+}{
0x x ≠则，所以为偶函数，
()0.5log ()22
x
x
x f x f x ---=
=+()f x 所以排除C 、D ；
当时，，
()0,1x ∈0.5log 0,22
0x
x
x ->+>所以，排除A .
()0.5log 022x x
x f x -=>+故选：B .
7. 设，则的最小值为（ ） ||1a <1211a a
+-+
A.
B.
C. 1
D. 2
32
+3
2
【答案】A 【解析】
【分析】先得到，再变形，展开，利用10,10a a ->+>()121121111211a a a a a a ⎛⎫+=+-++ ⎪-+-+⎝⎭
基本不等式求最值即可.
【详解】，则，
||1a < 10,10a a ->+>()()21121121111311211211a a a a a a a a a a ⎡⎤-+⎛⎫∴+=+-++=++⎢⎥ ⎪-+-+-+⎝⎭⎣⎦
，
(13
213322⎛ ≥+=+= +⎝当且仅当
，即时，等号成立. ()21111a a
a a
-+=
-+3a =-故选：A.
8. 已知函数满足，若与的图像有交点，
()()f x x ∈R ()()2f x f x +-=1y x =+()y f x =()
11,x y ，，则（ ）
()2
2
,x y ()3
3
,x y 12
3123x x
x y y y +++++=A. B. 0
C. 3
D. 6
3-【答案】C 【解析】
【分析】两个函数图像都关于点对称，则图像交点也关于点对称，可求值. ()0,1()0,1【详解】由可得，
()()2f x f x +-=()()2f x f x -=-函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，()f x ()()
,x f x ()0,1()(),2x f x --()()
,x f x --
函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关于1y x =+y x =1y x =+点对称，
()0,1若与的图像有交点，，，不妨设， 1y x =+()y f x =()11,x y ()
22,x y ()33,x y 123x x x <<由对称性可得
，，，， 1302x x +=20x =13
12
y y +=21y =所以. 1231233x x x y y y +++++=故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知为全集，集合M ，，若，则（ ） I N I ⊆M N ⊆A. B.
C.
D.
M N N ⋃=M N N ⋂=I I M N ⊆ðð()
I N M ⋂=∅ð【答案】AD 【解析】
【分析】直接根据集合间的关系逐一判断即可.
【详解】因为，则，，则A 正确，B 错误； M N ⊆M N N ⋃=M N M ⋂=又为全集，集合M ，，则，，C 错误，D 正确； I N I ⊆I I M N ⊇ðð()
I N M =∅ ð故选：AD.
10. 下列命题是真命题的是（ ） A. 已知且， B. 若，则 0x >1x ≠1
ln 2ln x x
+
≥a b c >>a c b c ->-
C. 若，则
D.
0a b >>55a b >1<【答案】BCD 【解析】
【分析】根据对数函数的性质，结合不等式的性质、假设法进行逐一判断即可. 【详解】对A ：当时，，显然不成立，故本选项不是真命题； (0,1)x ∈ln 0x <1
ln 2ln x x
+
≥对B ：根据不等式的性质，由，即，所以本选项是真命题； ()()a b a c b c >⇒+->+-a c b c ->-对C ：根据不等式的性质，由，所以本选项是真命题； 0a b >>⇒55a b >
对D ：
，所以本选项是真命题.
)(
)
22
162
30+-=-=-<1<
11. 现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80℃，65℃，给出两个茶温T （单位：℃）关于茶泡好后置于室内时间t （单位：分钟，
）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的t ∈N 380204t T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭260203t
T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭
是（ ）（参考数据：，） lg 20.30≈lg 30.48≈A. 选择函数模型① B. 选择函数模型②
C. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2分钟
D. 该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟 【答案】AD 【解析】
【分析】将分别代入与，从而可判断AB ；解不等式
2x =380204t T ⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭260203t
T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭可得判断CD.
38020604t
T ⎛⎫
=⋅+≤ ⎪⎝⎭
【详解】将代入，得；
2x =380204t
T ⎛⎫
=⋅+ ⎪⎝⎭65T =将代入，得. 2x =260203t
T ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭
1403T =故选择函数模型①.
由，可得， 38020604t
T ⎛⎫=⋅+≤ ⎪⎝⎭1
lg
lg 22 2.532lg 2lg 3lg 4
t ≥
=≈-故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分. 故选:AD.
12. 函数满足，，，则（ ）
()f x ()()2
111f x f x x -++=+()()224f x f x x +=-+x ∈R A. B.
()932
f =
()()246f f +=C. 为偶函数 D. 当时，
()22y f x x =+-0x ≥()()48f x f x +-≥【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断AB 选项；将已知等式变形为，利用函数奇偶()()2222f x x f x x +-=-+性的定义可判断C 选项；由已知等式推导得出的表达式，可判断D 选项的正误. ()()4f x f x +-【详解】对于A 选项，在等式中，令可得，则， ()()2
111f x f x x -++=+0x =()211f =()112
f =
在等式中，令可得，A 对； ()()224f x f x x +=-+1x =()()9
3142
f f =+=
对于B 选项，在等式中令可得， ()()2
111f x f x x -++=+1x =()()022f f +=在等式中，令可得， ()()224f x f x x +=-+2x =()()408f f =+所以，，因此，，B 错；
()()4822f f -+=()()4210f f +=对于C 选项，因为可得， ()()224f x f x x +=-+()()2222f x x f x x +-=-+令，则，所以，， ()()22g x f x x =+-()()22g x f x x -=-+()()g x g x -=所以，函数为偶函数，C 对；
()22y f x x =+-对于D 选项，由可得，
()()2
111f x f x x -++=+()()()2
221122f x f x x x x ++-=++=++由可得， ()()224f x f x x +=-+()()()()44248f x f x x f x x +=-++=-++所以，，
()()()2
2
4222486102f x x x f x x x x f x +=++-+++=++-+所以，，①
()()2
42610f x f x x x +++=++所以，，②
()()()()2
222621022f x f x x x x x ++=-+-+=++①②可得，故当时，，D 对. -()()448f x f x x +-=+0x ≥()()4488f x f x x +-=+≥故选：ACD.
第II 卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. 函数的定义域为______．
0()f x x =
【答案】 ()(],00,4-∞ 【解析】
【分析】直接根据被开方数不小于零，0的0次无意义列不等式求解.
【详解】由已知得，解得且，
40
x -≥⎧⎨
4x ≤0x ≠
即函数的定义域为
0()f x x =
()(],00,4-∞ 故答案为：.
()(],00,4-∞ 14. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象必经过定点()y f x =(2,8)()1()(0,1)f x g x a a a +=>≠______． 【答案】 ()1,1-【解析】
【分析】先设出，代入点可得，则可得到，令即
()y f x x α==(2,8)3()f x x =3
1
()x g x a +=310x +=可得定点.
【详解】设，则由已知，得，
()y f x x α==(2)28f α==3α=，
3()f x x ∴=，
3
1
()x
g x a +∴=令，得， 310x +==1x -则
01(1)g a -==所以函数的图象必经过定点. ()1()(0,1)f x g x a a a +=>≠()1,1-故答案为：.
()1,1-15. 已知函数，则的零点个数为______． ()32022||x f x x =-()f x 【答案】 3【解析】
【分析】零点转化为两个函数交点的问题，利用两个函数的单调性的性质进行求解即可.
【详解】令，的零点个数问题转化为函数与
()32022||32022x x
f x x x =-⇒=()f x 3x y =函数的图象交点问题，
2022,0
20222022,0
x x y x x x ≥⎧==⎨
-<⎩当时，函数单调递增，且，
0x <3x y =031x <<函数单调递减，且，所以此时两个函数有一个交点， 2022y x =-20220y x =->当时，函数单调递增，且，
0x ≥3x y =31x ≥
函数单调递减，且，
2022y x =20220y x =≥当，则；当，则； 0x =031202200=>⨯=1x =133202212022=<⨯=所以，在上、有一个交点，
(0,1)2022y x =3x y =而随的增大，由指数函数增长的远快于正比例函数，在上、有一个交点， x (1,)+∞2022y x =3x y =所以当时，两个函数的图象有两个交点， 0x ≥综上所述：函数与函数的图象有3个交点，
3x y =2022,0
20222022,0x x y x x x ≥⎧==⎨
-<⎩
所以函数，则的零点个数为， ()32022||x f x x =-()f x 3故答案为：
316. 设函数则满足的的取值范围是______．
()ln ,1,
0,1,
x x f x x ≥⎧=⎨<⎩(1)(3)f x f x -<x 【答案】 1,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】根据函数的单调性列式，求解即可.
31
31
x x x >⎧⎨
>-⎩【详解】由对数函数单调性可得，则有，故所求的取值范围为(1)(3)f x f x -<311
31
3x x x x >⎧⇒>⎨
>-⎩x . 1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
故答案为：.
1
,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）已知，求的值；
2log 31a =4
42358log 93a a ⨯++
（2）已知，求的值． 22x x -+=1616x x -+【答案】（1）；（2） 1000434【解析】
【分析】（1）直接利用指数幂和对数的运算性质计算即可；
【详解】（1）由得
2log 31a =，
，
2
222log 9log 32log 32a a a ===321log 2log 3
32
33
a ===；
4
1
43
3
4
4258log 93221041000458a a ⎛∴⎫=++=+= ⎪⎭
⨯++⨯⎝
（2）由，两边平方得， 22x x -+=4482x x -++=即，再两边平方得，
446x x -+=6121636x x -++=
416163x x -+=∴18. 请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中．若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．已知全集，集合是不m m U =R A 等式的解集，集合是函数在上的值域． 12317x x <+<B 22y x x m =-++[]0,4（1）求集合；
A （2）若是成立的______条件，判断实数是否存在． x A ∈x
B ∈m 【答案】（1）
{}
03A x x =<<（2）选①，；选②，实数不存在. 28m ≤≤m 【解析】
【分析】（1）令，分析函数的单调性，将不等式变形为
()23x
f x x =+()f x 12317x x <+<，结合函数的单调性可求得集合；
()()()03f f x f <<()f x A （2）求出集合，选①，可得出 ，可得出关于实数的不等式，解之即可；选②，可得出 ，B A B m A B 根据集合的包含关系可得出结论. 【小问1详解】
解：令，其中，
()23x
f x x =+x ∈R 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数，
2x y =3y x =R ()f x R 又因为，，由可得，
()01f =()3
2
32317f =+=12317x x <+<()()()03f f x f <<可得，所以，. 03x <<{}
03A x x =<<【小问2详解】
[]2
[]
若选①，若是成立的充分不必要条件，则 ，则，解得；
x A ∈x B ∈A B 80
13m m -≤⎧⎨+≥⎩
28m ≤≤若选②，若是成立的必要不充分条件，则 ，则，解得.
x A ∈x B ∈
A B 80
13m m ->⎧⎨
+<⎩
m ∈∅19. 如图，在直角三角形 中，，动点P 从点A 出发，以 的速度沿 向ABC 8cm AB AC ==1cm/s AB B 点移动，动点Q 从点C 出发，以 的速度沿 向A 点移动．若 同时出发，设运动时间2cm /s CA ,P Q 为（）， 的面积为．
s t 04t <<APQ △2cm S
（1）求S 与之间的函数关系式； t （2）求S 的最大值；
（3）当为多少时，为等腰直角三角形，并求出此时S 的值． t APQ △【答案】（1）；
24,(04)S t t t =-+<<（2）4；
2cm （3），. 8
s 32
32cm 9
S =【解析】
【分析】（1）由题意表示出，根据三角形面积公式 cm,2 cm,(82)cm AP t CQ t AQ AC CQ t ===-=-即可得答案.
（2）利用二次函数性质求得答案即可.
（3）由为等腰直角三角形，得,即得方程，即可求得答案. APQ △AP AQ =82t t =-【小问1详解】
设同时出发后经过 ，的面积为， ,P Q s t APQ △2cm S 则， cm,2 cm,(82)cm AP t CQ t AQ AC CQ t ===-=-所以. 211
(82)4,(04)22
S AP AQ t t t t t =
⋅=-=-+<<【小问2详解】
由（1）知， 224(2)4,(04)S t t t t =-+=--+<<当时，取得最大值4. 2t =S 【小问3详解】
若为等腰直角三角形，则, APQ △AP AQ =即，此时. 882,(s)3t t t =-=
28832(4339
S =-+⨯=20. 已知函数
． ()
215
()log 2f x x mx =-+（1）若在内单调递增，求的取值范围； ()f x (,1]-∞m （2）若任意，都有，求的取值范围．
1
,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
()0f x <m 【答案】（1）
23m ≤<（2） 2m <【解析】
【分析】（1）根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，据此22y x mx =-+(,1]-∞列不等式组求解即可；
（2）将问题转化为对任意都成立，参变分离得，利用基本不等式
221x mx -+>1
,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1
m x x <+求出的最小值即可. 1
x x
+
【小问1详解】
若在内单调递增，
()f x (,1]-∞则根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，
22y x mx =-+(,1]-∞即， 12120
m m ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩解得 23m ≤<【小问2详解】
，即对任意都成立
()215()log 20f x x mx =-+<221x mx -+>1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
即对任意都成立， 1m x x <+
1,22x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
即 min
1m x x ⎡
⎤<+⎢⎥⎣⎦又，当且仅当时等号成立，
12x x +
≥=1x =
2m <∴21. 已知函数．
()4
41f x x x =-+（1）判断在上的单调性，并用定义证明； ()f x ()1,+∞（2）求零点的个数．
()f x 【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析
()f x ()1,+∞（2） 4【解析】
【分析】（1）判断出在上为增函数，任取、且，作差
()f x ()1,+∞1x ()21,x ∈+∞12x x >，因式分解，并判断的符号，即可证得结论成立；
()()12f x f x -()()12f x f x -（2）分析函数在上的单调性，并分析函数的奇偶性，结合零点存在定理可得出结论. ()f x ()0,1()f x 【小问1详解】
解：当时，，函数在上为增函数，证明如下：
1x >()4
41f x x x =-+()f x ()1,+∞任取、且，则，，， 1x ()21,x ∈+∞12x x >120x x ->122x x +>22
122x x +>
()()()()()()4444
121122121241414f x f x x x x x x x x x -=-+--+=---， ()()()()()()()2222
1212121212121
2440x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-++--=-++->⎣⎦，所以，函数在上为增函数.
()()12f x f x ∴>()f x ()1,+∞【小问2详解】
解：当时，，
01x <<()4
41f x x x =-+任取、且，则，，，
1x ()20,1x ∈12x x >120x x ->1202x x <+<22
1202x x <+<则，，
()()()()()
2
2
1212121240f x f x x x x x x x ⎡⎤-=-++-<⎣⎦()()12f x f x ∴<
所以，函数在上为增函数，
()f x ()0,1对任意的，， x ∈R ()()()4
44141f x x x x x f x -=---+=-+=所以，函数为上的偶函数，
()f x R 故当时，，，， ()0,x ∈+∞()()min 120f x f ==-<()010f =>()290f =>由零点存在定理可知，函数在、上各有一个零点， ()f x ()0,1()1,2由于函数为偶函数，故函数的零点个数为.
()f x ()f x 422. 已知函数（其中，均为常数，且）的图象经过点与点 ()log a f x x b =+a b 0a >1a ≠(2,5)(8,7)（1）求，的值； a b （2）求不等式的解集；
(
)42
5-<x x
f （3）设函数，若对任意的，存在，使得2()x x
g x b a +=-1[1,4]x ∈[]220,log 5x ∈()()12f x g x m
=+成立，求实数的取值范围．
m 【答案】（1）；（2）；（3）. 2,4a b ==()0,1[]1,8【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入函数解析式进行求解可得.
,a b （2）根据（1）的条件解出的解，即，然后令进行求解即可. ()5f x <02x <<2042x x <-<（3）记函数的值域为，函数的值域为，则，列出不等式组，从而得到实数的()f x A ()h x B A B ⊆m 取值范围.
【详解】（1）由已知得，
log 25log 87a a
b b +=⎧⎨+=⎩消去得，即，又，， b log 8log 2log 42a a a -==24a =0a >1a ≠解得.
2,4a b ==（2）由（1）可知：，则 2()log 4f x x =+2()log 4502f x x x =+<⇒<<又，所以，
(
)42
5-<x x
f 204
2x
x <-<即 ()()
4200122210
422x x x x x x
x x >⎧⎧->⎪⇒⇒<<⎨⎨-+<-<⎩⎪⎩
所以不等式的解集为
(
)42
5-<x x
f ()0,1（3）由（1）知函数的解析式为.
.
()f x ()2log 4f x x =+()242x x g x +=-当时，函数单调递增，其值域为；
[]1,4x ∈()2log 4f x x =+[]4,6A =令，当时，，
2x t =[]20,log 5x ∈[]1,5t ∈于是 .
()()2
2242424x x g x t t t +=-=-=--[]4,5∈-设函数，则函数的值域为，
()()h
x g x m =+()h x []4,5B m m =-++根据条件知，于是，解得.
A B ⊆56
44m m +≥⎧⎨
-+≤⎩
18m ≤≤所以实数的取值范围为. m []1,8【点睛】思路点睛：
本题第（1）问主要代点计算；第（2）问可以使用整体法进行计算；第（3）问在于理解值域之间的关系.。