河南省南阳市卧龙区2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题(解析版)

八年级第二学期学习评价
数学（1）
一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分）
1. 下列式子是分式的是（ ）A.
B.
C. D.
【答案】B 【解析】
【分析】本题主要考查了分式的识别，对于两个整式A 、B ，且B 中含有字母，，那么形如的式子就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中，只有B 选项中的式子是分式，故选：B ．
2. 化简的结果是（ ）A. 2 B. C.
D. 【答案】C 【解析】
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行化简即可．【详解】解：，故选：C ．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（，为正整数）．3. 下列分式中，最简分式是（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
【分析】利用最简分式定义进行分析即可；
【详解】解：、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；
32
a
1
x x +x y
+x
π
0B ≠A
B
12-2-12
12
-
1122
-=n -n n 1
n
n
a
a -=
0a ≠n 211
a a +-2
46a bc 22a a
-2a b a ab
++A ()1+a
B 、该分式的分子、分母中含有公因数，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C 、该分式最简分式，故此选项符合题意；
D 、该分式的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故此选项不符合题意；故选：C ．
【点睛】本题考查了最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式，解题关键掌握最简分式的定义．
4. 把下列分式中x ，y 的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】根据分式的基本性质，x ，y 的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
【详解】解：A 、，分式的值保持不变，符合题意；
B 、
，分式的值改变，不符合题意；
C 、，分式的值改变，不符合题意；
D 、
，分式的值改变，不符合题意；故选：A ．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5. 春节游河南，探寻千年古韵，品味地道年味！有游客人，到龙门石窟游玩，需要住宿，如每个人住一间房，结果还有一个人无房住，则客房的间数是（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据有一个人无房住可得住进房间的人数为人，再除以即可求出
是2()a b +y x y
-1x y
-x y xy
-2
x y y -()55555y y y
x y x y x y
==---()1111
5555x y x y x y
==⨯---()55515·5255x y x y x y
x y xy xy
---==⨯()
()2
2
255512555x y x y
x y
y y
y ---=
=⨯m n 1
m n
-1m n
-1m n
+1m n
+()1m -n
客房的间数，读懂题意是解题的关键．【详解】解：由题意可得，客房间数为，故选：．6. 解分式方程
，去分母后得到的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】
【分析】本题主要考查了解分式方程，把方程两边同时乘以去分母即可得到答案．【详解】解：
方程两边同时乘以去分母得，故选：B ．
7. 若，，则的值是（ ）A. 2 B. ﹣2
C. 4
D. ﹣4
【答案】D 【解析】
【分析】根据完全平方公式的变形求出的值，再计算异分母分式相加即可．
【详解】∵，
∴，
∴，故选D ．
【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及完全平方根公式，异分母分式相加，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．
8. 如图，若，则表示的值的点落在（ ）
的1
m n
-A 12113x x x
+-=()1321x x -+=()13213x x
-+=()13211
x -+=1633x x x
-+=3x 12113x x x
+-=3x ()13213x x -+=2x y +=2xy =-y x
x y
+2
2x y +()2
222x y x xy y +=++()()222222228x y x y xy +=+-=-⨯-=228
42
y x y x x y xy ++=
==--2a b =222
a a
b a b --
A. 第①段
B. 第②段
C. 第③段
D. 第④段
【答案】C 【解析】
【分析】把代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．【详解】解：∵，
∴，∵，
∴表示的值的点落在段③，故选：C ．
【点睛】本题考查了分式的值，知晓把整体代入是解此题的关键．9. 已知关于m 的不等式组，且m 为整数，则关于x 的分式方程
的解是（ ）A. B. C. D. 不能确定
【答案】C 【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，解分式方程，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解，即m 的值，然后解分式方程即可得到答案．【详解】解：解不等式①得，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∵m 为整数，
2a b =2a b =222a ab a b --22222
24222433
b b b b b b -===-2013
＜＜222
a a
b a b
--2a b =12020m m -<⎧⎨-<⎩
1
2+=-x x m 5x =1
x =3
x =12020m m -<⎧⎨
-<⎩①
②
12
m >
2m <1
22
m <<
∴原分式方程为
，去分母得：，去括号得：，解得，
经检验，是原方程的解，故选：C
10. 漳州市教育局为帮助全市贫困师生举行“一日捐”活动，甲、乙两校教师各捐款60000元，已知
“…”，设乙学校教师有x 人，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补（ ）
A. 乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
B. 甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且乙校教师人数比甲校教师的人数多20%
C. 甲校教师比乙校教师人均多捐20元，且甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%
D. 乙校教师比甲校教师人均多捐20元，且乙校教师人数比甲校教师的人数多20%【答案】A 【解析】
【分析】根据乙学校教师有x 人推出的含义，再推出的含义，即可得解．
【详解】设乙学校教师有x 人，则表示：甲校教师的人数比乙校教师的人数多20%，
表示乙校教师比甲校教师人均多捐20元，因此可得出：已知“甲校教师比乙校教师人数多，且乙校教师比甲校老师人均多捐20元”；故选A ．
【点睛】本题考查分式方程的应用．准确理解方程中的等量关系，是解题的关键．
二．填空题．（每小题3分，共15分）
11. 若分式的值为0，则=______．【答案】1
的的1
21
x x +=-()121x x +=-122x x +=-3x =3x =6000060000
20(120)x x
-=+%(120)x +%
6000060000
20(120)x x
-=+%(120)x +％6000060000
20(120)x x
-=+%20%1
1
x x -+x
【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【详解】解：∵
，∴，∴．故答案为：1
【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件．
12. 某种花粉颗粒的直径约为，将用科学记数法可以表示为________．【答案】【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正数，当原数绝对值小于1时n 是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：，故答案为：．13. 若关于x 的方程无解，则m ＝_____．【答案】1或2【解析】
【分析】去分母得（m -2）x +1=0，根据方程无解分情况讨论，求解即可．【详解】解：去分母，得mx +1﹣2x ＝0，化简得（m ﹣2）x +1＝0，当=0时，x ＝0或x ＝1当方程有增根为x ＝0时，m 不存在；当方程有增根x ＝1时，得m ﹣2+1＝0，即当方程有增根时m ＝1；
当m ﹣2＝0时，原方程无解，此时m ＝2，综上所述：m ＝1或2，故答案为：1或2．
1
01
x x -=+10x -=10x +≠1x =0.000031m 0.00003153.110-⨯10n a ⨯110a ≤<50.000031 3.110-=⨯53.110-⨯212
01
mx x x x +-=--2x x -
【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．14. 已知
，则________．
【答案】【解析】
【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，先把已知式子右边通分得到，进
而得到，据此求出A 、B 的值即可得到答案．【详解】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴，∴，∴，故答案为：4．
15. 已知关于分式方程的解满足，则的取值范围是______．
【答案】且【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，解不等式组，先求出分式方程的解，根据，得到关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，又由最简公分母的值不等于，可得不符合条件的取值，最后综合即可得到最终的取值范围，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：由分式方程
得，，∵分式方程
的解满足，的()
()
2
2
3
222x A
B
x x x +=
+
---A B -=
4()
()
2
2
3
222x Bx A B
x x ++-=
--231A B B -==，()
()
2
2
3
222x A
B x x x +=
+
---()
()
()
()
2
2
2
23
222B x x A
x x x -+=
+
---()
()
2
2
3
222x Bx A B
x x ++-=
--231A B B -==，51A B ==，514A B -=-=x ()()
232223x k
x x x +=+--+41x -<<-k 714k -<<0k ≠41x -<<-k k 0k k ()()232223x k
x x x +=+--+217
x k =-()()
232223x k x x x +=+--+41x -<<-
∴，即，
解得，又∵，∴且，即
且，解得且，
∴的取值范围为且，故答案为：且．
三．解答题．（本大题8小题，共75分）
16. 计算：（1）；（2）解方程：
．【答案】（1）；（2）【解析】
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，解分式方程：（1）先把除法变成乘法，然后约分即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】解：（1）；（2）
21
47
1k --<
<-21
47
2117
k k -⎧>-⎪⎪⎨-⎪<-⎪⎩714k -<<()()230x x -+≠20x -≠30x +≠21207k --≠21
307
k -+≠35k ≠0k ≠k 714k -<<0k ≠714k -<<0k ≠32
2
243x z xz y y ÷-32222x x x x
-=---232x y
z
-1
x =32
2
243x z xz y y ÷-32
2
234x z y y xz -=⋅
232x y
z
=-32222x x
x x
-=---
去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得；，经检验，是原方程的解，∴原方程的解为．17. 先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，先把除数的式子通分，然后把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值计算即可．【详解】解：，∵，∴原式．18. 已知x ＝﹣4时，分式无意义，x ＝2时，此分式的值为零，求分式的值．
【答案】5【解析】
【分析】由分式无意义，可求出a 的值，由分式的值为0，可求出b 的值．把a 、b 的值代入分式中求值即可．
【详解】解：∵分式无意义，∴2x +a ＝0即当x ＝﹣4时，2x +a ＝0．解得a ＝8
()3222x x x -=---3224x x x -=--+2243x x x -++=-1x =1x =1x =11a a a a +⎛⎫⎛⎫÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭020241a =+1
1
a -111a a a a +⎛⎫⎛⎫÷-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭211
a a a a
+-=÷()()
111a a a a a +=
⋅
+-11
a =
-020241112a =+=+=1
121
=
=-2x b x a -+3a b
a b
+-
∵分式的值为0，
∴x ﹣b ＝0，即当x ＝2时，x ﹣b ＝0．解得b ＝2∴
．
【点睛】本题考查分式意义的条件,关键在于通过分式无意义算出a 、b 的值.
19. 已知x 为整数，且++化简结果为整数，求出所有符合条件的x 值．
【答案】x 值的为1或2或4或5【解析】
【分析】将原式化简成，由x 为整数且化简结果为整数可得出x −3＝±2或±1，解之即可得出结论．【详解】解：
==
∵x 为整数且也是整数，
∴x-3=±2或±1，则x =1或2或4或5．
所以所有符合条件的x 值的为1或2或4或5．【点睛】本题考查了分式的化简，将原式化简成
是解题的关键．20. 有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为，乙筐水果的质量为（其中
）
．售完后，两筐水果都卖了150元．（1）哪筐水果卖的单价高？（2）高的单价是低的单价的多少倍？【答案】（1）甲水果的单价卖得高； （2）高的单价是低的单价的倍．【解析】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
82
53832
a b a b ++==--⨯23
x +23x -2218
9x x +-2
3x -222218339
x x x x ++++--222
2626218999x x x x x x ---+=++---2
269x x +-23
x -2
3
x -2
3
x -()2
1kg m -()
2
1kg m -1m >1
1
m m +-
（1）用甲框的单间减去乙框的单间，再进行整理即可得出答案；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【小问1详解】根据题意得：，所以甲水果的单价卖得高；【小问2详解】
根据题意得：
，答：高的单价是低的单价的倍．21. 当时，定义一种新运算：，例如：，．（1）直接写出_______________；
（2）若，求出m 的值．
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题目所给条件代值进去计算即可求出，
（2）根据m 与2的大小关系进行分类讨论求解分式方程即可求出m 的值．
【详解】解：（1）因为，所以；（2）时，，解得，不合题意，舍去．时，
，2222150150150(1)150(1)1500(1)1(1)(1)(1)(1)
m m m m m m m m +---==>---+-+()()222111501501501(1)1(1)1501
m m m m m m m +-+÷==---- 11
m m +-a b ¹2,(,)2,a b a b F a b b a b b a
⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩2(3,1)131F ==-248(1,4)4(1)5
F ⨯-==--(1,)F a a +=(),22,1()F m F m -=0m =1a a +>2(1,)21F a a a a
+=
=+-m>222,22,12()(2)m F m F m m m -=
-=--423
m =<2m <()(222,22,22)1F m F m m m
⨯-=-=--
解得．
综上，．
【点睛】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m 的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m 的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．
22. 甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．（1）求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？
（2）假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
【答案】（1）每千克4元；（2）每千克的售价至少为8元
【解析】
【分析】（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x 元，根据题意列出方程即可求出答案；（2）设每千克的售价为y 元，根据题意列出不等式即可求出答案．
【详解】解：（1）设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x 元，根据题意可知：＝﹣25，x ＝4，
经检验，x ＝4是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；
（2）设每千克的售价为y 元，
第一销售了＝150千克，第二次销售了125千克，根据题意可知：150（y ﹣4）+125（y ﹣4.8）≥1000，
解得：y≥8，
答：每千克的售价至少为8元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．23. 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”．
如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为．
0m =0m =6000.2x x +600x 6004
A B A B A B 21x A x =+21B x -=+22222(1)21111
x x x A B x x x x -++-=-===++++A B A B 2
（1）已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”；
（2）已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值；
（3）已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．
【答案】（1）不是，理由见解析
（2）
（3），【解析】
【分析】（1）根据新定义进行判断；
（2）根据新定义，列出方程求解；
（3）根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
【小问1详解】
解：C 不是的“和雅式”；
理由：，
不是的“和雅式”
；【小问2详解】
由题意得：，
，，
，
解得：，，
；
12C x =+225644
x x D x x ++=++C D C D M =()(1)x b x x --N =()x x a x
-M N M N 1a b +29E P x =-3x Q x
=-P Q P Q 1x P E x 239E x =+12
D C D -= 12
x +-2(2)(3)(2)x x x +++=
1(3)
2
x x -++=22x x --+10=-<C ∴D 1M N -=∴()(1)x b x x ---()x x a x
-1=()2a b x b ∴-+=20a b b ∴-+==2a =0b =2a b ∴+=
【小问3详解】
由题意得：，
，，
为整数，为整数，的值为：或，的值为：，，，，，
所以所有符合条件的的值之和为．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．1P Q -=∴(3)(3)E x x +--3x x
-1=39E x ∴=+ 29E P x =-=33x
-x 3x ∴-1±3±x ∴024*******∴+++=x 12。