空间向量的坐标与空间直角坐标系课件高二上学期数学人教B版选择性

题型3 空间向量的平行与垂直 【思考探究】
1．空间向量的平行与垂直与平面向量的平行与垂直有什么关系？ [提示] (1)类比平面向量平行、垂直：空间两个向量平行、垂直与 平面两个向量平行、垂直的表达式不一样，但实质是一致的． (2)转化：判定空间两直线平行或垂直只需判断两直线对应的方向向 量是否平行或垂直．
2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x， y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x 叫做点M的____横__坐_标_____，y叫做点M的____纵_坐__标_____，z叫做点M的 ___竖__坐__标_____．
基础自测 1.已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为 () A．3 B．4 C．5 D．6
答案：C
解析：∵a·b＝－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5.
2．已知向量a＝(3，－2，1)，b＝(－2，4，0)，则4a＋2b等于( ) A. (16，0，4) B．(8，－16，4) C．(8，16，4) D．(8，0，4)
(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
状元随笔 根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写 出相关点及向量的坐标，套用数量积、夹角、模长公式即可．
方法归纳
通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点 落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点 的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利 用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．
2．空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法 或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．
跟踪训练2 若a＝(2，3，－1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，2，2)，则
a·(b＋c)的值为( )
A．(4，6，－5) B．5
C．7
D．36
答案：B
解析：b＋c＝(2，0，3)＋(0，2，2)＝(2，2，5)， a·(b＋c)＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.
新知初探·自主学习
教材要点
知识点一 空间中向量的坐标
(1)一般的，如果空间向量的基底{i，j，k}中，i，j，k都是单位向量
而且这三个单位向量互相垂直，就称这个基底叫做
___单_位__正__交__基_底_____．单位向量i，j，k都叫做_坐__标_向__量__．在单位正交基 底{i，j，k}下向量的分解称为向量的单位正交分解．
跟踪训练1 如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分 别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角 坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．
答案：D
状元随笔 空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一 样，应注意一些计算公式的应用．
方法归纳 1．用坐标表示空间向量的步骤
3．空间两点间的距离公式 (1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0，0，0)的距离|OP|＝___________． (2) 任 意 两 点 P1(x1 ， y1 ， z1) ， P2(x2 ， y2 ， z2) 间 的 距 离 |P1P2| ＝ ______________________________．
答案：D
解析：4a＋2b＝4(3，－2，1)＋2(－2，4，0)＝(12，－8，4)＋(－4，8，0)＝(8， 0，4)．
答案：－7或13
答案：60°
课堂探究·素养提升
题型1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 例1 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以 直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列 说法不正确的是( ) A. 点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)
画法
在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝___1_3_5_°__，∠yOz＝ 90°
图示
本书建立的坐标系都是___右__手___直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让 说明 右手拇指指向____x____轴的正方向，食指指向____y____轴的正方向，中指
指向____z____轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系
(2)空间向量的坐标 已知任一向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一实数组(a1，a2，
a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上
的分向量，有序实数组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的 ___坐_标____．上式可简记作a＝_(a_1_，_a_2_，__a3_)_．
1．1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系
[课标解读] 1.在平面直角坐标系的基础上了解空间直角坐标系，感 受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位 置.2.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并 得出空间两点间距离公式．
新知初探·自主学习
课堂探究·素养提升
知识点二 空间向量的坐标运算 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量运算 加法 减法 数乘
数量积
向量表示 a＋b a－b λa a·b
坐标表示
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3
以空间中两两___垂_直____且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，
定义
这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标__原__点____，x轴、 y轴、z轴叫做_坐__标__轴___．通过每两个坐标轴的平面叫做_坐__标__平__面__，分别
称为xOy平面、yOz平面、___x_O_z___平面
方法归纳
空间中点P坐标的确定方法 1．由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴，y轴、z 轴于点Px、Py、Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z， 那么点P的坐标就是(x，y，z)． 2．若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐 标平面上，则要充分利用这一性质解题．
答案：B
解析：根据题意知：点B1的坐标为(4，5，3)，A正确；B的坐标为(4，5，0)， C1坐标为(0，5，3)，故点C1关于点B对称的点为(8，5，－3)，B错误；点A关于直 线BD1对称的点为C1(0，5，3)，C正确；点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点 为(8，5，0)，D正确．
跟踪训练4 如图所示，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1中，CA ＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点．求BN的长．
状元随笔 建立适当的坐标系能给解题带来方便．
易错点 本节课的易错点是点的坐标(a1，a2，a3)的确定是否正确， 要格外仔细，它是坐标运算的基础．
例3 已知a＝(1，－2，4)，b＝(2，1，－3)，c＝(2，x，y)． (1)若a∥c，求x，y的值；
(2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标， 如果不存在，说明理由．
状元随笔 利用空间向量平行、垂直的充要条件求解．
方法归纳
解决空间向量垂直、平行问题的思路 1．若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标，例如，设向量a ＝(x，y，z)． 2．在有关平行的问题中，通常需要引入参数，例如，已知a∥b，则 引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解． 3．选择向量的坐标形式，可以达到简化运算的目的．
知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
名称
向量表示形式
满足条件 坐标表示形式
a∥b
a＝λb(λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3(λ∈R)
a⊥b
wk.baidu.com
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝________
夹角
知识点四 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系