中考数学专题：二次函数综合题含解析

拓展题型二次函数综合题

1.如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B 的坐标为(10, 8),沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E 处，E点坐标为(6, 8),抛物线y=ax2 + bx+c经过O, A, E三点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)求AD 的长；

(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当^ PAD的周长最小时，

求点P 的坐标．

第1 题图

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

31，，一、一，............ . 一

y=x2 + 4与y轴相父于点A,点B与点O关于点A对称.

(1)填空，点B的坐标是;

⑵过点B的直线y=kx+ b(其中k< 0)与x轴相交于点C,过点C 作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC.求线段PB的长(用含k 的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标.

第2题图

3.如图，抛物线y= — x2 + bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF = 2, EF = 3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接CB交EF于点M,再连接AM交OC于点R,连接AC, 求4ACR 的周长；

(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作

PHLEF于点H,连接AP, GH,问AP+PH + HG是否有最小值?

如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．

第3 题图备用图

【答案】

1.解：⑴.•.四边形OABC 是矩形,B(10, 8),

A(10, 0). .................................... (1分)

又..抛物线 y=ax 2

+ bx+c 经过点 A(10, 0)、E(6, 8)和 O(0, 0),

102a 10b c 0 2

6 a 6b c 8 C

,解得 c 0

••・抛物线的解析式为y= —1x 2

+^x ； .............. (3分) ⑵由题意可知：AD=ED, BE=10 —6 = 4, AB = 8, ...... (4 分)

设 AD 为 x,则 ED = x, BD = AB-AD = 8-x,

在 Rt^BDE 中，ED 2=EB 2+BD 2, 即 x 2=42+(8 —x)2

, ...... (5 分)

解得x= 5, 即 AD=5; ............................. (6 分)

⑶由(2)可知，D 点的坐标是(10, 5), ・•.△PAD 的周长 l = PA+PD + AD=PA+PD + 5, ................................. (7 分)

•••抛物线的对称轴是线段 OA 的垂直平分线，点P 是抛物线对称

轴上的一动点,

・•. PO= PA,

l= PA+ PD + 5= PO+ PD + 5,

・・・当PO+PD 最小时，△ PAD 的周长l 最小，

即当点P 移动到直线OD 与抛物线对称轴的交点处时 PO+PD

最小， ............................................... （8分）

1

3 10 飞,

设直线OD的解析式为y=kx,

将D点坐标（10, 5）代入得：

1

5= 10k,解得k=2

1

・・・直线OD的解析式为y=，x, .................... （9分）

, 5

当x=5 时，y= 1

5

••.P点的坐标是（5,9. ......................... （10分）

5 1 八

2.解：（1）（0, 2）; .......................... （2 分）

1' 1

【解法提木】由y=x2 + 1得：A（0, 4）,

•・•点B、O关于点A对称,

1

…B（0, 2）.

1

（2）•.直线BC过点B（0,万），

，… …一… 1 …

・................................................. ・・直线BC解析式为y = kx+万， .............................. （3分）

1

・••C（永，0）,

又•••P是直线l上一点，

1

・•可设P（2k，a）-

如解图①，过点P作PN，y轴，垂足为N,连接PB,

第2题解图①

则在Rt^PNB中，由勾股定理得：PB2=PN2+NB2, PB=PC=a,

••a2=（云）2 + （a-2）2, ...................

1 1

解得 a= 4k2 4 ,

1 1

••PB= 4/ 4，

_ 1 1 1

• ................................................................................ ・ P 点坐为（2k，4k2 4 ）, ..............................

1 1 1 （5分）（6分）