含绝对值的三角函数题型归纳

含绝对值的三角函数题型归纳
1.sin .
y x =的图象2.cos cos y x y x ==与的图象.
3.tan y x =的图象.
4.sin y x y x ==与的图象.
5.tan y x y x ==与的图象.
题型一：含绝对值的三角函数判断与应用1．关于三角函数的图像，有下列说法：①sin ||y x =与sin y x =的图像相同；
②cos()y x =-与cos ||y x =的图像相同；
③|sin |y x =与sin()y x =-图像关于x 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-图像关于y 轴对称.
其中正确的是__________.（写出所有正确说法的序号）【答案】②④
【解析】对于②，()cos cos ,cos ||cos y x x y x x =-===，故其图像相同；
对于④，()cos
cos y x x =-=，故其图像关于y 轴对称；
由函数图像可知①③均不正确.故正确的说法是②④.故填②④2.图中的曲线对应的函数解析式是（
）
A．|sin |y x =B．sin ||y x =C．sin ||y x =-D．|sin |
y x =-【答案】C
【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|.3（多选）.给出下列四个命题，其中正确的命题有（）A.函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
对称B.函数sin y x =是最小正周期为π的周期函数
C.θ为第二象限的角，且cos tan θθ>，则sin cos θθ>.
D.函数2
cos sin y x x =+的最小值为1
-答案AD 解：对于A：函数tan y x =的图象关于点(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
对称，故A 正确；对于B：函数sin y x ==sin ,0
sin ,0
x x x x ≥⎧⎨-<⎩，图象关于y 轴对称，不是周期函数，故B 错
误；
对于C：由为第二象限的角,得tan sin θθ>,由cos tan θθ>,得sin cos θθ<,
故C 错误;
对于D：函数2
22
15cos sin sin sin 1sin ,24y x x x x x ⎛⎫=+=-++=--+ ⎪⎝
⎭当sin 1
x =-时，函数的最小值为-1，故D 正确．故选：AD．
3．函数sin sin y x x =-的值域是（）
A.0
B.[]1,1
- C.[]
0,1
D.[]
2,0
-【答案】D【解析】：00
y sinx sinx 20sinx sinx sinx >⎧=-=⎨
<⎩
，，，由此值域为[]
y 2,0∈-4．在()0,2π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是（
）
A.3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
B.53,,4242ππππ⎛⎫⎛⎫⋃
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D.57,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A，【解析】∵sin cos x x >，∴sin 0x >，∴()0,x π∈.在同一坐标系中画出sin y x =，()0,x π∈与cos y x =，()0,x π∈
的图像，如图.
观察图像易得使sin cos x x >成立的3,44
x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.故选A.5.已知函数()sin cos f x x x =，则（D ）
A.()f x 的值域为[]
1,1- B.()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎣⎦
上单调C.π为()f x 的周期
D.,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
为()f x 图象的对称中心6.（多选）.已知函数()[]sin cos f x x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大正数部分），则（AB
）
A.()f x 的最小正周期为2π
B.()f x 是偶函数
C.()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减 D.()f x 的值域为[]sin1,sin1-.
题型二：方程零点与函数交点问题1．（2022·全国课时练）方程cos x x =在(),-∞+∞内（）
A．没有根
B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根
D．有无穷多个根
【答案】C【解析】在同一坐标系中作出函数y x =及函数cos y x =的图象，如图所
示．
发现有2个交点，所以方程cos x x =有2个根．
2．方程3
sin ([2,2])x
x x ππ=∈-的实数解有_______________个.
【答案】2.【解析】在区间
[]2π,2π-上，分别画出3x y =和sin y x =的图像如下图所
示，由图可知，两个函数图像在区间
[]2π,2π-上有两个交点，也即
3sin ([2,2])x x x ππ=∈-的实数解有2个.故填：2.
3．函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内的零点个数为__________．
【答案】6.【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数lg y x =和cos y x =的图像如图，结合图像的对称性可以看出两函数lg y x =和cos y x =的图像应有六个交点，即函数()lg cos f x x x =-在(),-∞+∞内有六个零点，应填答案6。

一、单选题
1．若函数[]cos cos ,0,2y x x x =+∈π的大致图像是
A
．B
．
C
．D ．
2．设函数()sin f x x =，则()f x （）
A ．在区间27,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是单调递减的
B ．是周期为2π的周期函数
C ．在区间,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是单调递增的
D ．对称中心为(),0k π，k ∈Z
3．对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）
A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心
B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴
C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心
4．已知函数sin 4,0()2,04x x f x f x x π⎧≤⎪
=⎨⎛⎫
-> ⎪⎪⎝
⎭⎩，2()log g x x =，则()()0f x g x -=在[]2,2x Î-上根的个数为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．已知函数()()sin cos sin cos 0f x x x x x ωωωωω=++->，则下列结论错误的是（）
①1ω=时，函数()f x 图象关于π4
x =对称；②函数()f x 的最小值为-2；③若函数()f x 在π,04⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则(]03ω∈，
；④1x ，2x 为两个不相等的实数，若
()()124f x f x +=且12x x -的最小值为π，则2ω=.
A ．②③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
6．设()()()
()()22212341041,2,341,sin2953
f x x f x x x f x x x f x x π=
=-=-+=，,0,1,2,,9999n n
a n ==⋯⋯.记()()99
11
(1,2,3,4)k k i k i i M f a f a k -==-=∑.则下列结论正确的是
（）
143 I.M M M <<134 II.M M M <<413 III.M M M <<41 IV.1M M <<241
V.M M M <<A ．I B ．III,IV C ．III,V
D ．II
二、多选题
7．关于函数()tan f x x =，下列选项正确的是（
）
A ．()f x 的定义域为π
π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬
⎩⎭
B ．()f x 是奇函数
C ．()f x 的最小正周期是π
D ．3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫
-< ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
8．已知函数()|sin |cos |f x x x =，则下列说法中正确的有（）
A ．函数()f x
的值域为2]B ．直线0x =是函数()f x 图象的一条对称轴
C ．函数()f x 的最小正周期为π
D ．函数()f x 在910,109ππ⎡⎤
⎢⎣⎦
上是增函数
9．已知函数()2sin sin sin f x x x x =++，则下列说法中正确的有（）
A ．()f x 是周期函数
B ．()f x 在[0,]π上单调递增
C ．()f x 的值域为[2,4]
-D ．()f x 在[]2,2ππ-上有无数个零点
10．已知函数()π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，则下列说法中正确的有（
）
A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．函数()f x 图象的一条对称轴是π6
x =
C ．若ππ,
32x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x D ．若()()124f x f x =，12x x ≠，则12x x -的最小值为
π2
11．已知函数()sin cos f x x x =+，则下列说法正确的是（）
A ．
2π
是()f x 的周期B ．()f x 的最小值为
2C ．()
3f x f x π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭D ．()f x =55,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上有两解三、填空题
12．函数sin()4
π
y x =+的单调增区间为________．
13．若函数()sin 3|sin |f x x x =+，[0,2π]x ∈的图像与y k =仅有两个不同交点，则k 的取值范围是___________.
14．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有实数解之和为______.
15．关于三角函数的图象，有下列命题：①sin y x =与sin y x =的图象关于y 轴对称；②cos()y x =-与cos ||y x =的图象相同；③sin y x =与sin()y x =-的图象关于y 轴对称；④cos y x =与cos()y x =-的图象关于y 轴对称；其中正确命题的序号是_____
16．设[0,2π]x ∈，关于x 的方程2sin 2|sin |0x x k k +-+=有四个实根，则实数k 的取值范围是____.四、解答题17．已知函数11
sin sin 22
y x x =
+．(1)画出函数的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期；(3)求此函数的值域．
参考答案：
1．D
【分析】先去绝对值，化为分段函数，再根据余弦函数的单调性，得出答案．
【详解】30,22
32,0222x y cosx cosx cosx x x πππππ
⎧
⎪⎪=+=⎨⎪<<⎪⎩
或 ，
cos y x = 在[0，)2
π为减函数，在3(2π，2]π为增函数，并且函数值都大于等于0，
只有D 符合，故答案为D
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，以及余弦函数的图象，关键是化为分段函数，去绝对值，属于基础题．2．A
【分析】先当0x >时，()sin f x x =，又()sin f x x =是偶函数，由此可判断命题的真假.【详解】当0x >时，()sin f x x =，在3,22ππ⎡⎤
⎢⎣⎦
上是单调递减的，故A 正确；
()sin f x x =是偶函数，无周期性，故B 错误；
()sin f x x =是偶函数，在,02π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
单调递减，故C 错误；
()sin f x x =是偶函数，无对称中心，故D 错误；
故选：A 3．D
【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A
选项，如下图所示：
由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：
由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：
由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：
由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.4．B
【分析】根据分段函数()f x 的解析式分析其性质，结合()g x 中对数的函数性质确定函数图象，并将原问题转化为(),()f x g x 在[]2,2x Î-的交点问题，应用数形结合判断交点的个数即可.
【详解】由题设，对于()f x 在20x -≤≤上值域为[0,1]，1、()f x 在5[2,]8π--上递增，5[,]82ππ--上递减，3[,]28
ππ--上递增，3[,84ππ
--上递减；(注
意：31[,]84
ππ
-∈-
-)2、)120(f -<<，538())18(f f ππ-==-
，(()024
f f ππ
-==-.3、由分段函数解析式知：02x <≤上()0f x ≥恒成立，且3[,]48
ππ上递增，3[,]82ππ
上递减，
5[,28
ππ
上递增，此时()()042f f ππ==，35(4,()888f f ππ==，(注意：31[,48ππ∈).
对于()g x 在21x -≤≤-上的值域为[0,1]，1、在21x -≤≤-上递减；2、(2)1(2)g f -=>-，(1)0g -=.
3、由于22()log ||log ||()g x x x g x -=-==，即()g x 为偶函数，故在12x ≤≤上()g x 递增；(2)1g =，(1)0g =.
综上，可得如下图函数图象，()()0f x g x -=在[]2,2x Î-上根等价于(),()f x g x 在[]2,2x Î-上交点横坐标，
∴由图知：(),()f x g x 的交点共有5个.故选：B 5．B
【分析】由题设可得()2sin ,sin cos 2cos ,sin cos x x x f x x x x ωωωωωω≥⎧=⎨<⎩，设()2sin ,sin cos 2cos ,sin cos t t t h t t t t
≥⎧=⎨<⎩，先研究
()h t 的性质，结合前者逐项研究()f x 的性质后可得正确的选项.
【详解】由题设可得()2sin ,sin cos 2cos ,sin cos x x x
f x x x x ωωωωωω≥⎧=⎨<⎩，
令t x ω=，设()2sin ,sin cos 2cos ,sin cos t t t h t t t t
≥⎧=⎨
<⎩，
当sin cos t t ≥时，522,4
4
k t k k Z π
π
ππ+≤≤+
∈，故()2h t ≤≤，
当sin cos t t <时，322,44
k t k k Z ππ
ππ-
≤≤+∈，故()2h t ≤≤，故()h t 的最小值不是2-即()f x 的最小值不是2-，
而()h t 的最大值为()2222h k h k πππ⎛
⎫+== ⎝
⎭，
故()2222k k f x f h πππωω⎛
⎫+ ⎪⎛⎫=== ⎪
⎝⎭ ⎪
⎝⎭
的最大值为2，其中Z k ∈，故②错误.
因为()()124f x f x +=，故()()122f x f x ==，故12
min
2x x ππω
-=
=，故1
2ω=，故④错误.
当1ω=时，()sin cos sin cos f x x x x x =++-，
则sin cos sin cos 22222f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-=-+-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin cos sin cos x x x x f x =++-=，
故()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称，故①正确.
又()2sin ,2co 5224432s 244,t h t t k t k k t k ππππππππ+≤≤+-⎧
⎪⎪=⎨
≤≤+
⎪⎪⎩，其中Z k ∈，故在2,242k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣
⎦上，()h t 为增函数，
在52,224k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
上，()h t 为减函数，在32,24k k πππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上，()h t 为增函数，在2,24k k πππ⎡
⎤+⎢⎥⎣
⎦上为减函数，
当,04x π⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，有,04t x ωπω⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，故344ωππ-≥-即(]0,3ω∈，
故③正确.故选：B
【点睛】思路点睛：对于较为复杂的三角函数的图象和性质的问题，可结合正弦函数和余弦函数的性质来讨论，而且为了简化讨论，可利用复合函数的处理方法来处理.6．A
【分析】结合二次函数，三角函数的图象性质分别计算即可.
【详解】因为,0,1,2,,9999
n n
a n ==⋯⋯，所以01n a ≤≤，因为()2
1109
=
f x x 在(0,1)上单调递增，所以111112********* ()()()()()()()()-+-+-+⋯⋯+-=M f a f a f a f a f a f a f a f a 90119 ()()-=f a f a 1110
(1)(0)9
-=
=f f ，因为()()2
22f x x x =-在1(0,2单调递增，在1(,1)2
单调递减，
所以2220222322250214912 ()()()()()()()()-+-+-+⋯⋯+-=M f a f a f a f a f a f a f a f a 250251298299()()()()+-+⋯⋯+-f a f a f a f a 250202992()()()
f a f a f a =--222509800
2(
)(0)(1)999801
f f f =--=因为()2343415
=
-+f x x x 在1
(0,3单调递减，在12(,)33单调递增，在2(,1)3单调递减，
所以330313132332333()()()()()()=-+-++- M f a f a f a f a f a f a 334333335334633566()()()()()()+-+-++- f a f a f a f a f a f a 366367367368398399()()()()()()+-+-++- f a f a f a f a f a f a 30663933336633339()()()()()()
=-+-+-f a f a f a f a f a f a 33333312124
(0)(()(((1)33333
=-+-+-=f f f f f f ；
因为()41sin23π=f x x 周期为1
2，对称轴为11,(Z)42=+∈x k k ，且()41sin23
π=f x x 在1(0,4单
调递增，在11(,42单调递减，在13(,24
单调递增，在3
(,1)4单调递减，
441404241425424()()()()()()=-+-++- M f a f a f a f a f a f a 425426448449449450()()()()()()+-+-+- f a f a f a f a f a f a 451450452451474473()()()()()()+-+-++- f a f a f a f a f a f a 474475475446479899()()()()()()
f a f a f a f a f a f a +-+-++- 42540425450444745074499()()()()()()()()
=-+-+-+-f a f a f a f a f a f a f a f a
4254744504744502()2()2()4()2()
=+-=-f a f a f a f a f a 14110045021004sin 2sin sin sin
399399399399ππππ=⨯-⨯=-450504sin (1cos )395953ππ=-<41
50510sin 9569
π>∴>= M M 故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考察函数的单调性与对称性，分别结合二次函数，三角函数的图象性质计算得解.7．AC
【分析】根据正切函数的性质判断A ，画出函数图象，结合图象判断B 、C ，根据奇偶性与单调性判断D.
【详解】解：函数()f x 的定义域与tan y x =的定义域相同，即为π
π,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
，故A
正确；
由()()tan f x x f x -==及()f x 的定义域知()f x 是偶函数，故B 错误；作出的图象如图所示，
由图可知函数的最小正周期为π，故C 正确；由于3π2π55f f ⎛⎫
⎛⎫-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6ππ55f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且根据图象知()f x 在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，
所以2ππ55f f
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，即3π6π55f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：AC ．8．BC
【分析】先利用函数周期性的定义判断()f x 的最小正周期为π，利用偶函数的定义判断直线
0x =是函数()f x
图象的一条对称轴，对()|sin ||cos |f x x x =的解析式在[]0,x π∈上进行
化简，研究其性质.
【详解】
作出()|sin |cos |f x x x =图像如图示：
∵()|sin |cos |f x x x =，
∴(
)(
)()|sin |cos |=|sin ||=()f x x x x x f x πππ+=+++，∴函数()f x 的最小正周期为π，故C 正确；
在一个周期内，sin 0,2()sin ,2x x x f x x x x πππ⎧⎡⎤+∈⎪⎢⎪⎣
⎦=⎨⎛⎤⎪∈ ⎥⎪⎝⎦⎩
，
即2sin 0,32()2sin ,32x x f x x x πππππ⎧⎛⎫⎡⎤
+∈ ⎪⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦
=⎨
⎛⎫⎛⎤
⎪-∈ ⎪ ⎥⎪⎝⎭⎝⎦⎩
∴在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，[]2sin 1,23x π⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭，故A 错误；
∵(
)(
)()|sin ||cos |=|sin ||cos |=()f x x x x x f x -=--，所以()f x 为偶函数，故直线
0x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；
函数()f x 在9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单减，在10,9ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单增，故D 错误.
故选：BC.
【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；
(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式．9．CD
【分析】对给定函数式按x<0及x≥0两段化简，再结合正弦函数的性质验证选项A ，B 并判断，求解选项C ，D 并判断.
【详解】当0x <时，()2sin sin |sin |sin |sin |f x x x x x x =-+=+，当0x ≥时，()2sin sin |sin |3sin |sin |f x x x x x x =++=+，
如果T 是()f x 的周期，不妨令T >0，则00(,0),0x x T π∃∈-+>，()000sin |sin |f x x x =+，
00000)3sin )|sin )|(((3sin |sin |f x T x T x T x x +=+++=+，
()00)(f x T f x ≠+，即不存在常数T 使得对x R ∈,()()f x T f x +=成立，A 错误；
当0x π≤≤时，()2sin sin sin 4sin f x x x x x =++=不单调，B 错误；
0x <时，()sin |sin |f x x x =+的值域是[0，2]，0x ≥时，()3sin |sin |f x x x =+的值域是[-2，
4]，C 正确；
0x π-≤≤时，()()0,f x f x =有无数个零点，函数在[2,2]ππ-上有无数个零点，D 正确.
故选：CD
【点睛】思路点睛：涉及分段函数值域问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可.10．BCD
【分析】根据点关于点π
(,0)6对称的点π(,3
不在函数()f x 图象上，判断A 不正
确；
根据()π3f x f x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
判断B 正确；
求出函数()f x 在ππ,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的值域可判断C 正确；
根据函数的最大值，结合()()124f x f x =推出()()122f x f x ==，再根据()f x 的最小正周期为π可得12x x -的最小值为
π
2
，可得D 正确.
【详解】在()f x 的图象上取一点，其关于点π
(,0)6对称的点π(,3
不在
()π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象上，所以函数()f x 的图象不关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 不正确；
因为()ππ2sin 233f x x f x ⎛⎫⎛⎫
-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数()f x 图象的一条对称轴是π6x =，故B 正
确；
若ππ,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π2333x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π()2sin 23f x x ⎛
⎫⎤=-=∈ ⎪⎦⎝⎭
，故C 正确；因为()max 2f x =，所以()()122f x f x ==，所以22min 2π1π
222
x x -=⋅=，故D 正确.故选：BCD 11．AD
【分析】由()()2f x f x π+=即可得到()f x 的周期，再求出0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上的函数解析式，从而
得到函数的最小值，即可判断A 、B ，再由()03f f π⎛⎫
≠ ⎪⎝⎭
，即可判断C ，再结合函数的图像
与性质以及奇偶性即可判断D.
【详解】∵sin cos cos sin ()222f x x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
∴()f x 是以
2
π
为周期的函数，故A 正确.
当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()|sin ||cos |sin cos sin 4f x x x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝
⎭，
则3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，∴41x π⎛
⎫+≤ ⎪⎝
⎭≤()f x 的最小值为1，故B 错误，
由sin cos (0)1333f f πππ⎛⎫
=+≠= ⎪⎝⎭
，故C 错误；
当50,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()|sin ||cos |sin cos 4f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝
⎭，
此时()f x 在0,4x π⎡⎤
∈⎢⎣⎦上单调递增，在5,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在4x π=，
故()f x =50,12x π⎡⎤
∈⎢⎣⎦
上有唯一解，
又因为()()()sin cos sin cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，因此
()f x =在5,012x ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭π上有唯一解，
∴()f x =55,1212ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦上有两解，故D 正确.故选：AD.
12．πππ,π44k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，Z
k ∈【分析】整体法求解函数单调区间.【详解】设π
4
x u +
=，sin y u =的大致图象如图所示，函数的周期是π.
当ππ,π2u k k ⎡
⎤=+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：
πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡
⎤∈-+⎢⎥⎣
⎦，
Z k ∈.
故答案为：πππ,π44x k k ⎡
⎤∈-+⎢⎥⎣
⎦，Z k ∈.
13．(2,4)
【分析】在同一坐标系内画出()f x 与y k =的图像，利用数形结合去求k 的取值范围【详解】4sin ,0π
()sin 3sin 2sin ,π2π
x x f x x x x x ≤≤⎧=+=⎨
-<≤⎩又(0)=(π)=(2π)=0f f f ，π3π
()=4()=2
22
f f ，又函数()f x 的图像与y k =仅有两个不同交点，则k 的取值范围是24
k <<故答案为：(2,4)14．7
【分析】判断出()f x 的奇偶性和周期性，画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象，根据对称性求得所求.
【详解】依题意()f x 是定义在R 上的偶函数，由于()()11f x f x =+-，所以()f x 是周期为2的周期函数.由于函数cos y x π=的最小正周期为
22π
π
=，
所以cos y x π=的最小正周期为1，且()()cos cos x x ππ-=，所以函数cos y x π=为偶函数.
画出()f x 和cos y x π=在[]1,3-上的图象如下图所示（画()f x 两个周期的图象，不影响后续分析），
由图可知，在区间15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上，两个函数图象的交点共7个，其中6个两两分别关于直线1
x =对称，
有一个是()1,1，所以关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上所有实数解之和为3217⨯+=.
故答案为：7
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题.15．②④
【分析】根据函数图象变换以及函数奇偶性的知识对四个命题逐一分析，即得．
【详解】对于①，sin y x =为偶函数，它的图象是由sin y x =图象保留0x ≥的部分，然后关于y 轴对称得到0x <部分所得，所以sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故①错误；
对于②，()cos cos y x x =-=，cos cos y x x ==，故它们图象相同，故②正确；
对于③，sin y x =函数值都是非负数，()sin y x =-函数值有正有负，所以它们图象不关于y 轴对称，故③错误；
对于④，()cos cos x x -=，故它们图象关于y 轴对称，同时也重合，故④正确.综上所述，正确命题的序号是②④.
故答案为：②④.
16
．11,01,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
【分析】根据题意，转化为两图像的交点问题，结合正弦函数的图像，数形结合即可求解.【详解】当[0,2π]x ∈时，关于x 的方程2sin 2|sin |0x x k k +-+=，可化为2
()sin 2sin ()()()f x x x g x k k f x g x ⎧=+⎪=-⎨⎪=⎩，[0,2π]x ∈，
作出函数3sin (0π)()sin (π2π)
x
x f x x
x <⎧=⎨
-⎩ 和2()g x k k =-（02πx
）的图象如图1-84
所示，因为方程有四个实根，故201k k <-<，
解得
102k -<<
或112
k <<
.∴实数k
的取值范围是111,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ .
故答案为：111,22⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
.
17．(1)见解析；
(2)是周期函数，最小正周期为2π；(3)值域为[]0,1.
【分析】（1）去绝对值，写出分段函数解析式，分别作图；（2）根据函数图象判别周期性；（3）直接由图象即可得到其值域.【详解】（1）11
sin |sin |
22
y x x =-+
[]()[)()sin ,2π,2ππ,0,2ππ,2π.x x k k k x k k k ⎧∈+∈⎪=⎨∈-∈⎪⎩
Z Z
函数图象如图所示：（2）由图象知该函数是周期函数，其图象至少每隔2π重复一次，故函数的最小正周期是2π.（3）由图象易得函数值域为[]0,1.。