青岛版九年级上册数学《三角形的内切圆》PPT教学课件
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3.5 三角形的内切圆
A
B
C
学习目标：
1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
1 ． 任 意 作 一 个 ∠ ABC ， 如 果 在 ∠ABC内作圆，使其与两边OA、 OB相切，满足上述条件的圆是否 可以作出？如果可以作，能作多 少个？所作出的圆的圆心O的位 置有什么特征？为什么？
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
度。
2
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
∠BOC
=90
°+
1
2
∠A
名称
确定方法
图形
性质
外心 (三角形 外接圆的 圆心)
三角形三 边中垂线 的交点
B
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
O
三角形的内部．
C
内心
（三角形 内切圆的 圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清 “内心”与“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想 的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转 化为数学问题。
r =a+b-c
2
课堂小结：
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形 的内切圆、圆的外切三角形概念. 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外 心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零 思想的运用.
3.内心在三角形内部．
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A
半径为r，你会求△ABC的面积吗？
1
s= (a+ b + c )r
2
B
O●
●
┓ C
2.已知R
内切圆半径吗？
A
●
┐
B
C
已知：如图，在R
A
b-r b-r
b-r+a-r=c
c
b
F
E r .O
a-r
r
r
C r D a a-r
B
能作无数个 圆心0在∠ABC的平分线上。
2．任意作一个△ABC，在△ABC内
作圆，使其与各边都相切，满足上述
条件的圆是否可以作出？如果可以作，
能作多少个？所作出的圆的圆心O的
位置有什么特征？为什么？
B
A
O
C
图2
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线的交点上。
3．如何确定与三角形三边都相切的圆的圆心位
B
C
老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
内心：三 角形内切 圆的圆心
图形
确定方法
性质
• 三角形三边 • 垂直平分线
的交点
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形
的外部．
三角形三条 角平分线的ห้องสมุดไป่ตู้
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平 分∠BAC、∠ABC、 ∠ACB
＝ a·r
2
+
b·r 2
+
c·r 2
B
＝ (a+b+c）·r
2
A
r Ir
r
a
c
C
练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿1＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿1＿.5
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆 的作法 .
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念 得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介 绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
A
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
N IM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
②三角形的内心到三边的距离相等
（确定圆心和半径）
B
C
问题２：怎样确定圆心的位置？
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? （不 能） 任何一个三角形都只有一个内切圆
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
(菱形，正方形一定有内切圆)
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 A ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
解（1）∵点O是△ABC的内心，
O
- （∴同2）∠理∴B若∠O∠O∠OC=B=CA1C1=B888==000∠°∠°O°O－BC,A则6A12=0=（∠°∠B12AO=12∠CB1∠A=2CAC0＋BB°C=1∠=33A05C2°度5B）。°===∠B12119B(88∠0O00°A°°CB+=--C19211+(081∠∠°08A°A0+°C﹣12B-∠∠) AAC)
置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条 内角平分线相交于一点，这点就 是圆心，
A
过圆心作一边的垂线，垂线段 的长就是半径。
C
O
D
B
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
A
这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心叫做三角形的内心.
I
三角形的内心是三角形三条角平
●
分线的交点。
③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
定义：和多边形各边都相切的圆
D
叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
G .O
E
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆，
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
4.5 三角形的内切圆
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
A B
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
C
三角形叫圆的外切三角形
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
A
求作：和△ABC的各边都相切的圆
问题１：作圆的关键是什么？
B
（1）到三边的距
A
离相等；
（2）OA、OB、
OC分别平分
O
∠BAC、∠ABC、
∠ACB；
C （3）内心在三角 形内部．
已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c
I为内心，内切圆半径为r
求△ABC的面积
b
证明：连结AI,BI,CI
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ △ABC ＝ △ABI + △BCI + △ACI
A
B
C
学习目标：
1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外 切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。 3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
1 ． 任 意 作 一 个 ∠ ABC ， 如 果 在 ∠ABC内作圆，使其与两边OA、 OB相切，满足上述条件的圆是否 可以作出？如果可以作，能作多 少个？所作出的圆的圆心O的位 置有什么特征？为什么？
（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
度。
2
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
∠BOC
=90
°+
1
2
∠A
名称
确定方法
图形
性质
外心 (三角形 外接圆的 圆心)
三角形三 边中垂线 的交点
B
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
O
三角形的内部．
C
内心
（三角形 内切圆的 圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清 “内心”与“外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想 的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转 化为数学问题。
r =a+b-c
2
课堂小结：
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形 的内切圆、圆的外切三角形概念. 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与“外 心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零 思想的运用.
3.内心在三角形内部．
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A
半径为r，你会求△ABC的面积吗？
1
s= (a+ b + c )r
2
B
O●
●
┓ C
2.已知R
内切圆半径吗？
A
●
┐
B
C
已知：如图，在R
A
b-r b-r
b-r+a-r=c
c
b
F
E r .O
a-r
r
r
C r D a a-r
B
能作无数个 圆心0在∠ABC的平分线上。
2．任意作一个△ABC，在△ABC内
作圆，使其与各边都相切，满足上述
条件的圆是否可以作出？如果可以作，
能作多少个？所作出的圆的圆心O的
位置有什么特征？为什么？
B
A
O
C
图2
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平分线的交点上。
3．如何确定与三角形三边都相切的圆的圆心位
B
C
老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
内心：三 角形内切 圆的圆心
图形
确定方法
性质
• 三角形三边 • 垂直平分线
的交点
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形
的外部．
三角形三条 角平分线的ห้องสมุดไป่ตู้
交点
1.到三边的距离相等；
2.OA、OB、OC分别平 分∠BAC、∠ABC、 ∠ACB
＝ a·r
2
+
b·r 2
+
c·r 2
B
＝ (a+b+c）·r
2
A
r Ir
r
a
c
C
练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿1＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿1＿.5
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆 的作法 .
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念 得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介 绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
A
已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
N IM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
三角形内切圆的圆心叫三角形的内心
①三角形的内心是三角形角平分线的交点
②三角形的内心到三边的距离相等
（确定圆心和半径）
B
C
问题２：怎样确定圆心的位置？
（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? （不 能） 任何一个三角形都只有一个内切圆
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
(菱形，正方形一定有内切圆)
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 A ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数
解（1）∵点O是△ABC的内心，
O
- （∴同2）∠理∴B若∠O∠O∠OC=B=CA1C1=B888==000∠°∠°O°O－BC,A则6A12=0=（∠°∠B12AO=12∠CB1∠A=2CAC0＋BB°C=1∠=33A05C2°度5B）。°===∠B12119B(88∠0O00°A°°CB+=--C19211+(081∠∠°08A°A0+°C﹣12B-∠∠) AAC)
置与半径的长？
作出三个内角的平分线，三条 内角平分线相交于一点，这点就 是圆心，
A
过圆心作一边的垂线，垂线段 的长就是半径。
C
O
D
B
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
A
这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心叫做三角形的内心.
I
三角形的内心是三角形三条角平
●
分线的交点。
③三角形的内心一定在三角形的内部
三角形内心的性质
定义：和多边形各边都相切的圆
D
叫做 多边形的内切 圆 ，这个 多边形叫做 圆的外切多边形 。
G .O
E
F
如上图，四边形DEFG是⊙O的 外切 四边形，
⊙O是四边形DEFG的 内切 圆，
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
4.5 三角形的内切圆
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
A B
B
C
和三角形各边都相切的圆叫三角 形的内切圆
C
三角形叫圆的外切三角形
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）
A
求作：和△ABC的各边都相切的圆
问题１：作圆的关键是什么？
B
（1）到三边的距
A
离相等；
（2）OA、OB、
OC分别平分
O
∠BAC、∠ABC、
∠ACB；
C （3）内心在三角 形内部．
已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c
I为内心，内切圆半径为r
求△ABC的面积
b
证明：连结AI,BI,CI
Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ △ABC ＝ △ABI + △BCI + △ACI