北京师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题

京师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．若，下列命题为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论.
详解：，
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，即，故D错误.
故选：C.
点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，属于基础题. 2．在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则
的大小为（）
A. 或
B. 或
C.
D.
【答案】D
【解析】分析：利用正弦定理即可得出.
详解：由正弦定理可得：，解得，
，
为锐角，
.
故选：D.
点睛：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
3．在中，若，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：直接利用余弦定理即可计算.
详解：，，.
由余弦定理可得：，解得.
故选：B.
点睛：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
4．等比数列中，，，的前项和为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.
详解：，解得，
又，则等比数列的前项和.
故选：B.
点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
5．不等式
1
21
x
x
-
≤
+
的解集为()
A.
1
,1
2
⎛⎤
-
⎥
⎝⎦
B.
1
,1
2
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
C. [)
1
,1,
2
⎛⎫
-∞-⋃+∞
⎪
⎝⎭
D. [)
1
,1,
2
⎛⎤
-∞-⋃+∞
⎥
⎝⎦
【答案】A
【解析】试题分析：不等式
1
21
x
x
-
≤
+
等价于
()()
1210
{
210
x x
x
-+≤
+≠
解得
1
1
2
x
-<≤，
所以选A.
【考点】分式不等式的解法.
6．等比数列的前项和为，已知，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.
7．已知变量，满足约束条件，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以三点为顶点的三角形区域，通过观察可知目标函数在点处取得最大值，代入可求得为，故选B．
【考点】线性规划．
8．的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，然后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可得到的值.
详解：根据题意，、、成等比数列，则，
又，则，
则.
故选：B.
点睛：本题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出、、的关系，进而运用余弦定理求解.
9．数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于0求出等差数列前6项大于0，从第7项起小于0，则答案可求.
详解：在等差数列是首项为，公差为得：
，
由，得，
等差数列中，，
当时，前项和最大.
故选：C.
点睛：本题考查了数列的函数特性，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础的计算题.
10．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用万元，
从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元．设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论.
详解：设该设备第n年的营运费为万元，
则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，
则该设备使用n年的营运费用总和为，
设第n年的盈利总额为，则，
年平均盈利额，
当时，年平均盈利额取得最大值4.
故选：D.
点睛：本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键.
二、填空题
11．（题文）数列的前项和，若，则_________.
【答案】.
【解析】试题分析：，所以
．
【考点】数列求和． 12．已知中，
，
，
，则
等于__________．
【答案】
【解析】分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC 的距离借口. 详解：由题意
，
，
，可知
，
三角形ABC 是直角三角形，
.
故答案为：2.
点睛：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力，属于基础题. 13．若()1,x ∈+∞，则2
1
y x x =+-的最小值是 ． 【答案】221+
【解析】试题分析：因为()1,x ∈+∞，所以10x ->， 21y x x =+
- ()2111
x x =-++- 221≥+，当且仅当21x =+时取等号，故答案为221+．
【考点】基本不等式． 14．等比数列
的各项均为正数，且，则
__________．
【答案】
【解析】分析：利用等比中项，对数性质可知 ，
进而计算可得答案. 详解：
为等比数列 ，
又.
，
.
故答案为：10.
点睛：本题考查等比数列的等比中项及对数的运算法则，注意解题方法的积累，属于中档题.
15．在中，若，则的形状为___________．
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】分析：左边利用正弦定理，右边切变弦，对原式进行化简整理进而可得A和B 的关系，从而得到答案.
详解：原式可化为，
或
解得或.
故的形状为等腰三角形或直角三角形.
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
点睛：(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理．
16．已知数列的前项的和为，，，满足，则__________．
【答案】
【解析】分析：由，得，
即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，然后利用累加法求出的通项公式得答案.
详解：由，
得，
即，则，
数列是以为首项，以2为公差的等差数列，
则，
；
；
；
…
，
累加得：，
则，
.
故答案为：.
点睛：本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是关键，是中档题.
17．已知数列满足，且，则__________．
【答案】
【解析】分析：由已知条件得，从而得到是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出.
详解：数列满足，且，
，
，又，
是首项为2，公比为2的等比数列，
，
，
故答案为：.
点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意构造法的合理运用. 18．在中，，，，则的面积等于__________．
【答案】或
【解析】分析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出b的值，再由于b，c及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积.
详解：在中，，，，
由余弦定理得：，
即，
解得：或，
则或.
故答案为：或.
点睛：三角形面积公式的应用原则：
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
19．甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是__________小时．
【答案】
【解析】分析：设经过x 小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案. 详解：假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至C 、D ，如图所示， 可知
，
，
当小时时甲乙两船相距最近.
故答案为：.
点睛：求距离问题的注意事项
(1)首先选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化成三角形问题．(2)明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素．(3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形． 20．已知0m >，0n >，24m n +=，则12
m n
+的最小值为 ． 【答案】2
【解析】试题分析：
122121414()(4)(4)2444m n n m n m m n m n m n m n ++=⋅+=++≥+⋅=，当且仅当4n m m n =时取等号
【考点】基本不等式求最值
【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．
21．已知数列满足，给出下列命题：
①当时，数列为递减数列；
②当时，数列不一定有最大项；
③当时，数列为递减数列；
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.
请写出正确的命题的序号__________．
【答案】③④
【解析】分析：由于，再根据k的条件讨论即可得出.
详解：①当时，，，当时，，因此数列不是递减数列，故①不正确；
②当时，，由于
因此数列一定有最大项，故②不正确；
③当时，，，因此数列
为递减数列，正确；
④当为正整数时，，因此数列必有两项相等的最大项，故正确.
综上可知：只有③④正确.
故答案为：③④.
点睛：本题考查了数列的单调性，分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.
三、解答题
22．解关于的不等式．
【答案】当时，为或；当时，为或．
【解析】分析：对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可得出.
详解：不等式对应方程的实数根为和；
①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；
②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；
③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
点睛：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．
(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；
(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
23．在中，，，点在上，且，．
（I）求；
（Ⅱ）求，的长．
【答案】（I）；（Ⅱ），.
【解析】分析：（1）由和诱导公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；
（2）在中由正弦定理求出BD、AD，在中由余弦定理求出AC的值.
详解：（I）∵，且，∴，
∴，
由得，
；
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
∴，
由正弦定理得，∴，
在中，由余弦定理得
，
∴．
点睛：应熟练掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．
24．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．
（I）求与；
（II）设数列满足，求的前项和．
【答案】（I），；（Ⅱ）.
【解析】分析：（1）根据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；
（2）使用错位相减法求出.
详解：（I）∵为等比数列，公比为，，
∴，∴，解得，．
∵，∴．∴的公差为．
∴，．
（II）．
∴，①
∴，②
①②得：
．
∴．
点睛：(1)错位相减法是求解由等差数列{b n}和等比数列{c n}对应项之积组成的数列{a n}，即a n＝b n×c n的前n项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．
25．已知函数．
（I）当时，求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（I）；（Ⅱ）.
【解析】分析：（1）根据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可.
详解：（I），，
∵，，∴，
当且仅当时“”成立，
（Ⅱ），，，
时，，在递增，
∴，解得：，
时，令，解得：，
令，解得：，
∴在递减，在递增，
∴成立，
综上．
点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题.
26．在中，、、分别为内角、、的对边，且满足
．
（I）求角的大小；
（Ⅱ）若，，求．
【答案】（I）；（Ⅱ）.
【解析】分析：（1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；
（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案.
详解：（I）∵，
∴，
由正弦定理得，由余弦定理得，
∵，∴．
（Ⅱ）∵，∴，
由正弦定理，求得，
解得．
点睛：本题主要考查正弦定理和余弦定理、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题.
27．已知函数，其中，.
（I）求的解析式；
（Ⅱ）若数列满足，，．求证：
.
【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】分析：（1）由求得、、的值，代入原函数可得函数解析式；
（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，结合已知放缩得答案.
详解：（I）∵，，
∴，
由，解得．
∴，
∴；
（Ⅱ）证明：由，得，
∴，则，
∵，则，
∴．
又∵，
∴．
∴．
点睛：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查数列不等式的证明，把已知递推式灵活变形是关键，是中档题.。