常用积分表

2
2
∫ 54． ( x2 − a2 )3dx ＝ x (2x2 − 5a2 ) x2 − a2 + 3 a4 ln x +
8
8
∫ 55． x x2 − a2 dx ＝ 1 ( x2 − a2 )3 + C
3
x2 − a2 + C
∫ 56． x2 x2 − a2 dx ＝ x (2x2 − a2 ) x2 − a2 − a4 ln x + x2 − a2 + C
8
8
∫ 57． x2 − a2 dx ＝ x2 − a2 − a arccos a + C
x
x
∫ 58．
x
2− x2
a
2
dx
＝
−
x2 − a2 + ln x + x
x2 − a2 + C
（八）含有 a2 − x2 (a > 0) 的积分
∫ 59． dx ＝ arcsin x + C
a2 − x2
a
∫ 60．
x2 − a2
2
2
∫ 50．
x2
dx ＝ −
x
+ ln x + x2 − a2 + C
(x2 − a2 )3
x2 − a2
∫ 51．
dx ＝ 1 arccos a + C
x x2 − a2 a
x
∫ 52．
x2
dx ＝ x2 − a2
x2 − a2 a2x
+C
∫ 53． x2 − a2 dx ＝ x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C
＝
1 a2
(ln
ax
+
b
+
b ax +
) b
+
C
∫ 8．
(ax
x2 +
b)2
dx
＝
1 a3
(ax
+
b
−
2b ln
ax
+
b
−
b2 ax +
) b
+
C
∫ 9．
dx x(ax + b)2
＝
1 b(ax + b)
−
1 b2
ln
ax + b x
+C
（二）含有 ax + b 的积分
∫ 10． ax + bdx ＝ 2 (ax + b)3 + C 3a
x
+
tan
x
+
C
42
∫ 88． csc xdx ＝ ln tan x + C ＝ ln csc x − cot x + C 2
∫ 89． sec2 xdx ＝ tan x + C
∫ 90． csc2 xdx ＝ − cot x + C
91． ∫ sec x tan xdx ＝ sec x + C
92． ∫ csc x cot xdx ＝ − csc x + C
∫ 93． sin2 xdx ＝ x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94． cos2 xdx ＝ x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95． sinn xdx ＝ − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96． cosn xdx ＝ 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ ∫ 30．
ax 2
x + bx
+
dx c
＝
1 2a
ln
ax 2
+
bx
+
c
−
b 2a
dx ax2 + bx + c
（六）含有 x2 + a2 (a > 0) 的积分
∫ 31．
dx x2 + a2
＝ arsh x a
+ C1 ＝ ln( x +
x2 + a2 ) + C
∫ 32．
dx
＝
x
+C
(x2 + a2 )3 a2 x2 + a2
2
2
a
∫ 68． (a2 − x2 )3dx ＝ x (5a2 − 2x2 ) a2 − x2 + 3 a4 arcsin x + C
8
8
a
∫ 69． x a2 − x2 dx ＝ − 1 (a2 − x2 )3 + C
3
∫ 70． x2 a2 − x2 dx ＝ x (2x2 − a2 ) a2 − x2 + a4 arcsin x + C
b
−
a 2b
∫
x
dx ax + b
17． ∫
ax + bdx ＝ 2 x
ax + b + b∫ x
dx ax + b
18． ∫
ax + x2
b
dx
＝
−
ax + x
b
+
a 2
∫
x
dx ax + b
（三）含有 x2 ± a2 的积分
∫ 19．
dx x2 + a2
=
1 a
arctan
x a
+C
∫ ∫ 20．
∫ 40． ( x2 + a2 )3dx ＝ x (2x2 + 5a2 ) x2 + a2 + 3 a4 ln( x +
8
8
∫ 41． x x2 + a2 dx ＝ 1 ( x2 + a2 )3 + C
3
x2 + a2 ) + C
∫ 42． x2 x2 + a2 dx ＝ x (2x2 + a2 ) x2 + a2 − a4 ln( x + x2 + a2 ) + C
(x2 + a2)3
x2 + a2
∫ 37．
dx ＝ 1 ln x2 + a2 − a + C
x x2 + a2 a
x
∫ 38．
x2
dx ＝ − x2 + a2
x2 + a2 a2x
+C
∫ 39． x2 + a2 dx ＝ x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ 83． sin xdx ＝ − cos x + C
7
(a < b)
84． ∫ cos xdx ＝ sin x + C
85． ∫ tan xdx ＝ − ln cos x + C
86． ∫ cot xdx ＝ ln sin x + C
∫ 87．
sec
xdx
＝ ln
π tan(
+
x)
+C
＝ ln
sec
c + bx − ax2
a
2 a3
b2 + 4ac
（十）含有 ± x − a 或 (x − a)(b − x) 的积分 x−b
∫ 79． x − a dx ＝ (x − b) x − a + (b − a) ln( x − a + x − b ) + C
x−b
x−b
∫ 80． x − a dx ＝ (x − b) x − a + (b − a) arcsin x − a + C
∫ 11．
x
ax
+
bdx
＝
2 15a 2
(3ax
−
2b)
(ax + b)3 + C
∫ 12．
x2
ax
+
bdx
＝
2 105a3
(15a2 x2
−
12abx
+
8b2
)
(ax + b)3 + C
∫ 13．
x ax +
dx b
＝
2 3a 2
(ax
−
2b)
ax + b + C
1
∫ 14．
x2 ax +
dx b
（五）含有 ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 29．
⎧
⎪
ax 2
dx + bx
+
c
＝
⎪ ⎨ ⎪
⎪⎩
2 arctan 2ax + b + C
4ac − b2
4ac − b2
1 ln 2ax + b − b2 − 4ac + C b2 − 4ac 2ax + b + b2 − 4ac
(b2 < 4ac) (b2 > 4ac)
∫ 76．
dx
＝ − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77． c + bx − ax2 dx ＝ 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78．
x
dx ＝ − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
8
8
∫ 43． x2 + a2 dx ＝ x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
x
x
∫ 44．
x2 + a2 dx ＝ − x2 + a2 + ln(x + x2 + a2 ) + C
x2
x
（七）含有 x2 − a2 (a > 0) 的积分
∫ 45．
dx x2 − a2
＝
x x
x2 ax2 + b
+C
∫ ∫ 26．
dx ＝ − 1 − a x2 (ax2 + b) bx b
dx ax2 + b
∫ 27．
dx x3(ax2 + b)
＝
a 2b2
ln
ax2 + b x2
−
1 2bx2
+1
(ax2 + b)2 2b(ax2 + b) 2b
dx ax2 + b
arch
x a
+ C1 = ln
x+
x2 − a2 + C
∫ 46．
dx ＝ −
x
+C
(x2 − a2)3
a2 x2 − a2
∫ 47．
x dx ＝ x2 − a2 + C
x2 − a2
4
∫ 48．
x
dx ＝ − 1 + C
(x2 − a2)3
x2 − a2
∫ 49．
x2 dx ＝ x x2 − a2 + a2 ln x + x2 − a2 + C
8
8
a
∫ 71． a2 − x2 dx ＝ a2 − x2 + a ln a − a2 − x2 + C
x
x
∫ 72．
a2 − x2
x2
dx
＝
−
a2 − x2 − arcsin x + C
x
a
（九）含有 ±ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 73．
dx
＝ 1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C
常用积分公式
（一）含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 )
1． ∫
dx ax +
b
＝
1 a
ln
ax
+
b
+
C
∫ 2． (ax + b)μdx ＝ 1 (ax + b)μ+1 + C （ μ ≠ −1 ）
a(μ + 1)
∫ 3． x dx ＝ 1 (ax + b − b ln ax + b ) + C ax + b a2
b
＝
⎪ ⎨ ⎪
⎪⎩
2
ab 1 −ab
ln
a x+C b ax − −b ax + −b
+C
(b > 0) (b < 0)
∫ 23．
x ax2 +
dx b
＝
1 2a
ln
ax2
+
b
+
C
2
∫ ∫ 24．
x2 ax2 +
dx b
＝
x a
−
b a
dx ax2 + b
∫ 25．
dx ＝ x(ax2 + b)
1 ln 2b
∫ 4．
x2 ax +
dx b
＝
1 a3
⎡ ⎢⎣
1 2
(ax
+
b)2
−
2b(ax
+
b)
+
b2
ln
ax
+
b
⎤ ⎥⎦
+
C
5． ∫
dx x(ax + b)
＝−
1 ln b
ax + b x
+C
∫ 6．
dx ＝ − 1 x2 (ax + b) bx
+
a b2
ln
ax + b x
+C
∫ 7．
(ax
x +
b)2 dx
(x2
dx + a2)n
=
2(n
x − 1)a2 ( x2
+
a2 )n−1
+
2n − 3 2(n − 1)a2
dx ( x2 + a2 )n−1
∫ 21．
dx x2 − a2
= 1 ln 2a
x−a x+a
+C
（四）含有 ax2 + b(a > 0) 的积分
∫ 22．
⎧ ⎪
1
arctan
dx ax2 +
x2 dx ＝ x − arcsin x + C
(a2 − x2 )3
a2 − x2
a
∫ 65．
dx ＝ 1 ln a − a2 − x2 + C