常用积分表

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2
2
∫ 54. ( x2 − a2 )3dx = x (2x2 − 5a2 ) x2 − a2 + 3 a4 ln x +
8
8
∫ 55. x x2 − a2 dx = 1 ( x2 − a2 )3 + C
3
x2 − a2 + C
∫ 56. x2 x2 − a2 dx = x (2x2 − a2 ) x2 − a2 − a4 ln x + x2 − a2 + C
8
8
∫ 57. x2 − a2 dx = x2 − a2 − a arccos a + C
x
x
∫ 58.
x
2− x2
a
2
dx


x2 − a2 + ln x + x
x2 − a2 + C
(八)含有 a2 − x2 (a > 0) 的积分
∫ 59. dx = arcsin x + C
a2 − x2
a
∫ 60.
x2 − a2
2
2
∫ 50.
x2
dx = −
x
+ ln x + x2 − a2 + C
(x2 − a2 )3
x2 − a2
∫ 51.
dx = 1 arccos a + C
x x2 − a2 a
x
∫ 52.
x2
dx = x2 − a2
x2 − a2 a2x
+C
∫ 53. x2 − a2 dx = x x2 − a2 − a2 ln x + x2 − a2 + C

1 a2
(ln
ax
+
b
+
b ax +
) b
+
C
∫ 8.
(ax
x2 +
b)2
dx

1 a3
(ax
+
b

2b ln
ax
+
b

b2 ax +
) b
+
C
∫ 9.
dx x(ax + b)2

1 b(ax + b)

1 b2
ln
ax + b x
+C
(二)含有 ax + b 的积分
∫ 10. ax + bdx = 2 (ax + b)3 + C 3a
x
+
tan
x
+
C
42
∫ 88. csc xdx = ln tan x + C = ln csc x − cot x + C 2
∫ 89. sec2 xdx = tan x + C
∫ 90. csc2 xdx = − cot x + C
91. ∫ sec x tan xdx = sec x + C
92. ∫ csc x cot xdx = − csc x + C
∫ 93. sin2 xdx = x − 1 sin 2x + C 24
∫ 94. cos2 xdx = x + 1 sin 2x + C 24
∫ ∫ 95. sinn xdx = − 1 sinn−1 x cos x + n − 1 sinn−2 xdx
n
n
∫ ∫ 96. cosn xdx = 1 cosn−1 x sin x + n − 1 cosn−2 xdx
∫ ∫ 30.
ax 2
x + bx
+
dx c

1 2a
ln
ax 2
+
bx
+
c

b 2a
dx ax2 + bx + c
(六)含有 x2 + a2 (a > 0) 的积分
∫ 31.
dx x2 + a2
= arsh x a
+ C1 = ln( x +
x2 + a2 ) + C
∫ 32.
dx

x
+C
(x2 + a2 )3 a2 x2 + a2
2
2
a
∫ 68. (a2 − x2 )3dx = x (5a2 − 2x2 ) a2 − x2 + 3 a4 arcsin x + C
8
8
a
∫ 69. x a2 − x2 dx = − 1 (a2 − x2 )3 + C
3
∫ 70. x2 a2 − x2 dx = x (2x2 − a2 ) a2 − x2 + a4 arcsin x + C
b

a 2b

x
dx ax + b
17. ∫
ax + bdx = 2 x
ax + b + b∫ x
dx ax + b
18. ∫
ax + x2
b
dx


ax + x
b
+
a 2

x
dx ax + b
(三)含有 x2 ± a2 的积分
∫ 19.
dx x2 + a2
=
1 a
arctan
x a
+C
∫ ∫ 20.
∫ 40. ( x2 + a2 )3dx = x (2x2 + 5a2 ) x2 + a2 + 3 a4 ln( x +
8
8
∫ 41. x x2 + a2 dx = 1 ( x2 + a2 )3 + C
3
x2 + a2 ) + C
∫ 42. x2 x2 + a2 dx = x (2x2 + a2 ) x2 + a2 − a4 ln( x + x2 + a2 ) + C
(x2 + a2)3
x2 + a2
∫ 37.
dx = 1 ln x2 + a2 − a + C
x x2 + a2 a
x
∫ 38.
x2
dx = − x2 + a2
x2 + a2 a2x
+C
∫ 39. x2 + a2 dx = x x2 + a2 + a2 ln( x + x2 + a2 ) + C
2
2
∫ 83. sin xdx = − cos x + C
7
(a < b)
84. ∫ cos xdx = sin x + C
85. ∫ tan xdx = − ln cos x + C
86. ∫ cot xdx = ln sin x + C
∫ 87.
sec
xdx
= ln
π tan(
+
x)
+C
= ln
sec
c + bx − ax2
a
2 a3
b2 + 4ac
(十)含有 ± x − a 或 (x − a)(b − x) 的积分 x−b
∫ 79. x − a dx = (x − b) x − a + (b − a) ln( x − a + x − b ) + C
x−b
x−b
∫ 80. x − a dx = (x − b) x − a + (b − a) arcsin x − a + C
∫ 11.
x
ax
+
bdx

2 15a 2
(3ax

2b)
(ax + b)3 + C
∫ 12.
x2
ax
+
bdx

2 105a3
(15a2 x2

12abx
+
8b2
)
(ax + b)3 + C
∫ 13.
x ax +
dx b

2 3a 2
(ax

2b)
ax + b + C
1
∫ 14.
x2 ax +
dx b
(五)含有 ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 29.


ax 2
dx + bx
+
c

⎪ ⎨ ⎪
⎪⎩
2 arctan 2ax + b + C
4ac − b2
4ac − b2
1 ln 2ax + b − b2 − 4ac + C b2 − 4ac 2ax + b + b2 − 4ac
(b2 < 4ac) (b2 > 4ac)
∫ 76.
dx
= − 1 arcsin 2ax − b + C
c + bx − ax2
a
b2 + 4ac
∫ 77. c + bx − ax2 dx = 2ax − b c + bx − ax2 + b2 + 4ac arcsin 2ax − b + C
4a
8 a3
b2 + 4ac
∫ 78.
x
dx = − 1 c + bx − ax2 + b arcsin 2ax − b + C
8
8
∫ 43. x2 + a2 dx = x2 + a2 + a ln x2 + a2 − a + C
x
x
∫ 44.
x2 + a2 dx = − x2 + a2 + ln(x + x2 + a2 ) + C
x2
x
(七)含有 x2 − a2 (a > 0) 的积分
∫ 45.
dx x2 − a2

x x
x2 ax2 + b
+C
∫ ∫ 26.
dx = − 1 − a x2 (ax2 + b) bx b
dx ax2 + b
∫ 27.
dx x3(ax2 + b)

a 2b2
ln
ax2 + b x2

1 2bx2
+1
(ax2 + b)2 2b(ax2 + b) 2b
dx ax2 + b
arch
x a
+ C1 = ln
x+
x2 − a2 + C
∫ 46.
dx = −
x
+C
(x2 − a2)3
a2 x2 − a2
∫ 47.
x dx = x2 − a2 + C
x2 − a2
4
∫ 48.
x
dx = − 1 + C
(x2 − a2)3
x2 − a2
∫ 49.
x2 dx = x x2 − a2 + a2 ln x + x2 − a2 + C
8
8
a
∫ 71. a2 − x2 dx = a2 − x2 + a ln a − a2 − x2 + C
x
x
∫ 72.
a2 − x2
x2
dx


a2 − x2 − arcsin x + C
x
a
(九)含有 ±ax2 + bx + c (a > 0) 的积分
∫ 73.
dx
= 1 ln 2ax + b + 2 a ax2 + bx + c + C
常用积分公式
(一)含有 ax + b 的积分( a ≠ 0 )
1. ∫
dx ax +
b

1 a
ln
ax
+
b
+
C
∫ 2. (ax + b)μdx = 1 (ax + b)μ+1 + C ( μ ≠ −1 )
a(μ + 1)
∫ 3. x dx = 1 (ax + b − b ln ax + b ) + C ax + b a2
b

⎪ ⎨ ⎪
⎪⎩
2
ab 1 −ab
ln
a x+C b ax − −b ax + −b
+C
(b > 0) (b < 0)
∫ 23.
x ax2 +
dx b

1 2a
ln
ax2
+
b
+
C
2
∫ ∫ 24.
x2 ax2 +
dx b

x a

b a
dx ax2 + b
∫ 25.
dx = x(ax2 + b)
1 ln 2b
∫ 4.
x2 ax +
dx b

1 a3
⎡ ⎢⎣
1 2
(ax
+
b)2

2b(ax
+
b)
+
b2
ln
ax
+
b
⎤ ⎥⎦
+
C
5. ∫
dx x(ax + b)
=−
1 ln b
ax + b x
+C
∫ 6.
dx = − 1 x2 (ax + b) bx
+
a b2
ln
ax + b x
+C
∫ 7.
(ax
x +
b)2 dx
(x2
dx + a2)n
=
2(n
x − 1)a2 ( x2
+
a2 )n−1
+
2n − 3 2(n − 1)a2
dx ( x2 + a2 )n−1
∫ 21.
dx x2 − a2
= 1 ln 2a
x−a x+a
+C
(四)含有 ax2 + b(a > 0) 的积分
∫ 22.
⎧ ⎪
1
arctan
dx ax2 +
x2 dx = x − arcsin x + C
(a2 − x2 )3
a2 − x2
a
∫ 65.
dx = 1 ln a − a2 − x2 + C
相关文档
最新文档