第三章电容元件与电感元件

u ,i , p
p
P
0
u
i
图3-4-2
Pm U m I m
1 P Pm UI 2
t
3.3.1 电阻元件伏安特性的相量形式
那么，电压与电流的相量关系为： U
a
I
RI
电压电流的相量模型及相量图如图3-4-3所示

R
U
U
b

I u i
相量图 图3-4-3
扼流圈），对低频电流阻力较小，而对直流（ f=0）
电感相当于短路。
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 感抗的倒数称为感纳，用BL表示， 即 1
BL
XL
它的单位是西门子（S），显然，感纳表示电 感对正弦交流电流的导通能力 有了感抗和感纳，那么电感元件的电压电流的 相量关系可表示为： U jX I L
相量模型
3.3.1 电阻元件伏安特性的相量形式 2、功率 1）瞬间功率 在关联参考方向下电阻元件吸收的瞬时功率p=ui，
为了计算方便设
那么
i 0
p 2U sin t 2 I sin t 2UI sin 2 t UI ( 1 cos 2t ) 0
公式表明了电阻的瞬时功率总是为正，即电阻总 是在消耗功率，同时也说明电阻是耗能元件。波形图 如图3-4-2所示。
W (t ) c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
t 0 Pdt

u( t ) 0 Cudu
1 2 Cu ( t ) 2
当电容电压由u减小到零时，释放的电场能量 也按上式计算。
动态电路中，电容和外电路进行着电场能量
和其它能量的相互转换，本身不消耗能量。
3.1 电容元件
3.1.5 电容的并联 如图3-3-5所示对 于线性电容元件有：
jB U I L
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 2、功率 1）瞬时功率 在关联参考方向下，当 i 0 时,电感吸收的 瞬时功率为 p ui 2U sin( t ) 2 I sin t 2
2UI cos t sin t UI sin 2t
即
XL
Um U L 2f L I Im
感抗的单位是欧姆。
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式
X L L 2fL
由感抗的公式可知， XL由电感L及电路中的频 率f决定。而当L一定时，电感对电流的阻碍作用， 即XL的大小由f决定，两者成正比关系。所以电感
元件对高频电流有较大的阻力（实际设备中的高频
L
i
3.2 电感元件
3.2.3 电感元件的伏安特性 根据电磁感应定律，感应电压等于磁链的变化 率。当电压的参考极性与磁通的参考方向符合右手 螺旋定则时，可得
u
d dt
则：
u
d dt

dLi dt
L
di dt
3.2 电感元件 电感元件的伏安特性说明：

任一瞬间，电感元件端电压的大小与
q（库仑C） C u（伏特V）
电容的单位为法拉，简称法，符号为F。常 用单位有：微法(μF)，皮法(pF)。
3.1 电容元件
3.1.3电容元件的伏安特性
电容是储存电荷的元件，当电容电压u随时 间 发生变化 时，储存在电容元件极板上的电荷
随之变化，出现充电或放电现象，连接电容的导
线中就有电流流过。这个电流即为电容电流。
图3-1
金属板
介质 （绝缘材料）
因此，电容元件是一种能聚集电荷，贮存电 能的二端元件。
3.1 电容元件
3.1.1 电容的符号 符号如图3-3-2所示。
C
C

C
固定电容
固定极性电容
图3-3-2
可变电容
3.1 电容元件
3.1.2 电容的单位 电荷量与端电压的比值叫做电容元件的电 容，理想电容器的电容为一常数。
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 1．伏安特性
i
在图3-4-4中，设通过电感元 件的电流为
u
L
di 则有 u( t ) L dt
i( t ) 2 I sin( t i )

2 )
2LI cos( t ) i
图3-4-4
2LI sin( t i 2U sin( t u )
3.3.1 电阻元件伏安特性的相量形式 2）平均功率 平均功率定义为瞬时功率p在一个周期T内的平均 值，用大写字母P表示。即
1 P T

1 p( t )dt 0 T
T
UI ( 1 cos 2t )dt
0
T
2 U UI I 2 R R
又称为有功功率，其单位是瓦(W)或千瓦(kW)
否关联）
3.2 电感元件
电感电流从
i( 0 ) 0
增大到 i( t ) 总共吸收的
能量，即t时刻电感的磁场能量
WL ( t )
pdt L
0
t
i( t )
0
1 2 idt Li ( t ) 2
当电感的电流从某一值减小到零时，释放的磁 场能量也可按上式计算。在动态电路中，电感元件 和外电路进行着磁场能与其它能相互转换，本身不 消耗能量。
由上式可看出，电感的瞬时功率为一个两倍 于电压或电流频率的正弦量。波形图如图3-4-5 所示
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 2）平均功 率
1 T 1 T 1 T P pdt uidt UI sin 2tdt 0 T 0 T 0 T 0



电感元件在一个周期内的平均功率为零（正、 负波形相抵消）。表明电感元件不消耗能量，只是 在电源和元件间进行能量的转换，同时说明电感确
则有
2 I sin( t i )
u

u(t ) Ri 2RI sin( t i ) 2U sin( t u )
上式表明:电阻两端电压 u 和电流 i 为同频率同相位的正弦量，它们之间关 系如下:
b
U RI
图3-4-1
i u
3.3.1 电阻元件伏安特性的相量形式 其电压与电流的波形图如图3-4-2所示


C1 q1 C2 q2 C3 q3
u
u
q
C
q q1 q2 q3
则： C


C1 C2 C3
图3-3-5
当电容器的耐压值符合要求，但容量不够时， 可将几个电容并联。
3.1.6 电容的串
3.1 电容元件
联
如图3-3-6所示对

C1

q
C2
C3
于线性电容元件有
3.1.4 电容元件的电场能
1）电容元件的功率
p＞0，表明电容元件在储存能量，p＜0，表明电
容元件在释放能量。（电压与电流的方向是否关联）
du p ui uC dt
3.1 电容元件
2）电容元件的电场能量 电容元件从u(0)=0(电场能为零)增大到u(t)时， 总共吸收的能量，即t时刻电容的电场能量。
第三章电容元件和电感元件
3.1 电容元件
3.2 电感元件
3.3 三种元件伏安特性的相量形式
引言 动态电路分析与电阻电路分析的比较
电阻电路 组成 动态电路
独立源,受控源,电阻 电感,电容,电阻,独立源
特性
电压、电流、 耗能
电压、电流随时间 的变化的规律
电路中有三个重要和基本的无源电路元 件，前面已讲述了电阻元件。这节讲述另外 两种电路元件：电容（用字母C表示）和电
3.3 三种元件伏安特性的相量形式
在正弦交流电路中，接入同频率正 弦交流电源的三种电路基本元件，电阻、 电容和电感中的电流和电压都将是同频 率的正弦量，所以可由它们的时域形式 转换成相量形式。
3.3.1 电阻元件伏安特性的相量形式 1、伏安特性 在图3-4-1中，设电流为
i (t )
a

R
i
感（用字母L表示）。
电容和电感元件能够把从电源吸收的 能量储存起来，并能够释放所储存的能量倒
电路中去。
3.1 电容元件
电容元件种类很多，但 基本结构都是类似的，都是 由两个可导电的金属板间隔 着不导电的绝缘材料（介质） 而构成。结构示意图如图31所示 介质可以是绝缘纸、真 空、玻璃、陶瓷、云母、聚 苯乙烯等绝缘材料。
u u1 u 2 u3
1 1 1 1 则： C C1 C 2 C 3
u
q q
q
q
u1
u q 2 u3
u
C
q


图 3-3-6
电容串联的等效电容的倒数等于各电容倒数 之和。电容的串联使总电容值减少。
3.2 电感元件
电感元件在电子工业和电力系 统中应用很多，可用于发电机、变 压器、收音机、电视、雷达、电动 机、继电器等。 将一根导线按照一定的形状绕
电压电流的相量模型及相量图如图3-4-6所示
I

U
U
L
u
I

i
相量模型
图3-4-6
相量图
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 2、感抗 （X L) 由 可知
U LI U I L
即当U一定时，ωL越大，I越小。可见ωL反映了 电感对正弦交流电流的阻碍作用，因此称它为电感 电抗，简称感抗，用X L表示。
p,u ,i
p
u

0

i





T 4 T 4 T 4


t
T 4
图3-4-8
3.3.3 电容元件伏安特性的相量形式 那么电压与电流的大小关系为： 那么电压与电流的相位关系为：
I CU
i u 90
0
jCU 那么电压与电流的相量关系为： I 电压电流的相量模型及相量图如图3-4-9所示
实为储能元件。
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 3）无功功率（Q） 无功功率是用来描述储能元件与电源交换能 量的规模。
QL UI I 2 X L
单位是乏（var)
2 U XL
3.3.3 电容元件伏安特性的相量形式 1、伏安特性 在图3-4-7中，设加在电容两端的电压为
u( t ) 2U sin( t u )V
3.1 电容元件
图3-3-4给出了电容元件的电压 电流参考方向，则其电压与电流的关 i 系即（电容元件的伏安特性）有: C

q
du ic dt
q
u
_
图3-3-4
电容的伏安特性说明：任一瞬间，电容电流的 大小与该瞬间电压变化率成正比，而与这一瞬间电 压大小无关 。电容元件对直流相当于开路。
3.1 电容元件
该瞬间电流的变化率成正比，而与该瞬间
的电流无关。电感元件也称为动态元件，
它所在的电路称为动态电路。电感对直流
起短路作用。
3.2 电感元件
3.2.4 电感元件的磁场能
在关联参考方向下，电感吸收的功率
p ui Li
di dt
p＞0，表明电感元件在储存能量，p＜0，表
明电感元件在释放能量。（电压与电流的方向是
u
C
i
则
du i( t ) C dt
2CU cos( t u )

π 2CU sin( t u ) 2 2CU sin( t i ) A
图3-4-7
上式表明电容电流和端电压是同频率的正 弦量，电流超前电压90°。
3.3.3 电容元件伏安特性的相量形式 其电压与电流的波形图如图3-4-8所示
I

U
C
I
U
i

相量模型 图3-4-9
u
相量图
3.3.3 电容元件伏安特性的相量形式 2、容抗 （X C) 由 I CU
可知
C 即当U一定时， 1 越大，I越小。可见1 反映了电容 C C 对正弦交流电流的阻碍作用，因此称它为电容电抗，简称 容抗，用XC表示。
即
XC 1 1 U Um C 2fC I Im

i
u


图3-3-7
制成线圈则为一简单的电感元件。
如图3-3-7所示。
3.2 电感元件
3.2.1 电感元件符号
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。其 符号如图3-3-8所示。
L
L
L
空心线圈
铁心线圈
可变铁心线圈
图3-3-8
3.2 电感元件
3.2.2电感元件单位 当电流通过线圈时，线圈处在该电流产生的磁场 当中，每匝线圈都有磁通Φ穿过。若线圈有N匝，则 与线圈交链的总磁通即为NΦ称做磁链Ψ，即Ψ=NΦ 磁链与产生它的电流的比值叫做电感元件的电感 或自感用字母L表示。 电感的单位为亨(利)，符号为H，常用的单位有 毫亨(mH)、微亨(μH)。 电感元件的电感为一常数，磁链Ψ总是与产生它 的电流i成线性关系，即
上式表明电感两端电压 u 和电流 i 是同频率的正 弦量，电压超前电流90°。
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式 其电压与电流的波形图如图3-4-5所示
p,u ,i
p
u
i
0
+
+
+
+
T 4 T 4
T 4 T 4
T 4
图3-4-5
-
t
3.3.2 电感元件伏安特性的相量形式
U LI 那么电压与电流的大小关系为： 那么电压与电流的相位关系为： u i 900 jLI U 那么电压与电流的相量关系为：