粒子与物质相互作用-第三章_2011

dE dE （ ） ( ) 弹性 n dx dx
S ( )n
（3－1）
为了消除阻止本领因不同材料原子密度的影响，定义阻止截面S （3－2） 1 dE
N
dx
其中N为靶的原子数密度。阻止截面S相当于每个靶原子的阻止本领。
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第三章
核阻止截面
第一节 经典的碰撞理论
一、两粒子碰撞的散射积分 为了方便起见，我们把入射粒子（Z1，M1）称为“离子”，把 开始平衡稳定的粒子（Z2，M2）称为原子。设初始状态为，M1以方 __ 向 v 0 匀速运动，初始能量为E0，M2静止。两粒子间的碰撞距离 （瞄准距离）为P。在实验室系中，碰撞后M1的散射角为 ，M2的散 ' 射角为 ，如图所示。 Z 2 , M 2 , v2
因此，d 2 PdP d d 又因为 所以
核阻止截面
（3－1－21）
d d (2 cos ) 2 sin d
()
d 2PdP PdP d d sin d
（3－1－22）
这里σ就是散射截面。它的物理含义是：凡是碰撞距离小于P 的入射离子其散射角都将大于 。由于传递的能量T与散射角 的 关系也是一一对应的，因此，常常也用T作为散射截面的参数，即 d 取 T ( ) dT （3－1－23） d d 则 ( ) (T ) ( ) dT d (E 0 sin 2 ) 2 4 即 （3－1－24）
第三章
核阻止截面
∆E1＝ (dE/dx)×Δx E0
Si
Er
KL E 0
E0 - ∆E1-KL(E1) －∆ E2
∆E2＝ (dE/dx)×Δx
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第三章
核阻止截面
上面的讨论适用于任何能量与动量守恒的碰撞。由 碰撞过程所传递的能量T就可以得到入射离子的能量损 失。但为了得到入射离子的轨迹，还必须知道碰撞的散 射角。 在中心场中应用质心系坐标来处理这个问题是比较 简单的，因为粒子的总的线动量恒为零，两粒子的轨迹 关于它们之间的连线对称，只要知道一个粒子的轨迹就 可以得到另一个粒子的运动轨迹。
' 2 2 2 2 (v 2 ) v2 v2 2v2 cos( 2 )
' v2 2v 0
因此，
M1 cos M1 M 2
2 2
M 2M 1 M2 2M 1 T 2 v v cos sin 0 0 M M M M 2 2 2 2 1 2 1
（3－1－7）
（3－1－8）
E
'
KE
（3－1－9）
0
在实验室系中，可以写成：
1/ 2 2 2 ( M 1 / M 2 ) cos 1 ( M 1 / M 2 ) sin KL 1 ( M / M ) 1 2


2
（3－1－10）
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核阻止截面
由于在散射角 ()与碰撞参数P之间存在着一一对应的关系，即碰撞 参数 P P dP 之间的所有粒子散射到角度 d 之间。
d
dP
P
d
MC

d
碰撞平面
上图中 d 2PdP 是一个面积元，它的物理意义是粒子－原子碰撞时能 量传递为T（P）的几率。
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第三章
8
第三章
核阻止截面
由此可画出在质心系中的两粒子碰撞图像及与实验室 系中角度的关系。
P
M1
r0

v2 vC

v1 v 0 v C
v1
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第三章

Z 1 , M 1 , v0
核阻止截面
Z2 , M 2 , v
' 2
P
Z 2 , M 2 ,0

Z1, M 1, v
' 1
P
M1
v1 v 0 v C
v1
r0

v 2 vC

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第三章
图中， 2 在质心系中，
MC
核阻止截面
v1
（3－1－1）
v2

M 1 , v1'
M 1 v0 M 1M 2 vC M1 M 2 M1 M 2
v1
v1

M 2 v0 v1 v0 vC M1 M 2

v2
v2
v2 vC
M 1 v0 M1 M 2

v2

' M 2 , v2
质心系中的能量：
EC M 2 E0 1 1 2 M 1v12 M 2 v 2 2 2 M1 M 2
（3－1－2）
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第三章
核阻止截面
碰撞前后在实验室系中反冲原子的能量，亦即碰撞过程传递的 能量为： 1 ' 2 T M 2 (v 2 ) （3－1－3） 2 由三角关系，
对于轻靶：
M 1 M 2 0 tan ( M 2 / M 1 )
T M 1 2 E0 M 2
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第三章
v2 sin( ) sin v1
又因为
核阻止截面
由前面图中的三角关系还可以得到，
M 2 v2 M 1v1 （动量守恒）
（3－1－5）
因此， sin( ) M 1 sin M2
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第三章
核阻止截面
什么是截面？
有效面积 反应截面 碰撞截面 散射截面 阻止截面 核阻止截面 电子阻止截面
一定范围内 的作用几率
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第三章
二、Biblioteka Baidu射截面
核阻止截面
前面我们讨论了原子及相互间的作用势、两粒子的散射积分 ，这些知识都是研究实际中大量入射粒子与大量靶原子相互作 用的基础。
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第三章
二、散射截面
dE dE dx dx
n
dE dx
e
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第三章
核阻止截面
带电粒子在穿越物质的过程中将由于与靶原子的碰撞而损失能量 ，其中入射粒子通过弹性碰撞（碰撞前后保持动量守恒和总能量守恒 ）使靶原子发生整体平移而引起的能量损失称为弹性能量损失。 由于弹性能量损失是用来移动整个靶原子质心的，而原子质量主 要集中在原子核上，故这部分能量损失近似等于入射粒子与靶原子核 发生弹性碰撞的能量损失，因此称之为核碰撞能量损失，简称核能损 。单位路径上核碰撞能量损失记为 (dE / dx) n ，称为核阻止本领，即

Z 1 , M 1 , v0
P
Z 2 , M 2 ,0

Z 1 , M 1 , v1'
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第三章
核阻止截面
由于在质心系中研究两粒子碰撞问题的简单性，下面 我们就先在质心系中用经典运动力学的方法来描述两粒子 的散射问题。 在质心系中，有如下结论： 1）系统的动量总和恒为零，两质心的动量相等且方向相 反； 2）因为相距无穷远时无相互作用，由能量守恒知，碰撞 前后两粒子各自的速度大小不变； 3）由于弹性碰撞，两质点的运动轨道相对两质点相距最 近时的连线r0对称。
所以，
T E 0 sin 2
4 M 1M 2 (M 1 M 2 )2
其中，
2
（3－1－4）
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第三章
对于重靶：
M 1 M 2
核阻止截面
2 T (1 cos ) E0
0
对于相等质量靶：
M1 M 2
0

2
1
T sin 2 E0
因此，质心系中的散射角 与实验室系中的散射角 有如下关系： （3－1－6） M
sin
1
( M ) sin 2
1
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第三章
'
核阻止截面
2
碰撞后，入射离子的能量变为：
E E 0 T E 0 (1 sin ) 2
定义一个K因子， E T 1 sin 2 K 0 E0 2 4( M 1 / M 2 ) 2 sin K 1 2 (1 M 1 / M 2 ) 2 则碰撞后入射离子的能量为：
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第三章
核阻止截面
电子阻止和核阻止不一样的一个特点是因为电子的质量 小，所以在引起离子能损的同时几乎不改变离子运动的方向 ；而在核阻止过程中，当P足够小时，离子运动的方向将会发 生明显的变化，把这样一些碰撞事件从考察的视野中除去， 运动离子介质中的轨迹近似于光滑的曲线。对于离子经历的 任一足够小的路程Δl来说，可以把它看作单纯的能量变化历 程，这样，我们就可以有单位路程上离子能量损失，通常叫 做介质阻止本领的概念，在把过程两方面视作相互独立的因 素的条件下，总的阻止本领也就是电子阻止本领和核阻止本 领之和。可以设想，阻止本领与介质的原子密度N成正比。
2
第三章
核阻止截面
在离子速度很大，也就是离子能量很大时，运动离子将 迅速掠过原子，与使离子、原子中电子激发相比，使原子获 得足够的动能需要更多的冲量，在这种情况下，除了碰撞参 数P小到一定程度时，与电子激发造成的离子能量损失相比， 在碰撞中离子因核反冲导致的能量损失可以忽略。 对于低能离子，Fermi曾按照离子－原子碰撞中，二者所 属电子云相互扩散的模型估算了离子的非弹性能损，他的结 论是当碰撞距离P》a时，非弹性能损要比弹性能损大一个数 量级或更多，而在P《a时，情况正好相反。
M2 (M 1 M 2 ) Z1 Z 2 e 2 / a
（3－1－17） （3－1－18）
若使用Biersack普适的屏蔽长度， 则 M 2 au 32.52M 2 10 3
f
( M 1 M 2 ) Z1 Z 2 e
2

Z1 Z 2 ( M 1 M 2 )(Z1
0.23
Z2
0.23
)
(1 / eV )
（3－1－19）
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第三章
这时，
核阻止截面
sdx
（3－1－20）
2
2

x0
x2
( x) s 1 x x
上面的推导所需条件是保守的中心势场，由于我们前面 讲到的相互作用势满足这个条件，因此可用此散射积分来计 算屏蔽库仑势下的粒子碰撞轨迹。
第三章
核阻止截面
' Z 2 , M 2 , v2
Z 2 , M 2 ,0
P
' Z 1 , M 1 , v0

Z1Z 2 e 2 V (r ) (r / a ) r

Z 1 , M 1 , v1'
1
第三章
核阻止截面
在离子－原子二体碰撞中同时发生着离子、原子作为整 体的反冲或称核反冲及离子、原子中电子激发两个方面的过 程。前者通常称为过程的弹性方面，后者通常称为过程的非 弹性方面，因为这方面作用引起的离子能量损失不表现为反 冲原子作为整体的机械能的增加。将碰撞过程的两个方面结 合在一起考察是非常困难的，因此，在理论上常把它们当作 两个相互独立的因素分别给予处理，其后果就是产生误差。 这是一种不得已的作法，但在一定的情况下，这种分离处理 也具有实用上的合理性。
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第三章
核阻止截面
上式也可由LSS折合单位写出，从而得到与碰撞粒子的电荷、质量 无关的普适的散射积分。 2 令 Z Z e 1 2 ( x) x r , s P ,V (r ) a a r 引入无量纲的LSS约化能量单位 ，

f
EC M 2 E0 fE 0 Z1 Z 2 e 2 / a (M 1 M 2 )Z1 Z 2 e 2 / a
V (r ) P 2 1 2 EC r
（3－1－14） ,则可得到散
（3－1－15）
2

Pdr r
2
0
V (r ) P 1 2 EC r
2
（3－1－16）
上式即为经典散射积分。只要知道了相互作用势V（r）和碰撞 参数P，由查表（Table of Classical Scattering Integral）即可 得到散射角的数值。
V (r ) P 2 dr r v 0 1 dt EC r
1/ 2
（3－1－13）
d v 0 P 2 dt r

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第三章
因此， d d dt
dr dt dr r
2
核阻止截面
P
将上式对整个碰撞路径作积分，并考虑初始时 射积分： Pdr V (r ) P2 2 r 1 2 EC r 由于上式是偶函数，故有
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第三章
核阻止截面
由上看来，不论对高能或低能离子都可以把实际的离子 －原子二体碰撞近似地区分为“单纯弹性的”或“单纯非弹 性的”。由此也就能够把运动离子与固体的整个作用过程分 解为弹性的和非弹性的两部分。 鉴于此，由介质电子激发引起运动离子能损的因素更一 般地称为电子阻止，而把离子－原子碰撞中原子作为整体反 冲所引起的离子能损的因素称为核阻止。核阻止过程由一系 列分立的离子－原子二体弹性碰撞组成。
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第三章
核阻止截面
（3－1－11）
在极坐标下，由能量守恒可得到，
2 2 1 1 2 2 EC M C (r r ) V (r ) M C v0 2 2
由系统的角动量守恒，可得到，
J C M C r M C v0 P
2

（3－1－12）
这里P为碰撞参量。 由此得到，