变量间的相关关系公开课ppt课件

40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 20 40 60 80 系列1
1200 1000 800 600 400 200 0 0 5 10 15 系列1
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如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近我们就称这两个变量之间具 有线性相关关系,这条直线叫做回归直线, 这条直线的方程叫做回归方程 另外,散点散布在从左下角到右上角的区 域,称这两个变量的相关关系为正相关; 反之称为负相关.
ˆi yi (bxi a) y
(xn，yn)
它与样本数据yi的偏差是： yi
(x1，y1)
(x2，y2)
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问题就归结为： 当 a, b 取什么值时 Q 最小.
n
Q ( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)2
运算不方便
（1）最小二乘法：
（2）转化与化归; 数形结合;

b
( x x )( y y ) x y n x y
i 1 i i 2 ( x x ) i i 1 n
n
n

i 1
i
i
2 2 x n x i i 1
n
,
a y bx
25
15

b
( x x )( y y ) x y n x y
i 1 i i
n
n
(x x )
i 1 i
n

i 1
i
i
2
x n x
i 1 2 i
n
,
2
a y bx
y) 回归直线方程y=bx+a 必过样本点的中心 ( x，
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例题：求三点（3，10），（7，20），（11，24）的 线性回归方程．
解（1）作出散点图：
30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15
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(2)列表如下:
i xi 1 3 2 7 3 11
(3)代入公式
yi xiyi x i2
3 i 1
10 30 9
20 140 49
3 i 1
24 264 121
ˆ b
x y 3x y
i 1 i i 2 2 x 3 x i i 1 3
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3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程 中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤） 的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程（3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
3
两个变量之间的关系
变 有关系 量 关 系 没关系 函数关系 相关关系
练习：下列各变量之间是相关关系的序号是 ②③⑤ . ①路程与时间、速度的关系； ②人的身高和年龄的关系； ③粮食产量与施肥量的关系； ④圆周长与半径的关系； ⑤广告费支出与销售额的关系. ⑥中国足球队的成绩和中国乒乓球队的成绩
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一次Βιβλιοθήκη Baidu人体的脂肪含量和年龄关系的调查，如图：
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9．5 53 29．6 27 17．8 54 30．2 39 21．2 56 31．4 41 25．9 57 30．8 45 27．5 58 33．5 49 26．3 60 35．2 50 28．2 61 34．6
根据上述数据，人体的脂肪含量和年龄之间有怎样的关 系？ 通过统计图、表，可以使我们对两个变量之间的关系 有一个直观上的印象和判断。
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假设我们已经得到两个具有线性相关关系的样本
的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，
ˆ 且所求回归直线方程是： y
待定系数.
bx a ，其中 a, b 是
当自变量x取xi（i=1,2,…,n）时可以得到回归直
线上的点的纵坐标为： y ˆi
bxi a(i 1, 2, , n)
n n ( xi x )( yi y ) xi yi nx y b i 1 n i 1n ， 2 2 2 ( xi x ) xi nx i 1 i 1 a y bx .
推导公式的计算比较复杂，这里不作推导． 但是，我们可以解释一下得出它的原理．
n
ˆi )2的最小值 求(yi y
i 1
避免相互抵消 各点与直线 的整体偏差
n
ˆi 的最小值 求 yi y
i 1
ˆi ) 的最小值 求 ( yi y
i 1
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这种通过求：
Q ( y1 bx1 a) ( y2 bx2 a) ( yn bxn a)
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标煤；
试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产
品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标煤？
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解：(1)散点图，如图所示．
23
24
【知识归纳】
1、知识： 2、思想方法：
（1）散点图：
（2）正相关、负相关： （3）线性相关关系： （4）回归方程的系数公式：
2 2
2
的最小值而得到回归直线的方法，即求样本数据的点到 回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
b
斜率


(x
i 1 n
n
i
x )( yi y )
i
(x
i 1

x y
i 1 n i
n
i
nx y , nx
2
x)
2
x
i 1
2
i
a y b x
截距
摄氏温度
热饮杯数
26
20
18
24
13
34
10
38
4
50
-1
64
为了了解热饮销量与气温的大致关系，我们以 气温为横轴，热饮销量为纵轴，建立直角坐标 系，
7
散点图
y
60 50 40
30
20 10 气温
O
-5
5
10
15 20 25
30 35
气温越高， 卖出去的热饮杯数越少。
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观察这些散点图，说说它们的异同点。
5
下面我们以年龄为横轴，脂肪含量为纵轴建立 称该图为散点图。 直角坐标系，作出各个点，
如图：
脂肪含量
40 35 30 25
20
15 10 5 年龄 20 25 30 35 40
O
45 50 55 60 65
6
有一个同学家开了一个小超市，他为了研究气 温对热饮销销售的影响，经过统计，得到一个 卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：
3
2 x xi yi 434. x 7, y 18. i 179;
434 3 7 18 1.75 179 3 49
ˆ 18-7 1.75 5.75 ˆ y - bx a
所求线性回归方程为:
ˆ 1.75x 5.75. y
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求解线性回归问题的步骤: 2 xi 画散点图. 1.列表 i, xi , yi , xi yi ,， 2.计算:
2.3变量间的相关关系
1
问题引入：
有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那 么你的物理学习就不会有什么大问题” 按照这种 说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间也存 在着某种关系。你如何认识它们之间存在的关系？
数学成绩 学习兴趣
物理成绩
学习时间
其他因素
。 2
结论：变量之间除了函数关系外，还有
相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系． 不同点：函数关系是一种确定的关系； 相关关系是一种非确定关系.
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如何求线性回归直线方程？
为研究学生数学和物理成绩的关系，随机抽取班
级5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生 学科 数学
A
80 70
B
75 66
C
70 68
D
65 64
E
60 62
物理
散 点 图
^ y ＝^ b x＋^ a
回归直线
正 相 关
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人们经过长期的实践与研究，已经得出了计算 回归方程斜率与截距的一般公式：
x, y ,
x , x y
i 1 2 i i 1
n
n
i i
ˆ ˆ 和b 3.代入公式求 a 4.列出直线方程
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练习
20
2、已知x,y的取值如下表所示： x y 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7
从散点图分析，y与x线性相关，且
ˆ =0.95x+a,以此预测 y
7.35 当x=5时，y=__________.