倾斜角与斜率(上课课件)

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直线的斜率 我们把一条直线的 倾斜角α(α≠90°)的正切值
叫做这条直线的斜
率．斜率常用小写字母k表示，即 k＝tan α .
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么可得到如下斜率 公式：
k＝yx22－ －yx11.
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解析几何的创立适应了17世纪科学技术 发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿 (Descartes,1596—1650)是解析几何的创始人之 一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合 来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学 问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为 方程，最后得到关于一个未知数的方程．
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解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展 史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数 学的新时期．
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标 系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟 通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和 几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展．
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2.已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0) 为端点的线段相交，求直线l的斜率k的取值范围． 解析：作出直线PA，PB及线段AB，如图所示． 则 kPA＝－2－ 1－－－32＝5，kPB＝－2－1－03＝－12. 当直线l从直线PA转到与y轴平行的直线PC的位 置的过程中，直线l的斜率k从5趋向于正无穷大， 即k∈[5，＋∞)．
(3)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率．
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1.直线斜率的基本求法有两种： (1)利用两点坐标求直线的斜率，即 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)，用此法时要注意 两点的横坐标不能相等，同时要注意横、纵坐标必须对应． (2)利用倾斜角求斜率，即 k＝tan α，用此法时一定注意倾斜角为 90° 时，直线的斜率不存在，且熟记几个特殊角的正切值，如 tan 30°＝ 33， tan 45°＝1，tan 60°＝ 3，tan 120°＝－ 3，tan 135°＝－1，tan 150°＝－ 33.
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当直线 l 从直线 PC 转到直线 PB 的位置的过程中，直线 l 的斜率 k 从 负无穷大开始增大到－12，即 k∈－∞，－12. 综上，直线 l 的斜率 k 的取值范围为－∞，－12∪[5，＋∞)．
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2．利用斜率公式求直线的斜率时，如果点的坐标中含有参数，需要先 对直线斜率是否存在作出判断，即对参数进行分类讨论．
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直线的倾斜角与斜率的综合应用 斜率与倾斜角的关系
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图示
倾斜角 α(范围) 斜率 k(范围)
α＝0° k＝0
Fra Baidu bibliotek
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直线和圆的方程是解析几何知识的基本内容.高考中对直线的 考查既包括倾斜角、斜率、直线方程的形式，两直线的平行和 垂直问题，也包括两点间的距离、点到直线的距离、两平行直 线的距离等问题，对圆的考查包括圆的标准方程、一般方程、 弦长问题，也包括直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等 问题.每年高考直线和圆的方程的考查有1～2个小题，也会在 大题中的一部分中考查，重点考查学生的数学运算能力.
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2.1 直线的倾斜角与斜率 2．1.1 倾斜角与斜率
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预习教材，思考问题 问题1 斜率是反映直线相对x轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两 点所确定的方向一致吗？ 问题2 直线的斜率一定存在吗？ 问题3 若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？所有的直线 都有倾斜角吗？
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直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，_x_轴__正__向__与__直__线__l_向__上__的__方__向__ 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 示意图如图：
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当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的 倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180° .特别地，当直线l与x轴垂直时， 直线l的倾斜角为 90° .
B．②③
C．③④
D．①④
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1.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标 原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( D ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾 斜角为α－135°
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[例1] 设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转
45° 后 得 直 线 l1 ， 有 下 列 四 个 值 ： ① α ＋ 45° ； ② α ＋ 135° ； ③ α －
45°；④135°－α.则直线l1的倾斜角可能的取值有( )
A．①②
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当x2＝x1时，直线与x轴垂直，直线的倾斜角α＝90°，斜率不存在，此 时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率存 在与不存在两种情况．
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[例2] (1)直线过两点A(1,3)，B(2,7)，求直线的斜率；
(2)求经过两点A(2m,1)，B(m,2)(m∈R)的直线l的斜率；
0°<α<90° k>0
α＝90° 90°<α<180°
不存在
k<0
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[ 例 3] 已知在平面直角坐标系内三点 A(－1,1)，B(1,1)，C(2， 3＋1)． (1)求直线 AB，BC，AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 的斜率 k 的变化范围． 分析：(1)利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)利用数形结合法求 解．