胡广书 数字信号处理课件
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西北大学信息科学与技术学院 2007年
数字频率的特点：
（1）ω是一个连续取值的量； （2）ω的量纲为一种角度的量纲单位：弧度 （rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦或余弦 信号变化的角度，表示了信号相对变化的快慢程 度； （3） 序列对于ω是以2π为周期的，或者说，ω的 独立取值范围为[0,2π)或[-π,π)。
(t )
t
0 单位冲激信号
西北大学信息科学与技术学院
2007年
2.单位阶跃序列
u(n)
u ( n)
{0
1 n0
n0
1
n
0 1 2 3 4 5
u(n)可以表示成很多移位的δ(n)序列之和：
u ( n) ( n k )
k 0
u(n)也可以用来表示移位的δ(n)：
(n) u(n) u(n 1)
西北大学信息科学与技术学院
2007年
下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。 设模拟余弦信号为
x(t ) cos( t ) cos(2ft )
对该 x(t ) 以T为采样间隔进行采样离散,得
x(t )
t nT
cos( nT ) cos(Tn)
cos(2fTn)
将离散后的信号表示成离散余弦序列，即
x1 (n) x(n) RN (n)
0 n N 1
1
1
n
-1
0 1 2 3
4
西北大学信息科学与技术学院
2007年
5.正弦和余弦序列
正弦序列定义为
x(n) A sin(n) 余弦序列定义为
x(n) A cos(n)
其中，A为信号的最 大幅度，ω 称为序列的数 字频率，如图是一个正弦 序列的图形表示。
cos(n) cos[ (n p)]
cos(n p)
只有当 p 2q 时，其中 p, q 均是正整数，上式才 成立，即该余弦序列是一个周期序列，周期等于p ，否则， 该余弦序列不是一个周期序列。
西北大学信息科学与技术学院 2007年
分析 p 2πq 这一条件，可以写成
西北大学信息科学与技术学院 2007年
离散时间信号在幅度上定义成连续 的， 如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。 在 时 间和 幅 度上 都 取离 散 值的 信 号称 为 “数字信号”。因此，离散时间信号并不 等于数字信号，但由于数字信号是幅度量 化得到的，在数学表示和推导中不如序列 形式方便和容易，所以一般都采用离散时 间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。
西北大学信息科学与技术学院
2007年
2.1.2 常用的基本序列
1.单位取样序列
( n)
(n)
1 -1 0 1 2 3 4
n
单位取样序列
{
1
0
n 0 n 0
δ(n)的定义简单而精确，是一 个真实的物理信号，而δ(t)采 用的是极限定义，是一种纯粹 的数学抽象，不表示一种实际 的信号。
西北大学信息科学与技术学院 2007年
若t是定义在时间上的连续变量，称x(t) 为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅 在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间 信号或时域离散信号。离散时间信号可以通 过对连续时间信号的采样得到,这种情况下 把信号记为x(nT) ，T表示的是采样点之间 的时间间隔，n是一个整数。 离散时间信号可以表示成下列形式： ｛x(nT)｝ n=0,±1,±2,±3,...
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2.2 离散时间系统
2.2.1 系统定义
数字信号处理的任何处理都是依靠系统 来完成的,所以系统是数字信号处理的核心， 系统一般包括系统硬件和系统所完成的处理 算法。 系统在数学上定义为将输入序列 x(n)映 射成输出序列 y(n)的唯一性变换或运算。这 种映射是广义的，实际上表示的是一种具体 的处理，或是变换，或是滤波。
2π p q
当上式为整数或有理数时，余弦序列才是周 期序列 ，若为无理数，序列就不是周期序列。 因此，判断一个正弦或余弦序列是否是周期序列 的方法是：用2π 除以它的数字频率ω ，若得出 的是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出 的是无理数，序列就不是周期序列。但无论序列 是否为周期序列，仍把ω 称作序列的数字频率。
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3.实指数序列
x(n) a nu(n)
0n
其中，a为实常数，它的绝对值一般小于1。
a nu (n)
0<a<1
a nu (n)
a 1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
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2007年
x(n) cos( n) cos( Tn)
cos(2fTn)
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可知 或
T 2fT
/ fs 2fs
其中， fs 1/ T 称为采样频率。该式即为数字频率 ω和模拟频率Ω，f 之间关系式，它们是依靠采样间隔T 或采样频率进行关联的。 可以得到 2 /( T ) p / q 整理后可得 pT q(1/ f ) 上式的意义是 p 倍采样周期等于 q 倍信号周期，当 p, q 均为整数时，序列的周期是 p 。
x(n) T[] y(n)
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2.2.2 线形离散时间系统
满足叠加原理的系统，或满足齐次性和可加
性的系统称为线性系统。
设 y1(n)=T[x1(n)]， y2(n)=T[x2(n)] 对任意常数a,b，若 T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] =a y1(n)+b y2(n) 则称T[ ]为线性离散时间系统。
k
x ( n)
2 1 -2 4 -1 -1 -2 0 1 2 3 5 6 7
x(k ) (n k )
-3
n
如图，可以表示成
x(n) 2 (n 2) 0.5 (n 1) 2 (n) (n 1)
1.5 (n 2) (n 4) 2 (n 5) (n 6)
西北大学信列的基本运算
1. 序列加减 若 {x(n)}±{y(n)}={z(n)}, 则 z(n)=x(n)±y(n) 2.序列数乘 若 a{x(n)}={z(n)}, 则 z(n)=ax(n) 其中， a是常数。 3.序列移位 若 {x(n-n0)} ={z(n)}, 则 z(n) = x(n-n0) 其中，n0为整数 4. 序列相乘 若 {x(n)}{y(n)} = {z(n)}, 则 z(n)= x(n)y(n)
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2.1 离散时间信号——序列
2.1.1 序列的定义 2.1.2 常用的基本序列 2.1.3 序列的基本运算
西北大学信息科学与技术学院
2007年
2.1.1 序列的定义
信号在数学上定义为一个函数，这个函 数表示一种信息，通常是关于一个物理系统 的状态或特性的。信号的函数表示是关于一 个或几个独立变量的，关于一个独立变量的 信号称为一维信号，关于多个独立变量的信 号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信 号是一维信号x(t), 一般情况下x(t)为随时 间变化的信号，简称时间信号或时域信号。
西北大学信息科学与技术学院
2007年
6.复指数序列
x(n) e jn cos( n) jsin(n)
该序列也称作复正弦序列，由余弦序列作实 部，正弦序列作虚部构成 。ω 称为复指数序列的 数字频率，复指数序列在实际中不存在，它是为 了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性 和正弦或余弦序列的特性基本一致。
西北大学信息科学与技术学院
2007年
在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n 下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区 别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种 数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为： ｛x(n)｝ n=0,±1,±2,±3,... {x(n)}定义在n等于整数点上，在n不等于 整数点上，{x(n)}没有定义，但并不表示信 号值为零。从数学的角度看，上面的定义式 表示一个序列，因此也把离散时间信号称作 离散时间序列，简称序列 。
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系统可以表示为
y(n) T [ x(n)]
其中，符号T[ ]表示系统的映射或处理，可以把 T[ ]简称为系统。 系统的图形表示如下图所示，输入x(n)称为 系统的激励，输出y(n)称为系统的响应。由于它 们均为离散时间信号，将系统T[ ]称为离散时间 系统或时域离散系统。
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δ（n）序列是一种最基本的序列，任何一个序列 x(n)可以表示成单位取样序列δ （n）的移位加权和， 如下式所示：
x(n) ...x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1)
x(2) (n 2) ...
ax1(n) ax 2(n) b y1(n) y 2(n) 不满足可加性
所以，该系统是非线性系统。
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2007年
[例2.1] 证明由线性方程表示的系统
y(n) ax(n) b a, b为常数
是非线性系统。 证明 设 y1(n) T [ x1(n)] ax1(n) b
y 2(n) T [ x 2(n)] ax 2(n) b
T [ x1(n) x2(n)] a[ x1(n) x2(n)] b
n
n
1 sin( n) 4
1 5 6 7 0 1 2 3 4 8 9 10 11
n
正弦序列
西北大学信息科学与技术学院 2007年
若
x(n) x(n lN )
l 其中， 是整数, N 为大于零的整数。称 x(n) 是一个周 期为N 点的周期序列，这个周期对应的数字频率为 ω =2π /N，下面以余弦序列为例来证明数字频率和周期的 关系。 假设余弦序列可以写成
任何一个信号可以表示成单位采样序列的线性组合即系统对的响应为设系统对单位采样序列的响应为称为系统的单位采样响应它是描述系统的一个非常重要的信号
第2章 离散时间信号和离散时间系统
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 离散时间信号——序列 离散时间系统 系统的稳定性和因果性 离散时间信号和系统的频域表示 序列傅里叶变换的对称性质 连续时间信号的采样 Z变换 系统函数 系统的信号流图
西北大学信息科学与技术学院
2007年
推广到一般情况，设 yk(n) = T[xk(n)] ， 线性系统满足
N N k 1 k 1
k=1，2，...N
N
T [ a k xk (n)] a k T [ xk (n)] a k y k (n)
k 1
1≤k≤N 线性系统的特点是多个输入的线性组合的系 统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合。
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5.序列反转 若 {x(-n)} = {z(n)}, 则 z(n) = x(-n) 6.序列卷积 若 {x(n)}*{y(n)} = {z(n)} 则
z ( n)
k
x(k ) y (n k )
其中，符号“*”表示一种特定的运算形式，称作“卷 积”。 7. 序列加窗 若 {RN(n)}{x(n)} = {z(n)} 则 z(n) = x(n)RN(n) n = 0,1,2， … ，N-1
4.矩形序列
RN(n)
R 4( n)
1
{
1
0
0 n N 1
n
n为其他
0
1
2
3
4
该序列称为矩形序列，也称作“矩形窗”，其中 RN ，N称为窗的宽度。(n) 可以用来得到一个有限长( 宽)序列，通过下式运算把一个无限长或很长序列变 x1 成长度为N点的序列(n) x1(n) 的图形如下图所示 ， ： X (n)
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序列除了数学表达式外，还常常采用图形方 式来表示，如图2.1所示。虽然横坐标画成一 条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才 有意义。
x(n)
7 8 9 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 10 11
n
图2.1 离散时间信号的图形表示
数字频率的特点：
（1）ω是一个连续取值的量； （2）ω的量纲为一种角度的量纲单位：弧度 （rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦或余弦 信号变化的角度，表示了信号相对变化的快慢程 度； （3） 序列对于ω是以2π为周期的，或者说，ω的 独立取值范围为[0,2π)或[-π,π)。
(t )
t
0 单位冲激信号
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2.单位阶跃序列
u(n)
u ( n)
{0
1 n0
n0
1
n
0 1 2 3 4 5
u(n)可以表示成很多移位的δ(n)序列之和：
u ( n) ( n k )
k 0
u(n)也可以用来表示移位的δ(n)：
(n) u(n) u(n 1)
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下面来说明模拟频率和数字频率之间的关系。 设模拟余弦信号为
x(t ) cos( t ) cos(2ft )
对该 x(t ) 以T为采样间隔进行采样离散,得
x(t )
t nT
cos( nT ) cos(Tn)
cos(2fTn)
将离散后的信号表示成离散余弦序列，即
x1 (n) x(n) RN (n)
0 n N 1
1
1
n
-1
0 1 2 3
4
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5.正弦和余弦序列
正弦序列定义为
x(n) A sin(n) 余弦序列定义为
x(n) A cos(n)
其中，A为信号的最 大幅度，ω 称为序列的数 字频率，如图是一个正弦 序列的图形表示。
cos(n) cos[ (n p)]
cos(n p)
只有当 p 2q 时，其中 p, q 均是正整数，上式才 成立，即该余弦序列是一个周期序列，周期等于p ，否则， 该余弦序列不是一个周期序列。
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分析 p 2πq 这一条件，可以写成
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离散时间信号在幅度上定义成连续 的， 如果将幅度进行量化，一般为等间隔量化。 在 时 间和 幅 度上 都 取离 散 值的 信 号称 为 “数字信号”。因此，离散时间信号并不 等于数字信号，但由于数字信号是幅度量 化得到的，在数学表示和推导中不如序列 形式方便和容易，所以一般都采用离散时 间信号来讨论数字信号处理的理论和算法。
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2.1.2 常用的基本序列
1.单位取样序列
( n)
(n)
1 -1 0 1 2 3 4
n
单位取样序列
{
1
0
n 0 n 0
δ(n)的定义简单而精确，是一 个真实的物理信号，而δ(t)采 用的是极限定义，是一种纯粹 的数学抽象，不表示一种实际 的信号。
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若t是定义在时间上的连续变量，称x(t) 为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅 在时间的离散点上取值，称x(t)为离散时间 信号或时域离散信号。离散时间信号可以通 过对连续时间信号的采样得到,这种情况下 把信号记为x(nT) ，T表示的是采样点之间 的时间间隔，n是一个整数。 离散时间信号可以表示成下列形式： ｛x(nT)｝ n=0,±1,±2,±3,...
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2.2 离散时间系统
2.2.1 系统定义
数字信号处理的任何处理都是依靠系统 来完成的,所以系统是数字信号处理的核心， 系统一般包括系统硬件和系统所完成的处理 算法。 系统在数学上定义为将输入序列 x(n)映 射成输出序列 y(n)的唯一性变换或运算。这 种映射是广义的，实际上表示的是一种具体 的处理，或是变换，或是滤波。
2π p q
当上式为整数或有理数时，余弦序列才是周 期序列 ，若为无理数，序列就不是周期序列。 因此，判断一个正弦或余弦序列是否是周期序列 的方法是：用2π 除以它的数字频率ω ，若得出 的是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出 的是无理数，序列就不是周期序列。但无论序列 是否为周期序列，仍把ω 称作序列的数字频率。
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3.实指数序列
x(n) a nu(n)
0n
其中，a为实常数，它的绝对值一般小于1。
a nu (n)
0<a<1
a nu (n)
a 1
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n
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x(n) cos( n) cos( Tn)
cos(2fTn)
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可知 或
T 2fT
/ fs 2fs
其中， fs 1/ T 称为采样频率。该式即为数字频率 ω和模拟频率Ω，f 之间关系式，它们是依靠采样间隔T 或采样频率进行关联的。 可以得到 2 /( T ) p / q 整理后可得 pT q(1/ f ) 上式的意义是 p 倍采样周期等于 q 倍信号周期，当 p, q 均为整数时，序列的周期是 p 。
x(n) T[] y(n)
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2.2.2 线形离散时间系统
满足叠加原理的系统，或满足齐次性和可加
性的系统称为线性系统。
设 y1(n)=T[x1(n)]， y2(n)=T[x2(n)] 对任意常数a,b，若 T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)] =a y1(n)+b y2(n) 则称T[ ]为线性离散时间系统。
k
x ( n)
2 1 -2 4 -1 -1 -2 0 1 2 3 5 6 7
x(k ) (n k )
-3
n
如图，可以表示成
x(n) 2 (n 2) 0.5 (n 1) 2 (n) (n 1)
1.5 (n 2) (n 4) 2 (n 5) (n 6)
西北大学信列的基本运算
1. 序列加减 若 {x(n)}±{y(n)}={z(n)}, 则 z(n)=x(n)±y(n) 2.序列数乘 若 a{x(n)}={z(n)}, 则 z(n)=ax(n) 其中， a是常数。 3.序列移位 若 {x(n-n0)} ={z(n)}, 则 z(n) = x(n-n0) 其中，n0为整数 4. 序列相乘 若 {x(n)}{y(n)} = {z(n)}, 则 z(n)= x(n)y(n)
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2.1 离散时间信号——序列
2.1.1 序列的定义 2.1.2 常用的基本序列 2.1.3 序列的基本运算
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2.1.1 序列的定义
信号在数学上定义为一个函数，这个函 数表示一种信息，通常是关于一个物理系统 的状态或特性的。信号的函数表示是关于一 个或几个独立变量的，关于一个独立变量的 信号称为一维信号，关于多个独立变量的信 号称为多维信号。在本书中，主要讨论的信 号是一维信号x(t), 一般情况下x(t)为随时 间变化的信号，简称时间信号或时域信号。
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6.复指数序列
x(n) e jn cos( n) jsin(n)
该序列也称作复正弦序列，由余弦序列作实 部，正弦序列作虚部构成 。ω 称为复指数序列的 数字频率，复指数序列在实际中不存在，它是为 了数学上的表示和分析方便而引入的，它的特性 和正弦或余弦序列的特性基本一致。
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在大多数DSP系统中，x(nT)的存放是按n 下标来放置的，不同的x(nT)只要靠n就可区 别。因此，将x(nT)表示为x(n)，这是一种 数学的抽象。所以一个离散时间信号定义为： ｛x(n)｝ n=0,±1,±2,±3,... {x(n)}定义在n等于整数点上，在n不等于 整数点上，{x(n)}没有定义，但并不表示信 号值为零。从数学的角度看，上面的定义式 表示一个序列，因此也把离散时间信号称作 离散时间序列，简称序列 。
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系统可以表示为
y(n) T [ x(n)]
其中，符号T[ ]表示系统的映射或处理，可以把 T[ ]简称为系统。 系统的图形表示如下图所示，输入x(n)称为 系统的激励，输出y(n)称为系统的响应。由于它 们均为离散时间信号，将系统T[ ]称为离散时间 系统或时域离散系统。
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δ（n）序列是一种最基本的序列，任何一个序列 x(n)可以表示成单位取样序列δ （n）的移位加权和， 如下式所示：
x(n) ...x(2) (n 2) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1)
x(2) (n 2) ...
ax1(n) ax 2(n) b y1(n) y 2(n) 不满足可加性
所以，该系统是非线性系统。
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[例2.1] 证明由线性方程表示的系统
y(n) ax(n) b a, b为常数
是非线性系统。 证明 设 y1(n) T [ x1(n)] ax1(n) b
y 2(n) T [ x 2(n)] ax 2(n) b
T [ x1(n) x2(n)] a[ x1(n) x2(n)] b
n
n
1 sin( n) 4
1 5 6 7 0 1 2 3 4 8 9 10 11
n
正弦序列
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若
x(n) x(n lN )
l 其中， 是整数, N 为大于零的整数。称 x(n) 是一个周 期为N 点的周期序列，这个周期对应的数字频率为 ω =2π /N，下面以余弦序列为例来证明数字频率和周期的 关系。 假设余弦序列可以写成
任何一个信号可以表示成单位采样序列的线性组合即系统对的响应为设系统对单位采样序列的响应为称为系统的单位采样响应它是描述系统的一个非常重要的信号
第2章 离散时间信号和离散时间系统
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 离散时间信号——序列 离散时间系统 系统的稳定性和因果性 离散时间信号和系统的频域表示 序列傅里叶变换的对称性质 连续时间信号的采样 Z变换 系统函数 系统的信号流图
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推广到一般情况，设 yk(n) = T[xk(n)] ， 线性系统满足
N N k 1 k 1
k=1，2，...N
N
T [ a k xk (n)] a k T [ xk (n)] a k y k (n)
k 1
1≤k≤N 线性系统的特点是多个输入的线性组合的系 统输出等于各输入单独作用的输出的线性组合。
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5.序列反转 若 {x(-n)} = {z(n)}, 则 z(n) = x(-n) 6.序列卷积 若 {x(n)}*{y(n)} = {z(n)} 则
z ( n)
k
x(k ) y (n k )
其中，符号“*”表示一种特定的运算形式，称作“卷 积”。 7. 序列加窗 若 {RN(n)}{x(n)} = {z(n)} 则 z(n) = x(n)RN(n) n = 0,1,2， … ，N-1
4.矩形序列
RN(n)
R 4( n)
1
{
1
0
0 n N 1
n
n为其他
0
1
2
3
4
该序列称为矩形序列，也称作“矩形窗”，其中 RN ，N称为窗的宽度。(n) 可以用来得到一个有限长( 宽)序列，通过下式运算把一个无限长或很长序列变 x1 成长度为N点的序列(n) x1(n) 的图形如下图所示 ， ： X (n)
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序列除了数学表达式外，还常常采用图形方 式来表示，如图2.1所示。虽然横坐标画成一 条连续的直线，但x(n)仅仅对于整数的n值才 有意义。
x(n)
7 8 9 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 10 11
n
图2.1 离散时间信号的图形表示