2021-2022学年河北省石家庄市藁城八中九年级(上)第一次段考数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年河北省石家庄市藁城八中九年级（上）第一次段
考数学试卷
1.下列方程中为一元二次方程的是( )
A. x2=1
B. (x+2)(x−1)=x2
C. 10y=4x2
D. x2+1
=3
x
2.已知关于x的一元二次方程ax2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )
A. a≥−4
B. a>−4
C. a≥−4且a≠0
D. a>−4且a≠0
3.把方程x2−8x−84=0化成(x+m)2=n的形式为( )
A. (x−4)2=100
B. (x−16)2=100
C. (x−4)2=84
D. (x−16)2=84
4.已知直角三角形的两条边长分别是方程x2−14x+48=0的两个根，则此三角形的第三边是
( )
A. 6或8
B. 10或2√7
C. 10或8
D. 2√7
5.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x−1=0中，有实数
根的方程有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
6.若抛物线y=mx m2+m开口向下，则m的值为( )
A. 2
B. −2
C. ±2
D. 1或2
7.已知抛物线y=ax2与y=4x2的形状相同，则a的值是( )
A. 4
B. −4
C. ±4
D. 1
8.将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )
A. y=(x−1)2+2
B. y=(x+1)2+2
C. y=(x−1)2−2
D. y=(x+1)2−2
9.函数y=ax2−1与y=ax(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.已知抛物线y=−(x+1)2上的两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，如果x1<x2<−1，那么下列结论
一定成立的是( )
A. y1<y2<0
B. 0<y1<y2
C. 0<y2<y1
D. y2<y1<0
11.若抛物线y=(x−m)2+m+1的顶点在第二象限，则m的取值范围为( )
A. m>1
B. m>0
C. m>−1
D. −1<m<0
12.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x−10234
y50−4−30
下列结论正确的是( )
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线x=2
C. 当0≤x≤4时，y≥0
D. 若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x1<x2
13.已知二次函数y=−2(x+b)2，当x<−3时，y随x的增大而增大，当x>−3时，y随x的增
大而减小，则当x=1时，y的值为( )
A. −12
B. 12
C. 32
D. −32
14.对于二次函数y=2x2−3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A. −1≤y≤5
B. −5≤y≤5
C. −3≤y≤5
D. −2≤y≤5
15.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为( )
A. −2
B. −4
C. 2
D. 4
16.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结
论中不正确的有个.( )
①abc>0；
②2a+b=0；
③9a+3b+c<0；
④4ac−b2<0；
⑤a+b≥m(am+b)(m为任意实数).
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
17.二次函数y=x2+1的顶点坐标为______.
18.已知二次函数y=(m−3)x2的图象开口向下，则m的取值范围是______.
19.若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=−2，则代数式6a−3b+2的值为
______.
20.有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感．如果设每轮
传染中平均一个人传染x个人，那么可列方程为______.
21.二次函数y=x2−2x的图象的对称轴是直线______ .
22.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个
交点坐标为(−4,0)，对称轴为x=−1，则y>0时，x的取值范围______.
23.(1)解方程：2x2+1=3x；
(2)将二次函数y=1
2x2−3x+3
2
配方成y=a(x−ℎ)2+k的形式．
24.如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,6)，对称轴为直线
x=2，顶点为D.求二次函数的解析式及四边形ADBC的面积．
25.2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人
类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
(1)每轮传染中平均每个人传染了几个人？
(2)如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少
人患病？
26.某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定
降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，设该款口罩每盒降价x元，每星期的销售量为y盒．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每盒降价多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润为多少元？
(3)若该网店某星期获得了6480元的利润，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？
27.抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,−3).
(1)抛物线的对称轴是直线______，k的值是______；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、由已知方程得到：x−3=0，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：A.
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得a≠0且Δ=(−4)2−4a×(−1)>0，
解得a>−4且a≠0，
故选：D.
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且Δ=(−4)2−4a×(−1)>0，然后求出a的范围后对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−8x−84=0
∴x2−8x=84
∴x2−8x+16=84+16
∴(x−4)2=100
故选：A.
此题考查了配方法，在配方时，把常数项移项后，二次项系数化1的情况下，应该在左右两边同时加上一次项系数一半的平方．
配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边；
(2)把二次项的系数化为1；
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解法和勾股定理的应用，由方程可以求出直角三角形的两条边长，再根据勾股定理求三角形的第三边．
【解答】
解：解方程x2−14x+48=0，
即(x−6)(x−8)=0，
得：x1=6，x2=8，
∴当6和8是直角三角形的两直角边时，第三边是斜边，长为√62+82=10；
当8是斜边时，第三边是直角边，长为√82−62=2√7，
故直角三角形的第三边是10或2√7.
故选B.
5.【答案】B
【解析】解：①、方程x2+3x+7=0的△=b2−4ac=9−28=−19<0，∴没有实数根；
②、方程x2+4=0的△=b2−4ac=0−16=−16<0，∴方程没有实数根；
③、x2+x−1=0的△=b2−4ac=1+4=5>0，∴有实数根．
故选：B.
计算各选项中方程的根的判别式△的符号后，判断根的情况．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
6.【答案】B
【解析】解：由y=mx m2+m的开口向下，得：
{m2+m=2
，
m<0
m=−2，m=1(不符合题意要舍去)，
故选：B.
根据二次函数的二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二，可得方程，根据解方程，可
得答案．
本题考查了二次函数的定义，利用二次项的系数小于零开口向下，二次项的次数为二得出方程组是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=ax2与y=4x2的形状相同，
∴|a|=4，
∴a=±4.
故选：C.
两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等，据此求解即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，用到的知识点：两条抛物线的形状相同，即二次项系数的绝对值相等．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y= (x−1)2+2.
故选：A.
9.【答案】B
【解析】解：由函数y=ax2−1可知抛物线与y轴交于点(0,−1)，故C、D错误；
A、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a<0，故A错误；
B、由抛物线可知，a>0，由直线可知，a>0，故B正确；
故选：B.
本题可先抛物线与y轴的交点排除C、D，然后根据一次函数y=ax图象得到a的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．
本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，熟记一次函数与二次函数的有关性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵y=−(x+1)2，
∴a=−1<0，即抛物线开口向下，
∴抛物线y有最大值为0，
∵抛物线y=−(x+1)2对称轴为直线x=−1，
而x1<x2<−1，
∴y1<y2<0.
故选A.
根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x+1)2的开口向下，有最大值为0，对称轴为直线x=−1，根据x1<x2<−1，x1、x2在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以x1<x2<−1时，y1<y2<0.本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=−b
；在对
2a
称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小．
11.【答案】D
【解析】解：∵y=(x−m)2+(m+1)，
∴顶点为(m,m+1)，
∵顶点在第二象限，
∴m<0，m+1>0，
∴−1<m<0，
故选：D.
求出函数的顶点坐标为(m,m+1)，再由第二象限点的坐标特点的得到：m<0，m+1>0即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数顶点坐标的求法，结合平面象限内点的坐标特点求解是关键．
12.【答案】B
【解析】解：由表格可得，
=2，故选项B正确；
该抛物线的对称轴为直线x=0+4
2
该抛物线的开口向上，故选项A错误；
当0≤x≤4时，y≤0，故选项C错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若A(x1,2)，B(x2,3)是抛物线上两点，则x1<x2或x2<x1，故选项D错误；
故选：B.
根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13.【答案】D
【解析】解：∵y=−2(x+b)2，
∴其对称轴方程为x=−b，
又当x<−3时，y随x的增大而增大，当x>−3时，y随x的增大而减小，
∴其对称轴为x=−3，
∴−b=−3，解得b=3，
∴二次函数为y=−2(x+3)2，
把x=1代入得，y=−2(1+3)2=−32；
故选：D.
根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到b的值，可求得二次函数的解析式，然后把x=1代入解析式即可求得答案．
本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵二次函数的解析式为y=2x2−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵a=2>0，
∴抛物线开口向上，
∵−1≤x≤2，
当x=0时，取得最小值y=−3，
当x=−1时，y=−1，
当x=2时，y=5，
∴当−1≤x≤2时，y的取值范围是−3≤y≤5，
故选：C.
由抛物线解析式可得对称轴为直线x=0，且开口向上，再由−1≤x≤2可知，当x=0时，取得最小值，当x=2时，取得最大值，即可求出答案．
本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．
15.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查二次函数图象上点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解
题的关键．
即可求解b，最后代入坐标根据(−2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴是x=b
2
求出n.
【解答】
解：抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，
可知函数的对称轴x=1，
=1，
∴b
2
∴b=2；
∴y=−x2+2x+4，
将点(−2,n)代入函数解析式，可得n=−4；
故选B.
16.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
=1，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b
2a
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点坐标在x轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，所以①错误；
∵b=−2a，
∴2a+b=0，所以②正确；
∵x=3时，y<0，
∴9a+3b+c<0，所以③正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2−4ac>0，即4ac−b2<0，所以④正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c(m为任意实数)，
即a+b≥m(am+b)，所以⑤正确．
故选：C.
利用抛物线开口方向得到a<0，根据抛物线的对称性得到b=−2a<0，根据抛物线与y轴的交点位置得到c>0，则可对①进行判断；利用x=3，y<0可对③进行判断；利用判别式的意义可对④进行判断；利用二次函数的最值问题可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
17.【答案】(0,1)
【解析】解：由顶点式可知y=x2+1的顶点为(0,1).
故答案为：(0,1).
利用顶点式即可直接找到顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式确定二次函数的顶点坐标是解决二次函数的有关题目的关键．
18.【答案】m<3
【解析】解：∵二次函数y=(m−3)x2的图象开口向下，
∴m−3<0，
∴m<3，
故答案为：m<3.
根据图象的开口方向得到m−3<0，从而确定m的取值范围．
此题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．
19.【答案】−7
【解析】解：原式=3(2a−b)+2，
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0的一个根为x=−2，
∴4a−2b+6=0，
4a−2b=−6，
∴2a−b=−3，
∴原式=3×(−3)+2=−9+2=−7，
故答案为：−7.
先将代数式变形整理，然后将x=−2代入原方程，利用整体思想代入求值．
本题考查代数式求值，一元二次方程的解，理解方程的解的概念，运用整体思想解题是关键．
20.【答案】2(1+x)2=128
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：
2(1+x)2=128.
故答案为：2(1+x)2=128.
此题的等量关系为：经过两轮传染后的人数=128，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
21.【答案】x=1
【解析】解：∵y=x2−2x，
∴y=(x−1)2−1，
∴二次函数的图象对称轴为x=1.
故答案为x=1.
先把二次函数y=x2−2x写成顶点坐标式y=(x−1)2−1，进而写出图象的对称轴方程．
本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶点坐标式，此题难度不大．
22.【答案】x<−4或x>2
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−4,0)，对称轴为x=−1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(2,0)，
∴y>0时，x的取值范围为x<−4或x>2.
故答案为x<−4或x>2.
利用抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后利用函数图形写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；△=b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质．
23.【答案】解：(1)∵2x2−3x+1=0，
∴(2x−1)(x−1)=0，
解得：x1=1
2
，x2=1；
(2)y=1
2
(x2−6x)+
3
2
=1
2
(x2−6x+9−9)+
3
2
=1
2
(x−3)2−3.
【解析】(1)直接利用十字相乘法解方程得出答案；
(2)直接利用配方法将原式变形得出答案．
此题主要考查了因式分解法解方程以及二次函数的三种形式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
24.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y =a(x −2)2+k ，
把A(1,0)，C(0,6)代入得：{a +k =04a +k =6
， 解得：{a =2k =−2
， 则二次函数解析式为y =2(x −2)2−2=2x 2−8x +6；
(2)∵y =2(x −2)2−2，
∴顶点D 的坐标为(2,−2)，
由A(1,0)，对称轴为直线x =2可知另一个与x 轴的交点B(3,0)，
∴AB =2，
∴S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC =12×2×2+12×2×6=8. 【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)根据二次函数的对称轴为直线x =2，设出二次函数解析式，把A 与C 坐标代入求出a 与k 的值，确定出二次函数解析式；
(2)找出函数图象顶点D 的坐标，进而根据对称性求得B 的坐标，根据S 四边形ADBC =S △ABD +S △ABC 求得即可．
25.【答案】解：(1)设每轮传染中平均每个人传染了x 个人，
依题意，得：1+x +x(1+x)=256，
解得：x 1=15，x 2=−17(不合题意，舍去).
答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
(2)256×(1+15)=4096(人).
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有4096人患病．
【解析】(1)设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有256人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(2)根据经过三轮传染后患病人数=经过两轮传染后患病人数×(1+15)，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26.【答案】解：(1)根据题意可得：y=300+30x；
(2)设每星期利润为W元，根据题意可得：
W=(60−x−40)(30x+300)=−30x2+300x+6000=−30(x−5)2+6750，
∵−30<0，
∴x=5时，W最大值=6750.
答：每盒降5元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；
(3)当w=6480时，即−30(x−5)2+6750=6480，
解得：x1=8，x2=2，
则销售量为：300+30×8=540(盒)，或300+30×2=360(盒)，
答：该网店某星期获得了6480元的利润时，销售该款口罩540盒或360盒．
【解析】(1)根据每降价1元，每星期可多卖30盒，列出函数关系式即可；
(2))设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题；
(3)根据该网店某星期获得了6480元的利润列出方程求出每盒降价，再求出销售量．
本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
27.【答案】x=−1−4
【解析】解：(1)∵抛物线的解析式为：y=(x+1)2+k，
∴其对称轴为：直线x=−1.
∵抛物线y=(x+1)2+k过点C(0,−3)，
∴−3=(0+1)2+k，解得k=−4；
故答案为：x=−1，−4；
(2)如图，∵两点之间线段最短，
∴当P点在线段AC上就可使PA+PC的值最小．
又∵P点要在对称轴上，
∴P点应为线段AC与对称轴直线x=−1的交点，
由(1)可知，抛物线的表达式为：y=(x+1)2−4=x2+2x−
3.
令y =0，则x 2+2x −3=0.
解得：x 1=−3，x 2=1.
∴点A 、B 的坐标分别是A(−3,0)、B(1,0)，
设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则{−3k +b =0b =−3
， 解得{k =−1b =−3
， ∴直线AC 的表达式为y =−x −3，
当x =−1时，y =−(−1)−3=−2.
∴此时点P 的坐标为(−1,−2)；
(3)依题意得：当点M 运动到抛物线的顶点时，△AMB 的面积最大．
∵抛物线表达式为y =(x +1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)，即MD =4，
∴点M 的坐标为(−1,−4)，
∴△AMB 的最大面积S △AMB =12AB ⋅MD =12×(3+1)×4=8.
(1)由抛物线的解析式即可得出其对称轴方程，再把点C(0,−3)代入抛物线的解析式即可求出k 的值；
(2)由两点之间线段最短可知当P 点在线段AC 上就可使PA +PC 的值最小，再由P 点要在对称轴上，可知P 点应为线段AC 与对称轴直线x =−1的交点，由(1)中求出的C 点坐标即可得出抛物线的表达式，故可求出A 、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，把x =−1代入即可求出P 点坐标；
(3)由于线段AB 为定值，所以当B 点在抛物线的顶点上△ABM 的面积最大，由A 、B 、M 三点的坐标即可得出AB 及BD 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，三角形的面积公式、两点之间线段最短等相关知识，难度适中．。