河南省三门峡市陕州中学2016届高三数学下学期尖子生专题训练试题(四)理

2015-2016学年下期高三尖子生专题训练（四）
（理科）数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；) 1．复数
212i
i
+-的共轭复数是 A.35
i - B.35
i C.i - D.i 2．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0) 3．在等差数列{}8111
62
n a a a =
+中，，则数列前9项之和9S 等于（ ） A ．24B ．48 C ．72 D ．108
4．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3；p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
2π3，π
p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
π3，π.
其中的真命题是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4 5．若函数2
2
()(sin cos )2cos f x x x x m =++-在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1,22⎡⎤⎣⎦ B. []1,2- C. 1,22⎡-+⎣ D. []1,3
6．如图，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正．．确．的是( ) A ．AC ⊥SB B ．AB ∥平面SCD
C ．SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ．AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
7． 已知
324log 0.3
log 3.4
log 3.6
15
,5
,,5a b c ⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
则( )．
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．c a b >>
8．设⎩
⎨⎧<+≥-=)10()],6([)
10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为
（ ）
A ．23π
B ．83π
C ．43
D ．163
π
10．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴
是53x π
=，则函数()sin cos g x a x x =+ 的最大值是（ ） A ．223 B ．233 C ．43
D ．263
11．设1e 、2e 分别为具有公共焦点1F 、2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 是两曲线的一个公共点，且满足
1212P F P F F F +=,则12
22
12
e e e e +的值为 A.
22
B.2
C.2
D.1
12．设()f x 是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有(1)(1)0f x f x -++=
恒成立. 如果实数m n 、满足不等式组22
(623)(8)03f m m f n n m ⎧-++-<⎨>⎩
，那么22
m n +的取值范围是
A.(3, 7)
B.(9, 25)
C.(13, 49)
D. (9, 49)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中横线上．) 13．由曲线y x =
，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为________;
14．在ABC ∆中，60,3,C AB AB =︒=边上的高为4
,3
则AC+BC=.
15．若点P 在曲线C 1：
22116
9
x y -
=上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在
曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则 | PQ |－| PR | 的最大值是．
16．设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则
①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10<⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5；③f (x )既不是奇函数也不是偶函数； ④f (x )的单调递增区间是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．
⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C
2.
(1)求sin C 的值；
(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．
18．已知等差数列}{n a 的公差不为零，且53=a ，521,,a a a 成等比数列． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列}{n b 满足2
1123222n n n b b b b a -+++
+=，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
19．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，
且C 1H ＝
5.
(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2)求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；
(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．
20．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点
D ，
E ，求AD →·EB →
的最小值．
21．已知函数()1(0,)
x
f x e a x a e =-->为自然对数的底数. ⑴求函数()f x 的最小值；
⑵若()f x ≥0对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的值； ⑶
在
⑵
的
条
件
下
，
证
明
：
121()()()()(*)1
n n n n n n e n n n n n e -++⋅⋅⋅++<∈-N 其中.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
作答时请写清题号.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D,过点B 作圆O 的切线，
与CA 的延长线交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F,延长AF
与CB 的延长线相交于点P .
（Ⅰ）求证：BF=EF;
（Ⅱ）求证：PA 是圆O 的切线.
23）(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，l 是过定点P （4,2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位）中，曲线C 的极坐标方程为
4cos ρθ=.
（Ⅰ）写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与直线l 相交于不同两点M 、N,求PM PN +的取值范围.
24) (本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式2324x a x x -++≥+的解集为A.
（Ⅰ）若a=1，求A;（Ⅱ）若A=R,求a 的取值范围. 参考答案
一、选择题；（1）C 2，C 3.D 4. A5. A. 6. D7. C 8. B 9. B 10. A 11. A 12. C 二、填空题;13.16
3
14. 11 15. 10 16. ①③ 三、解答题
17．【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos C
2＋1＝2sin 2C
2，
由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝1
2，两边平方得：sin C ＝3
4
.
(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74
，
由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋2
7，所以c ＝
7＋1.
18. （1）解：在等差数列中，设公差为)0(≠d d ，
2
152a a a =，∴2333)()2)(2(d a d a d a -=+-， ……2分
化简得01052=-d d ，2=∴d ……4分
122)3(5)3(3-=-+=-+=∴n n d n a a n ……6分
（2）解：1123242n n n b b b b a -++++=①
1123112422n n n n n b b b b b a -+++++++=②
②-①得： 221=⋅+n n b ，n n b -+=∴112……8分
当1=n 时，111==a b ⎩⎨
⎧=≥=∴-1
,,12,22n n b n n ……10分
22
1
3--=∴n n T ……12分
19.【解答】 方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点．依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，
C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．
(1)易得＝(－2，－
2，
5)，＝(－2
2，0,0)，于是
cos
〈，〉＝＝
43×2
2
＝23. 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23.
(2)易知＝(0,2
2，0)，＝(－
2，－
2，
5)．
设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，
则
即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x －2y ＋5z ＝0，
22y ＝0.
不妨令x ＝
5，可得m ＝(
5，0，2)．
同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则即⎩⎪⎨
⎪⎧
－2x －2y ＋5z ＝0，－22x ＝0.
不妨令y ＝
5，可得n ＝(0，
5，2)． 于是c os 〈m ，n 〉＝
m ·n
|m|·|n|
＝
27·
7＝2
7
， 从而sin 〈m ，n 〉＝
3
57
.
所以二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值为
3
57
.
(3)由N 为棱B 1C 1的中点，得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，322，
52.
设M (a ，b,0)，则＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22－a ，322－b ，
52.
由MN ⊥平面A 1B 1C 1，得
即⎩⎪⎨⎪
⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22－a ·(－22)＝0，
⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
22－a ·(－
2)＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫322－b ·(－2)＋52·5＝0.
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝22
，
b ＝2
4，
故M ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，24，0.
因此＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫22，24，0，
所以线段BM 的长||＝104
.
20.【解答】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有
(x －1)2＋y 2－|x |＝1.
化简得y 2＝2x ＋2|x |.
当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.
所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k (x －1)，y 2＝4x
得
k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4
k
2，x 1x 2＝1.
因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1
k
.
设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得
x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.
故·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝||·||＋||·||
＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1
＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1
＝8＋4⎝
⎛⎭⎪⎫k 2
＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16.
当且仅当
k 2＝
1
k 2
，即k ＝±1时，·取最小值16.
21.解：（1）由题意0,()x
a f x e a '>=-， 由()0
x
f x e a '=-=得l n x a =. 当(,l n)x a ∈-∞时, ()0f x '<；当(l n,)x a ∈+∞时，()0f x '>. ∴()f x 在(,l n )a -∞单调递减，在(l n ,)a +∞单调递增. 即()f x 在l n x a =处取得极小值，且为最小值，
其最小值为l n (l n )l n 1l n 1.
a
f a e a a a a a =--=--（4分） （2）()0f x ≥对任意的x ∈R 恒成立，即在x ∈R 上，m i n ()0f x ≥. 由（1），设()l n 1.
g a a aa =--，所以()0g a ≥.
由()1l n 1l n 0
g a a a '=--=-=得1a =. ∴()g a 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减， ∴()g a 在1a =处取得极大值(1)0g =. 因此()0g a ≥的解为1a =，∴1a =.（8分）
（3）由（2）知，因为1a =，所以对任意实数x 均有1x
e x --≥0，即1x
x e +≤.
令k
x n
=-(*,0,1,2,3,1)
n k n ∈=-N …,，则01k
n k e n - <-≤. ∴(1)()k n n k
n k e e n - --=≤.
∴(1)(2)21121()()()()1n n n n n n n n e e e e n n n n
-------+++++++++≤ (1111111)
n
e e e e e ----=<=---.（12分） （22）证明：（Ⅰ） 因为BC 是圆O 的直径，BE 是圆O 的切线，所以EB BC ⊥.又因为AD BC ⊥，所以AD BE ∥，可知BFC DGC ∽△△， FEC GAC ∽△△，所以
BF CF EF CF
DG CG AG CG
==，，所以
BF EF
DG AG
=.
因为G是AD的中点，所以DG AG
=，所以F是BE的中点，BF EF
=.…………（5分）（Ⅱ）如图，连接AO AB
，，因为BC是圆O的直径，所以90
BAC
∠=°．
在Rt BAE
△中，由（Ⅰ）知F是斜边BE的中点，
所以AF FB EF
==，所以FBA FAB
∠=∠.
又因为OA OB
=，所以ABO BAO
∠=∠．
因为BE是圆O的切线，所以90
EBO
∠=°.
因为90
EBO FBA ABO FAB BAO FAO
∠=∠+∠=∠+∠=∠=°，
所以PA是圆O的切线.……………………………………………………………………（10分）
（23）解：（Ⅰ）直线l的参数方程为4cos,(
2sin
x t
t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩
为参数).………………………（2分）因为4cos
ρθ
=，所以24cos
ρρθ
=，所以曲线C的直角坐标方程为224
x y x
+=. …………………………………………………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）将
4cos,
2sin
x t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩
代入22
:4
C x y x
+=中，得24(sin cos)40
t t
αα
+++=，则有
2
12
12
16(sin cos)160,
4(sin cos),
4,
t t
t t
∆αα
αα
⎧=+->
⎪
+=-+
⎨
⎪=
⎩
………………………………………………………（6分）
所以sin cos0
αα>.又[0,π)
α∈，所以π
0,
2
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，
1212
||||||||()
t t t
PN t
PM+=-+
+==
π
4(sin cos)42
4
ααα⎛⎫
+=+
⎪
⎝⎭
，………（8分）
由ππ3π,444α⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭得2πsin 124α⎛
⎫<+ ⎪⎝
⎭，所以||||(4,42]PM PN +∈.………（10分） （24）解：（Ⅰ）当3x -时,原不等式化为3224x x --+, 得3x -； 当1
32
x -<时,原不等式化为424x x -+,得30x -<； 当1
2
x >
时，原不等式化为3224x x ++,得2x ， 综上，{|0A x x =或2}x .………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）当240,x +即2x -时,|2||3|024x a x x -+++成立，
当240,x +>即2x >-时, |2||3||2|324x a x x a x x -++=-+++，得1x a +或1
3
a x -, 所以12a +-或1
1
3
a a -+,得2a -. 综上，a 的取值范围为(],2-∞-.…………………………………………………………（10分）。