控制系统的稳定性分析

自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
n 及对角线上个子行
1 a1 0;
2
a1 a2
a3 0; a4
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4 0;
0 a1 a3
n 0
自动控制原理
§54 乃奎斯特判据
应用乃奎斯特判据不需要求取闭环系统的特征根;而是应用分
npq
2
同理;所有右半平面的零点贡献的角增量为
而在原点
right
p
2
0 0
自动控制原理
综上所述;Ds的总角增量为
le ft rig h t 0n 2 p q•2
推论:如果n次多项式Ds的所有零点都位于复平面左半平面;则当s=jw
代入Ds并命w从0增大到
时;复数Ds的角连续增
当K大时;围绕1; j0点的角度 增量为
:0 G o(j)20
由于围绕1; j0点转了1圈;不 等于零;所以系统不稳定;
:0Go(j)0
自动控制原理
3 关于Gs中含有零极点的处理方法：
当原点处存在开环极点时;其表达式为：;
Go(s)
Ko s
Gn(s)
由于开环极点因子Gs=1/s既不在左半s平面上;也不在右半s 平面上;当由0 变到∞时;原点处开环极点的幅角增量值是不定的; 因而不能应用幅角增量公式来计算;
析法或频率特性实验法获得开环特性 G k w ;即 GwHw 曲线;进
而分析闭环系统的稳定性; 特点： 1 当系统某些环节的传递函数无法用分析法列写时;可以通过
试验来获得这些环节的频率曲线；整个系统的频率曲线也可用实 验法来获得;这样就可系统闭环的稳定性；
2 与劳斯判据相同;不需要求特征方程的根； 3 利用开环传递函数的乃氏图去判断闭环系统的稳定性； 4 除判断稳定性外;还可以指出系统稳定储备相对稳定性;
2 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性; 也就是说;是讨论输入为零;系统仅存在初始偏差不为零时的稳定性; 即讨论自由振荡是收敛还是发散的;
自动控制原理
§52 系统的稳定条件
设定常线性系统的微分方程为：
a n p n a n 1 p n 1 a 1 p a 0 x 0 t b m p m b 1 p b 0 x i t 5 . 1
x 0t L 1 [X 0s] L 1 N D s s i n 1A ie sit
拉氏反变换;有
5 .3
Resi 0
由上式可知;若系统所有特征根的实部均为负值;即
自动控制原理
这样的系统就是稳定的;
ltim x0 t 0
反之;若特征根中有一个或多个根具有正实部时;则零输入将随时间 的推移发散;即
于左半s平面;因此是最小相位系统; 作极坐标草图;先计算极限值：
自动控制原理
=0时，有
A(0) K
{
(0)
0
→∞时，有
A() 0
{
()
270
且增加时有
A( )
{
( )
自动控制原理
依此作极坐标草图如图所示;
判别
当K小时;极坐标轨线围绕 1; j0点的角度增量为
:0Go(j)0
不包围1; j0点;所以系统是稳 定的;
例 设控制系统的特征方程为
试用劳斯判D 据s 判 断s 其4 稳2 定s3 性 3 s2 4 s 3 0
解 首先;由方程系数可知已满足稳定的必要条件; 其次;排劳斯 阵列
s4 1 3 3
s3 2 4 0
s2 1 1
s1 2
s0 3
自动控制原理
由劳斯阵列第一列可知;其系数出现负值;因此系统不稳定;并且 符号变化两次;所以有两个正实部特征根;
在此情况下;可用该行上一行的元素构造一个辅助多项式;并利用这个 多项式方程的导数的系数组成劳斯阵列表中的下一行; 利用辅助多项 式够成的辅助方程;解出特征根;
由此可得到辅助多项式
Ass46s28
dA(s) 4s3 12s ds s 6 1 8 2 0 1 6
由此可得到劳斯阵列
s5 2 12 16 0 s4 1 6 8
故;系统处于零界稳定
自动控制原理
二 赫尔维茨判据 设系统特征方程为
D s a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 0 a 0 0
由其系数可得如下行列式
a1 a3 a5
0
a0 a2 a4
0
0 a10
00
00
自动控制原理 第五章
控制系统的稳定性分析
❖§51 系统稳定性的基本概念 ❖§52 系统的稳定条件 ❖§53 代数稳定判据 ❖§54 乃奎斯特判据 ❖§55 对数幅相频率特性的稳定判据 ❖§56 控制系统的相对稳定性 ❖例题分析 ❖课后习题
自动控制原理
§51 系统稳定性的基本概念
如果一个系统受到扰动;偏离了原来的平衡状态;而当扰动取消后; 这个系统又能够逐渐恢复到原来的状态;则称系统是稳定的; 否则这个 系统是不稳定的;
自动控制原理
一 米哈依洛夫定理
定理：设n次多项式Ds有p个零点在复平面的右半面;有q个零 点在原点上;其余npq个零点位于左半面;则当s=jw代入Ds并命w从
0连续增大 到 时;复数 Djw的角增量应等于
n2pq
2
证明： 方程为一次的情况下
D1sss1
若根在左半平面;则
s1 ajb a0
自动控制原理
对于这种情况;可以认为原点处的开环极点属于左半s平面; 在数 学作如下处理：在s平面的s=0的邻域作一半径为无穷小的半圆绕过 原点;如下页图所示;
自动控制原理
§53 代数稳定判据
一 劳斯判据 1 系统稳定的必要条件: 1特征方程的各项系数都不等于零; 2特征方程的各项系数都不大于零; 2 系统稳定的充要条件: 设系统稳定的特征方程式为
D s a 0 s n a 1 s n 1 a 2 s n 2 a n 1 s a n 0 5 . 4
劳斯判据给出的系统稳定的充分条件是：劳斯阵列中第一列所有项 均为正号; 劳斯阵列是将式的系数排成以下行和列;即为劳斯阵列：
自动控制原理
sn a0 a2 a4 a6
s n1 a1 a 3 a 5 a 7
s n2 b1 b2 b3
b4
s n3 c1 c2 c3
c4
s 2 e1 e2 s1 f1 s0 g
自动控制原理
控制系统稳定性的定义： 若控制系统在任何足够小的初始偏差的作用下;其过渡过程随着
时间的推移;逐渐衰减并趋于零;具有恢复原平衡状态的性能;则称该 系统稳定; 否则;称该系统不稳定;
注意： 1 稳定性是系统自身的固有特性;它取决于系统本身的结构和
参数;而与输入无关；对于纯线性系统来说;系统的稳定与否不与初始 偏差的大小有关; 如果;这个系统是稳定的;就叫做大范围稳定; 而经 过线性化处理的系统都是小偏差稳定;
式中
p
d dt
;若记
Dpanpnan1pn1 a1pa0
Mpbmpmbm 1pm 1 b1pb0
并对5 1作拉氏变换;得
X 0s M D s s X is N D ( (s s) )
5 .2
自动控制原理
式中
M D
s s
G
s
为系统的传递函数;
因为是在零初始条件下;有 则
Xi 0
X
0
s
N (s) D(s)
3 二阶;三阶和四阶系统的劳斯判据
低阶系统的劳斯判据可以化简
1二阶系统; a00a10a20 2三阶系统;各项系数大于零; a1a2 a0a3 3四阶系统;各项系数大于零; a1a2 a0a3; 4 特殊情况
a1a2a3a0a32a12a40
1如果在劳斯判据阵列中任意一行的第一个元素为零;可以用一个
很小的正数 来 代替它
例 设控制系统的特征方程为
s4 2 s2 s2 2 s 1 0
用劳斯判据判断其稳定性
自动控制原理
解 由劳斯阵列
s4 1 1 1 s3 2 2 0 s2 0 1
s1 2 2
s0 1
符号改变一次 符号改变一次
由于劳斯阵列第一列元素的符号不一致;系统不稳定;并且符号改 变两次;所以有两个正实部特征根
ltim x0 t
这样的系统是不稳定的;
自动控制原理
由此可得以下结论： 1 控制系统稳定的充分必要条件是：系统特征方程式的根全部
具有负实部; 系统特征方程式的根就是闭环极点;所以控制系统稳定 的充分必要条件也可以说成是闭环极点全部具有负实部;或说闭环传 递函数的极点全部在S平面的左半面;
2 如特征根相同上述结论仍成立; 3 判断稳定性的关键转变为研究系统的特征根是否具有正实部;
自动控制原理
2劳斯阵列出现整排零 例 设控制系统的特征方程为
s 6 2 s 5 8 s 4 1 2 s 3 2 0 s 2 1 6 s 1 6 0
试用劳斯判据判断其稳定性 解 计算劳斯阵列如下
s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 1 6 8 s3 0 0 0
自动控制原理
Re
b
自动控制原理
若根在右半平面;其角增量如图所示;
j jw
tan 1 b
3
b
a
a
Re
为
2
arctanb
2
a
自动控制原理
现考虑n次多项式 D s ;且在原点有q个零点;可表示为
D s A s q s s 1 s s 2 ( s s n q )
在左半平面中;对于每一个实零点b=0而言;角增量
2
2
2
自动控制原理
也就是说;对于一个稳定的系统而言;当w从0连续增大到 时;开环
传递函数在右半平面的每一个极点使 arg1G (jw )180o；在原点处的
每一个极点使 arg1G (jw )90;
列 系统的开环传递函数为
Go(s)(T1s1)(T2sK1)(T3s1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响 解：这是一个三阶系统;没有开环零点;且开环极点全部位
s3 0 0 0
4 12
s2 3 8
s1 4 /3
s0 8
自动控制原理
从劳斯列表中可只;第一列为出现负数;说明系统在右半平面s 4没有 特征根;但是; 行的各项元素为零;说明虚轴上有共轭虚根;该根可由 辅助方程求得：
s46s280
解该方程;求得系统的共轭虚根：
s1,2 2 j s3,4 2 j
命s=jw;可得
现命w由0增大到 ;从图可以看出角 1 的增量为
D1jwjwajbaj(wb)
1 2 arctan a b 2arc tjanb a
jw
1
s1
tan 1 b
b
a
a Re
自动控制原理
若上式b为负值;则角增量为
2
arctanb
2
a
如图：
j
jw
a
s2
2
tan 1 b a
2
而对于每一对共轭复零点 b b 而言;其中一个的角增量为
另一个为
arctan b
2
a
arctan b
2
a
自动控制原理
所以一对共轭复零点总的角增量为 2arctanb a2arctanb a
而平均一个左半平面零点贡献的角增量为 ;总共有npq个零点;它们
贡献的角增量为
2
left
大n 2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
X i s
X 0 s
自动控制原理
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为 s1 G G ssD KM sK M sksM D b K ss
令：F s 1 G s 1 M D K K s s D K s D K M s K s D D K b s s