专题25 定弦定角(隐圆模型)

隐圆模型---定弦定角【模型专题】
隐圆模型－－－－－定弦定角
【模型分析】
若线段AB的长度及其所对的∠ACB的大小不变，则点C的运动轨迹是以AB为弦的圆．
上运动（不与点A、B重合）
（1）当∠C＜90°时，点C在如图所示的优弧ACB
结论：∠AOB＝2∠C．
上运动（不与点A、B重合）
（2）当∠C＝90°时，点C在AB
结论：弦AB为⊙O的直径．
上运动（不与A、B重合）
（3）当∠C＜90°时，点C在如图所示的劣弧AB
【拓展－－－－定角是特殊角】
【1】在△ABP中，A，B均为定点，点P平面内一动点，且∠APB=30°（或∠APB=150°），则点P在以AB 为边构造的等边△ABC（或△ABC′的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．
【结论2】如图所示，在△ABP中，A，B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=45°（或∠APB=135°），
则点P在以AB为腰构造的等腰直角△ABC（或△ABC′）的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．
【结论3】如图所示，在△ABP中，A，B均为定点，点P为平面内一动点，且∠APB=60°（或∠APB=120°），
则点P在以AB为腰构造的等腰△ABC（或△ABC′）的顶点C（或C′）为圆心的圆上运动．
【解题技巧】
构造隐圆
圆形中一般求一个定点到一动点线段长度的最小值问题的时候一般涉及定弦定角问题．
定弦定角解决问题的步骤：
（1）让动点动一下，观察另一个动点的运动轨迹，发现另一个动点的运动轨迹为一段弧
（2）找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角），（这个补角一般为60°、45°）
（3）找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆，确定圆心位置
（4）计算隐形圆的半径
（5）圆心与所求线段上定点的距离可以求出来
（6）最小值等于圆心到定点之间的距离减去半径
【例题】
1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）
B．210﹣2C．213﹣2D．4
A．3
2
【例题】
2．如图，已知四边形ABCD.
（1）如图①，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；
（2）如图②，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；
（3）如图③，在矩形ABCD中，请你在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P
【变式】
3．在平面直角坐标系中，A(-3，0)，B(3，0)，C(3，4)，点P为任意一点，已知PA⊥PB，则线段PC的最大值为（）
A．3B．5C．8D．10
【变式】
4．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，D点是△ABC所在平面上的一个动点，且∠BDC＝60°，则△DBC 面积的最大值是()
A ．33
B ．3
C ．3
D ．23
【变式】5．如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（）
A ．2
B ．π2
C ．32
D 【变式】6．已知正方形ABCD 边长为2，
E 、
F 分别是BC 、CD 上的动点，且满足BE =CF ，连接AE 、BF ，交点为P 点，则PD 的最小值为_________．
【变式】
7．如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为________
【变式】
8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm．D是BC 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为__．
【变式】
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．
【变式】
10．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG 长的最小值为_____cm．
【变式】
11．如图，边长为23的等边△ABC内接于⊙O，D为劣弧BC 上一点，过点B作BE⊥OD于点E，当点D从点B 运动到点C时，求点E经过的路径长．
沿劣弧BC
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