电路分析第三章线性直流电路
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推荐参考书
• 基本电路理论 C.A 狄苏尔，葛守仁 人民教育出版社 1979
• 电路分析基础（第3版） 李翰荪 高等教育出版社 1993
2.5电容元件
• 电容两极上存储的电荷量与极间电压的关系， 称为库伏关系。
q q
+u -
1、线性电容
若电容的库伏关系是q-u 平面上过原点的一条直 线，称该电容为线性电 容。
R6
I4
4
I3
R3
第3步：与KCL式联立
+R3 IS3
第3步：与KCL式联立
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US 4 R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US 4 R3US3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
支路电流法
第1步：电流源等效变换为电压源。
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6
US4
第2步：列回路KVL式
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US4
3
R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US4 R3US3
u 0
q=Cu
2、线性电容伏安关系
iC
+u -
q=Cu
d q(t)
d u(t)
i (t) = d t = C d t
例：若 u(t) 如图示， i (t) =？
例：
1、 u(t)
US t
0 t0 d u(t)
i (t0) = C d t = • 在电流有限的情况下，电容两端的电压不能突变
例：
3、等效单口网络举例
--实际电源模型
+
i
A+
- Us
R
u
Is
-
B
i
A+
Gu
B-
u= Us-Ri
i= Is-Gu
R=1/G
US=R IS IS=G US
3.2 含源支路
例：
i
+
- 10V
5Ω
A+ u 10/5 -
B
i
A+
5Ω u
B-
3.2 含源支路
例3.2：
2Ω 2Ω
2Ω
+
4V -
2Ω
I
+
4V +
I2 + I3 – I6 = 0 第4步：解方程
例3.3(P47)
支路电压法
第1步：电压源等效变换为电流源。
G1US1
I1 2
G1 G4
1 I2 G2
I5
G5 I6
第2步：列独立节点KCL式 3
G4 US4
G6 I4
4 G3
I3 IS3
支路电压法
第1步：电压源等效变换为电流源。
G1US1
I1 2
方程的求解
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
I2 + I3 – I6 = 0
U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
U21 = R1 I1 - US1
U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5
• 第3步：与KVL式联立。 G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
0
iL +u -
d i(t)
u(t) = L
=0
t
dt
iL •• +u -
•电流恒定，电感为短路
2、线性电感伏安关系
u(t) L di(t) dt
i(t) 1
t
u( )d 1
0 u( )d 1
t
u( )d
L
L
L0
u(0) Hale Waihona Puke Baidu1
t
u( )d
L0
1）端电流变化越快，电压越大
2）在某时刻 t ,端电流 i(t) 不仅仅取决于该时刻的电 压 u (t)，而是取决于从 -到 t 所有时刻的电压值。
电感是记忆元件。
互感元件
i1
i2
)
1
) )
2
1 = 11 + 12 = L1 i1 + M i2 2 = + 21 + 22 = + M i1 + L2 i2
互感元件
i1
M i2
+
+
)
u1
L1
) )
L2
u2
-
-
u1 L1 di1 M di2 dt dt
u2 M di1 L2 di2 dt dt
=Li
2、线性电感伏安关系
iL +u -
=Li d (t) d i(t)
u (t) = d t = L d t 例：若 i (t) 如图示， u (t) =？
例：
1、 i(t)
IS t
0 t0 d i(t)
u (t0) = L d t =
• 在电压有限的情况下，通过电感的电流不能突变
例：
2、 i(t)
2I
-
2Ω
-
I
2Ω
1Ω
2Ω
4V +
-
+ I
-
4V
+
-
I
I
I
2Ω
I
1Ω
2Ω
1Ω
3Ω
4V +
-
+ I
-
4V
+
-
+ I
-
I
I
KVL:
3I + I = 4 I = 1 (A)
2Ω 2Ω
4V
+
-
2Ω
I
+
4/2
2I -
2Ω
I
2Ω 2Ω
I
电路等效变换时， 4/2 应注意保持受控 源的控制支路不 变
I
2/3 Ω
u d
dt
互感元件
i1
M i2
+
*) *
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
-
i1
M i2
+
*)
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
-
i1
M i2
+
+
)
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
*
-
i1
M i2
+
) *
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
-
M取+号
M取-号
第3章 线性直流电路
• 3.1 直流电路
– 电路的独立电源均为恒定电源 – 电路中的电感元件相当于短路、电容元件
方程的求解
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
I
3.3 支路法
1、概述 若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1)
各支路的伏安关系方程 数 b
总共方程数
2b
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
• 1）先消元电流 Ii。
G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
• 再求电流 Ii
I1 = G1 U21 + G1US1
I2 = G2 U31 I3 = G3 U32 + IS3 I4 = G4 U24 - G4 US4 I5 = G5 U14
I6 = G6 U43
支路电流法
示例：电路有6条支路。欲求解各支路电流Ii、电压Umn。
R1 1 I2
US1
R2
I1
方程的求解
再求各支路 电压
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
• 2）先消元电流 Ii。
代入
I1 = G1 U21 + G1US1
I2 = G2 U31 I3 = G3 U32 + IS3 I4 = G4 U24 - G4 US4 I5 = G5 U14
2）在某时刻 t 端电压 u(t) 不仅仅取决于该时刻的电 流 i (t)，而是取决于从 -到 t 所有时刻的电流值。
电容是记忆元件。
2.6 电感元件
• 当电感线圈通以电流 i 时，在线圈内将激发磁 链 。
i
1、线性电感
i 0
若电感的韦安关系是 -i
平面上过原点的一条直 线，称该电容为线性电 感。
代入
• 1）先消元电压Umn。
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US 4 R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US 4 R3US3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
G1 G4
1 I2 G2
I5
G5 I6
第2步：列独立节点KCL式 G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 3
G4 US4
G6 I4
4 G3
G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
I3 IS3
G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4
第4步：解方程
例3.4(P49)
回顾： 支路法
若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
I1
I5
2
R4
R5 I6
US4
R6
I4 4 R3
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0
I1 - I3 + I4 = 0
3
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0
I3 IS3
U24 + U43 + U32 = 0
2、 u(t)
t 0
iC +u -
d u(t)
i(t) = L
=0
dt
iC ••
+u -
•电压恒定，电容为开路
2、线性电容伏安关系
i(t) C du(t) dt
u(t) 1
t i( )d 1
0 i( )d 1
t
i( )d
C
C
C0
u(0) 1
t
i( )d
C0
1）端电压变化越快，电流越大
• 1）先消元电流 Ii。
G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
I6 = G6 U43
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0 I2 + I3 – I6 = 0
支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
U43 = R6 I6
3.3 支路法
1、概述 若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1)
各支路的伏安关系方程 数 b
总共方程数
2b
支路法
示例：电路有6条支路。欲求解各支路电流Ii、电压Umn。
R1 1 I2
US1
R2
相当于开路 – 直流电路属于电阻电路 – 电路方程是代数方程
3.2 含源支路
1、单口网络的端口伏安关系
i
+
u
N
—
u=f(i)
它反映该单口网络对其他部分所产生 的作用和影响。
它由该单口网络自身所决定。
2、单口网络的相互等效
如果两个单口网络的端口伏安关系相同，
则它们对外界所产生的作用和影响也是
相同的。 称这两个单口网络相互等效。
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
3、支路伏安关系 U21 = R1 I1 - US1
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4
R6
U14 = R5 I5
I4 4 R3
U43 = R6 I6
I3 IS3
共 12个方程
• 基本电路理论 C.A 狄苏尔，葛守仁 人民教育出版社 1979
• 电路分析基础（第3版） 李翰荪 高等教育出版社 1993
2.5电容元件
• 电容两极上存储的电荷量与极间电压的关系， 称为库伏关系。
q q
+u -
1、线性电容
若电容的库伏关系是q-u 平面上过原点的一条直 线，称该电容为线性电 容。
R6
I4
4
I3
R3
第3步：与KCL式联立
+R3 IS3
第3步：与KCL式联立
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US 4 R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US 4 R3US3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
支路电流法
第1步：电流源等效变换为电压源。
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6
US4
第2步：列回路KVL式
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US4
3
R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US4 R3US3
u 0
q=Cu
2、线性电容伏安关系
iC
+u -
q=Cu
d q(t)
d u(t)
i (t) = d t = C d t
例：若 u(t) 如图示， i (t) =？
例：
1、 u(t)
US t
0 t0 d u(t)
i (t0) = C d t = • 在电流有限的情况下，电容两端的电压不能突变
例：
3、等效单口网络举例
--实际电源模型
+
i
A+
- Us
R
u
Is
-
B
i
A+
Gu
B-
u= Us-Ri
i= Is-Gu
R=1/G
US=R IS IS=G US
3.2 含源支路
例：
i
+
- 10V
5Ω
A+ u 10/5 -
B
i
A+
5Ω u
B-
3.2 含源支路
例3.2：
2Ω 2Ω
2Ω
+
4V -
2Ω
I
+
4V +
I2 + I3 – I6 = 0 第4步：解方程
例3.3(P47)
支路电压法
第1步：电压源等效变换为电流源。
G1US1
I1 2
G1 G4
1 I2 G2
I5
G5 I6
第2步：列独立节点KCL式 3
G4 US4
G6 I4
4 G3
I3 IS3
支路电压法
第1步：电压源等效变换为电流源。
G1US1
I1 2
方程的求解
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
I2 + I3 – I6 = 0
U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
U21 = R1 I1 - US1
U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5
• 第3步：与KVL式联立。 G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
0
iL +u -
d i(t)
u(t) = L
=0
t
dt
iL •• +u -
•电流恒定，电感为短路
2、线性电感伏安关系
u(t) L di(t) dt
i(t) 1
t
u( )d 1
0 u( )d 1
t
u( )d
L
L
L0
u(0) Hale Waihona Puke Baidu1
t
u( )d
L0
1）端电流变化越快，电压越大
2）在某时刻 t ,端电流 i(t) 不仅仅取决于该时刻的电 压 u (t)，而是取决于从 -到 t 所有时刻的电压值。
电感是记忆元件。
互感元件
i1
i2
)
1
) )
2
1 = 11 + 12 = L1 i1 + M i2 2 = + 21 + 22 = + M i1 + L2 i2
互感元件
i1
M i2
+
+
)
u1
L1
) )
L2
u2
-
-
u1 L1 di1 M di2 dt dt
u2 M di1 L2 di2 dt dt
=Li
2、线性电感伏安关系
iL +u -
=Li d (t) d i(t)
u (t) = d t = L d t 例：若 i (t) 如图示， u (t) =？
例：
1、 i(t)
IS t
0 t0 d i(t)
u (t0) = L d t =
• 在电压有限的情况下，通过电感的电流不能突变
例：
2、 i(t)
2I
-
2Ω
-
I
2Ω
1Ω
2Ω
4V +
-
+ I
-
4V
+
-
I
I
I
2Ω
I
1Ω
2Ω
1Ω
3Ω
4V +
-
+ I
-
4V
+
-
+ I
-
I
I
KVL:
3I + I = 4 I = 1 (A)
2Ω 2Ω
4V
+
-
2Ω
I
+
4/2
2I -
2Ω
I
2Ω 2Ω
I
电路等效变换时， 4/2 应注意保持受控 源的控制支路不 变
I
2/3 Ω
u d
dt
互感元件
i1
M i2
+
*) *
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
-
i1
M i2
+
*)
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
-
i1
M i2
+
+
)
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
*
-
i1
M i2
+
) *
+
u1
L1
) )
L2
u2
-
*
-
M取+号
M取-号
第3章 线性直流电路
• 3.1 直流电路
– 电路的独立电源均为恒定电源 – 电路中的电感元件相当于短路、电容元件
方程的求解
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
I
3.3 支路法
1、概述 若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1)
各支路的伏安关系方程 数 b
总共方程数
2b
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
R6
I4 4 R3
I3 IS3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
• 1）先消元电流 Ii。
G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
• 再求电流 Ii
I1 = G1 U21 + G1US1
I2 = G2 U31 I3 = G3 U32 + IS3 I4 = G4 U24 - G4 US4 I5 = G5 U14
I6 = G6 U43
支路电流法
示例：电路有6条支路。欲求解各支路电流Ii、电压Umn。
R1 1 I2
US1
R2
I1
方程的求解
再求各支路 电压
3、支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
• 2）先消元电流 Ii。
代入
I1 = G1 U21 + G1US1
I2 = G2 U31 I3 = G3 U32 + IS3 I4 = G4 U24 - G4 US4 I5 = G5 U14
2）在某时刻 t 端电压 u(t) 不仅仅取决于该时刻的电 流 i (t)，而是取决于从 -到 t 所有时刻的电流值。
电容是记忆元件。
2.6 电感元件
• 当电感线圈通以电流 i 时，在线圈内将激发磁 链 。
i
1、线性电感
i 0
若电感的韦安关系是 -i
平面上过原点的一条直 线，称该电容为线性电 感。
代入
• 1）先消元电压Umn。
R1I1 R5I 5 R4I 4 US1 US 4 R2I 2 R6I 6 R5I 5 0
R4I 4 R6I 6 R3I 3 US 4 R3US3
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0
I2 + I3 – I6 = 0
G1 G4
1 I2 G2
I5
G5 I6
第2步：列独立节点KCL式 G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 3
G4 US4
G6 I4
4 G3
G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
I3 IS3
G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4
第4步：解方程
例3.4(P49)
回顾： 支路法
若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
I1
I5
2
R4
R5 I6
US4
R6
I4 4 R3
1、独立节点KCL
-I1 - I2 + I5 = 0
I1 - I3 + I4 = 0
3
I2 + I3 – I6 = 0
2、网孔KVL： U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0
I3 IS3
U24 + U43 + U32 = 0
2、 u(t)
t 0
iC +u -
d u(t)
i(t) = L
=0
dt
iC ••
+u -
•电压恒定，电容为开路
2、线性电容伏安关系
i(t) C du(t) dt
u(t) 1
t i( )d 1
0 i( )d 1
t
i( )d
C
C
C0
u(0) 1
t
i( )d
C0
1）端电压变化越快，电流越大
• 1）先消元电流 Ii。
G1U 21 G2U 31 G5U 14 G1US1 G1U 21 G3U 32 G4U 24 G1US1 IS3 G4US 4 G2U 31 G3U 32 G6U 43 IS3
U21 + U14 – U24 = 0 -U31 – U43 – U14 = 0 U24 + U43 + U32 = 0
I6 = G6 U43
-I1 - I2 + I5 = 0 I1 - I3 + I4 = 0 I2 + I3 – I6 = 0
支路伏安关系
U21 = R1 I1 - US1 U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4 U14 = R5 I5 U43 = R6 I6
U43 = R6 I6
3.3 支路法
1、概述 若电路有 b 条支路，n 个节点 求各支路的电压、电流。共2b个未知数
可列方程数 KCL: n-1 KVL: b-(n-1)
各支路的伏安关系方程 数 b
总共方程数
2b
支路法
示例：电路有6条支路。欲求解各支路电流Ii、电压Umn。
R1 1 I2
US1
R2
相当于开路 – 直流电路属于电阻电路 – 电路方程是代数方程
3.2 含源支路
1、单口网络的端口伏安关系
i
+
u
N
—
u=f(i)
它反映该单口网络对其他部分所产生 的作用和影响。
它由该单口网络自身所决定。
2、单口网络的相互等效
如果两个单口网络的端口伏安关系相同，
则它们对外界所产生的作用和影响也是
相同的。 称这两个单口网络相互等效。
支路法
示例
R1 1 I2
US1
R2
3、支路伏安关系 U21 = R1 I1 - US1
I1
I5
2
R4
R5 I6 3
US4
U31 = R2 I2 U32 = R3 （I3 - IS3 ） U24 = R4 I4 + US4
R6
U14 = R5 I5
I4 4 R3
U43 = R6 I6
I3 IS3
共 12个方程