黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三上学期期中考试数学(文)试题.docx

哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试
数学试题（文科）
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知集合{}
|3A x x =<，{}|20B x x =-≤，那么集合=B A Y A ．(],3-∞
B ．(),3-∞
C ．[)2,3
D ．(]3,2-
2．已知不共线的向量,a b ，||2,||3==a b ，()1⋅-=a b a ，则||-=a b A 3
B ．22
C 7
D 233．等差数列{}n a 中，35710133()2()24a a a a a ++++=，则这个数列的前13项和为 A ．13
B ．26
C ．52
D ．156
4．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是 A ．
13
3
π B ． 7π C ．11π D ． 12π
5．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移
4
π
个单位长度，所得图象 关于点3,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则ω的最小值是 A ．
13
B ．1
C ．
5
3
D ． 2
6．设,a b 是两个非零向量，则使⋅=a b a b 成立的一个必要不充分条件是 A ．=a b B ．⊥a b C ．(0)λλ=>a b D ．//a b
7．设tan()2πα+=，则
sin()cos()
sin()cos()
αππααππα-+-=+--
A ．
13
B ．1
C ．3
D ．-1
8．设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知241a a =，37,S =则5S =
A ．
152
B ．
314 C ．334 D ． 172
9．已知函数()3sin ,f x x x π=-命题:(0,),()02
p x f x π
∀∈<，则
A ．p 是真命题，00:(0,),()02p x f x π
⌝∃∈≥ B ．p 是真命题，:(0,),()02
p x f x π
⌝∀∈>
C ．p 是假命题，:(0,),()02p x f x π
⌝∀∈≥ D ．p 是假命题，00:(0,),()02
p x f x π
⌝∃∈≥ 10．已知函数(12)3,1
()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨
≥⎩
的值域为R ，则实数a 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．1
(1,)2
- C ．1[1,)2
-
D ． 1(0,)2
11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC ∆的形状是
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]
x ∈-时，1()12x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个
不同的实数根，则实数a 的取值范围是
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(
D ．
)
2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．等差数列{}n a 中，12342,4a a a a +=+=，则56a a += ． 14．设α为锐角，若3cos(),65π
α+
=则sin()12
π
α-= ． 15．已知向量)2,2(=，)1,4(=，在x 轴上存在一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标是 ．
16．在平面直角坐标系xoy 中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．已知点
(),P x y
是角θ终边上一点，()0OP r r =>，定义()r
y
x f -=θ．对于下列说法：
①函数()f
θ的值域是[； ②函数()f θ的图象关于原点对称；
D
C D 1
C 1
B 1
A 1
E
D
C
B
A
P
③函数()f θ的图象关于直线34
x π
=
对称； ④函数()f θ是周期函数，其最小正周期为2π； ⑤函数()f
θ的单调递减区间是32,2,.44k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
其中正确的是 ．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1110,910n n a a S +==+. （Ⅰ）求证：{lg }n a 是等差数列； （Ⅱ）设12
(lg )(lg )
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．（本题满分12分）
已知向量
m 2
(2cos x =n (1,sin 2)x =，函数()f x =⋅m n ．
（Ⅰ）求函数()f x 的图象的对称中心和单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c
，且()3,1,f C c ab ===且a b >，求,a b 的值．
19．（本题满分12分）
四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =2PD ，CD =2AB ，且平
面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．
（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求直线BE 与PA 所成角的余弦值． 20．（本题满分12分）
如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =AA 1=1，E 为BC 中点． （Ⅰ）求证：C 1D ⊥D 1E ；
（Ⅱ）在棱A 1D 1上是否存在一点M ，使得BM ∥平面AD 1E ? 若存在，求点M 的位置；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若AD =2，求点B 到平面AD 1E 的距离． 21．（本题满分12分）
已知函数()x x x a x f 2ln 2
-+=，其中R a ∈.
（Ⅰ）当4-=a 时，求函数()x f 的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的情况下，若满足()x f m >有解，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）试讨论函数()x f y =的图象上垂直于y 轴的切线的存在情况.
请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．(本题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
已知AB 是半圆O 的直径，AB =4，点C 是半圆O 上一点，过C ⊥CD 于D ，交半圆于E ，DE =1．
（Ⅰ）求证：AC 平分∠BAD ； （Ⅱ）求BC 的长．
23．(本题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 极坐标方程为2sin ,0,
.2πρθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
（Ⅰ）求C 的参数方程；
（Ⅱ）设点D 在C 上，
C 在
D 处的切线与直线:20l x --=垂直，根据（Ⅰ）中的参数方程，确定点D 的坐标．
24．（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（Ⅰ）已知不等式28x t t +-≤的解集是{}
54x x -≤≤，求实数t 的值； （Ⅱ）已知实数,,x y z 满足2
22
11249
x y z +
+=，求x y z ++的最大值．
哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试
数学（文科）答案
1—12 BABAD DCBAC DD 13．6； 14．
10
2
； 15．()0,3； 16．①③④ 17．（1）当2≥n 时，由1091+=+n n S a ，得1091+=-n n S a ，相减得：n n a a 101=+ ……2分
当1=n 时，11210100109a S a ==+=，∴)(10*
1N n a a n n ∈=+， ……3分
n n n a a a lg 1)10lg(lg 1+==∴+，
1lg lg 1=-∴+n n a a ，又1lg 1=a
{}n a lg ∴是首项为1，公差为1的等差数列； ……6分 （2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=
111
212n n n n b n ， ……9分
则⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-++-+-
=11131212112n n T n Λ=1
2+n n ． ……12分
18．解：（1）2
()2cos 2cos 212==+f x x x x x 2sin(2)16
π
=+
+x ……2分
令2,6
π
π+
=∈x k k Z ，,212ππ∴=-∈k x k Z ，∴对称中心为,1212ππ⎛⎫
-∈
⎪⎝⎭k k Z ……4分 令222,2
6
2
π
π
πππ-
≤+
≤+
∈k x k k Z ，∴,3
6
π
π
ππ-
≤≤+
∈k x k k Z
∴增区间：,36ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦k k k Z ……6分
（2）()2sin 2136π⎛⎫
=+
+= ⎪⎝
⎭f C C ，sin 216π⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭
C ， 0π<<Q C ，132,6
6
6π
π
π∴
<+
<
C 262
ππ∴+=C 6π
∴=C ， ……8分
()2
222222cos 2=+-=+=+-c a b ab C a b a b ab ，
1,==Q c ab ，
2∴+=a b =ab >a b ，2,∴==a b ……12分
19．解：（1）设1,=PD 2,60,=∠=o
Q PA PAD
2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD
，∴=AD ，222∴=+PA AD PD ……2分
∴⊥PD AD ，
又⊂Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面ABCD ……6分
（2）取PD 中点F ,连结,,Q AF EF E 为PC 的中点，//,∴EF CD 且1
,2
=
EF CD 又1
//,2
=Q AB CD AB CD ,//,∴=EF AB EF AB ,∴四边形AFEB 为平行四边形，
//,∴∴AF BE ∠PAF 为直线BE 与PA 所成的角， ……9分
设
1,
=PD 在
∆PAF
中
，
12,,22====PA PF
AF 1314cos +
-∴∠=
=PAF ∴直线BE 与PA
所成的角的余弦值为
. ……12分
20．证明：（1）连D 1C ，长方体中，EC ⊥平面DCC 1D 1，∴EC ⊥DC 1
∵AB=AA 1，∴正方形DCC 1D 1中，D 1C ⊥DC 1 又EC ∩D 1C=C ，∴DC 1⊥平面ECD 1
∵D 1E ⊂面ECD 1，∴C 1D ⊥D 1E ……4分
解：（2）存在点M 为A 1D 1中点，使得BM ∥平面AD 1E ．
证明：∵点D 1中点，E 为BC 中点
∴MD 1∴四边形BED 1M 是平行四边形，∴BM ∥D 1E 又BM ⊄平面AD 1E ，D 1E ⊂平面AD 1E
∴BM ∥平面AD 1E ……8分
解：（3）（方法一）设点B 到平面AD 1E 的距离为h ∵DD 1⊥平面ABCD
由11B AD E D ABE V V --=知，得1111
33
AD E ABE S h S DD ⋅=
⋅
N H
O
E D
C
B
A
D 1C 1
B 1
A 1
∵1122
ABE S AB BE =
⋅= Rt △AA 1D 中，AA 1=1，A 1D 1=2，∴AD 1
Rt △ABE 中，AB=BE=1，∴
Rt △D 1DE 中， D 1D=1，
D 1
∴AD 12
=AE 2
+D 1E 2
，即AE ⊥D 1E
∴1112AD E S AE D E =
⋅=
∴12h =
= ∴点B 到平面AD 1E
的距离为 ……12分
（3）（方法二）
连接DB 交AE 于点O ，∵
，∴OB=1
2
OD ， ∴点B 到平面AD 1E 的距离h 是点D 到平面AD 1E 距离的一半． 连接DE ，矩形ABCD 中，E 是BC 中点，AB=1，AD=2，∴
， ∴DE ⊥AE
∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥AE 又DE ∩DD 1=D ，∴AE ⊥平面D 1DE 作DH ⊥D 1E 于H ，∴AE ⊥DH 又AE ∩D 1E=E ，∴DH ⊥平面AD 1E ， ∴DH 为点D 到平面AD 1E 的距离，即1
2
h =
DH Rt △D 1DE 中，D 1D=1，
，∴
DH 3=
=
，即h = ∴点B 到平面AD 1E
的距离为6
． ……12分 21．解：（1）()()()0,122224'
>+-=-+-=x x
x x x x
x f
令()0'
>x f
，则2>x ； 令()0'<x f ，则20<<x ；
所以()x f 的单调递增区间为()+∞,2，单调递减区间为()2,0． ……3分 （2）()()2ln 4442ln 42min -=-+-==f x f ， ……5分 ()min x f m >∴，2ln 4->∴m ……7分 （3）函数()x f y =的图象上存在垂直于y 轴的切线，即方程()0'
=x f
存在正根，
()0,22222'
>+-=-+=x x
a
x x x x a x f ，令()a x x x g +-=222，
即方程0222
=+-a x x （*）存在正根． ()a a 21484-=-=∆ ① 当0<∆时，即2
1
>
a 时，方程（*）无解， 此时函数()x f y =的图象上不存在垂直于y 轴的切线； ……8分
② 当0=∆时，即21=a 时，方程（*）的解为21
=x ，所以存在一条满足条件的切线；……9分
③ 当0>∆时，即2
1
<
a 时， （i ）当()⎩⎨
⎧≤>∆0
00
g 时，即0≤a 时，方程（*）有且只有一个正根，
所以存在一条满足条件的切线； （ii ）当()⎩⎨
⎧>>∆0
00g 时，即21
0<<a 时，方程（*）有两个不等的正根，
所以存在两条满足条件的切线． ……11分
综上：21
>
a 时，不存在满足条件的切线； 21
=a 或0≤a 时，存在一条满足条件的切线；
2
1
0<<a 时，存在两条满足条件的切线． ……12分
22.已知AB 是半圆O 的直径,AB=4,点D 是半圆C 上一点,过点D 作半圆C 的切线CD,过点A 作AD ⊥CD 于D,交半圆于点E,DE=1.
(I)求证AC 平分∠BAD;(II)求BC 的长. 解(1)连接OC, 因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA
因为CD 为半圆O 的切线,所以OC ⊥CD, 因为AD ⊥CD,所以OC ∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以AC 平分∠BAD
………………5分 (2)连接CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以BC=CE. 因A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED, 因为AB 是半圆O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt △CDE 相似于Rt △ACB,
DE:CE=CB:AB,BC=2.
………………10分
23.在平面直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2sin ,0,
2πρθθ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
(I)求半圆C 的参数方程;
(II)设点D 在半圆C 上,半圆C 在D 处的切线与直线:20l x --=垂直,根据(I)中的参数方程,确定D 的坐标.
解 (I)半圆C 的普通方程为; []2
2
20,0,1,x y y x +-=∈ ………………2分
半圆C 的参数方程为cos ,,1sin .22x y αππαα=⎧⎛⎫⎡⎤
∈-⎨
⎪⎢⎥=+⎣⎦⎝
⎭⎩为参数 ………………5分 (II)设点D 对应的参数为α,则点D 的坐标为()cos ,1sin αα+且,22ππα⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦ 由(1)可知半圆C 的圆心是C(0,1),
因半圆C 在D 处的切线与直线l 垂直,故直线DC 的斜率与直线l 的斜率相等,
(1sin )1tan cos ααα+-==即,,,226πππαα⎡⎤
∈-∴=⎢⎥⎣⎦
Q ………………8分
所以点D
的坐标为3,22⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
………………10分 24.(I)已知函数()2f x x t t =+-,若不等式()8f x ≤的解集是{}
54,x x -≤≤.求实数t 的值;
(II)已知实数,,x y z 满足22
2
249
y z x ++=求x y z ++的最大值. 解 (I)()828,80,8f x x t t t t ≤+≤++≥≥-即得所以 ,
828,44,t x t t t x --≤+≤+--≤≤
由()8f x ≤的解集是{}
54,x x -≤≤得45,1t t --=-= ……5分
(II)由柯西不等式得()()2
22221491234923y z y z x x x y z ⎛⎫⎛
⎫+
+++≥++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭g g g (
)2
28,x y z x y z ≥++-≤++≤当且仅当320123
z
y x ==>即222
24949y z y z x x ==++=>0且,
亦即x y z =
==时((
)max x y z ++=……10分。