高一数学复习考点知识讲解课件4---直线的一般式方程

高一数学复习考点知识讲解课件
1.2.3直线的一般式方程
考点知识
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
导语
前面我们学习了直线的点斜式、斜截式、两点式方程，经过化简后可以发现它们都是二元一次方程．现在请同学们思考一下，在平面直角坐标系中的每一条直线是否都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示呢？
一、直线的一般式方程
问题直线y＝2x＋1可以化成二元一次方程吗？方程2x－y＋3＝0表示一条直线吗？
提示y＝2x＋1可以化成2x－y＋1＝0的形式，是二元一次方程.2x－y＋3＝0可以化为y ＝2x＋3，可以表示直线．
知识梳理
方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程．
注意点：
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程；
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列；
③x的系数一般不为分数和负数；
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
(2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质：
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合．
例1根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；
(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴．
解(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝3(x－5)，
即3x－y－53＋3＝0.
(2)由两点式，得直线方程为
y－5
－1－5
＝
x－(－1)
2－(－1)
，
即2x＋y－3＝0.
(3)由截距式，得直线方程为
x
－3
＋y
－1
＝1，
即x＋3y＋3＝0.
(4)y －2＝0.
反思感悟求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
跟踪训练1(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－1
2，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________； ②在x 轴和y 轴上的截距分别是3
2和－3的直线方程为________________； ③经过点P 1(3，－2)，P 2(5，－4)的直线方程为________________． 答案①x ＋2y ＋4＝0②2x －y －3＝0 ③x ＋y －1＝0
(2)在y 轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 答案x －y －6＝0
解析设直线的斜截式方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则由题意得k ＝tan45°＝1，b ＝－6，所以y ＝x －6，即x －y －6＝0.
二、直线的一般式方程化为其他形式的方程
例2(1)已知直线Ax ＋By ＋C ＝0(AB >0，BC >0)，则直线不经过() A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 答案A
解析直线Ax ＋By ＋C ＝0化为y ＝－A B x －C
B ，
又AB >0，BC >0，所以－A B <0，－C
B <0，则直线不经过第一象限．
(2)设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值：
①l 在x 轴上的截距是－3； ②l 的斜率是－1.
解①当直线在x 轴上的截距为－3时，有2m －6
m 2－2m －3＝－3，且m 2－2m －3≠0，解得m
＝－53.
②当斜率为－1时，有－
m 2－2m －32m 2＋m －1
＝－1，且2m 2＋m －1≠0，解得m ＝－2.
延伸探究
对于本例中的直线l 的方程，若直线l 与y 轴平行，求m 的值． 解∵直线l 与y 轴平行，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m －3≠0，
2m 2
＋m －1＝0，6－2m ≠0，
∴m ＝1
2.
反思感悟含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则需满足A ，B 不全为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．
(3)解分式方程要注意验根．
跟踪训练2(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为()
A.1
4B．2C．1D.
1
2
答案D
解析由题意得直线与坐标轴交点为(1,0)，(0，－1)，故三角形面积为1 2.
(2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的() 答案D
解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－a
b x－
c
b
，因为a，b，c都大于0，所以－a
b<0，－
c
b<0，
所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D.
三、直线一般式方程的应用
例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)证明将直线l的方程整理为y－3
5
＝a
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x－
1
5
，
∴直线l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限内，故不论a 为何值，l 恒过第一象限．
(2)解直线OA 的斜率为k ＝35－0
15－0
＝3.
如图所示，要使l 不经过第二象限，需斜率a ≥k OA ＝3， ∴a ≥3.
延伸探究
1．本例中若直线在y 轴上的截距为2，求a 的值，这时直线的一般式方程是什么？ 解把方程5ax －5y －a ＋3＝0化成斜截式方程为y ＝ax ＋3－a
5. 由条件可知3－a
5＝2，解得a ＝－7， 这时直线方程的一般式为7x ＋y －2＝0.
2．本例中将方程改为“x －(a －1)y －a －2＝0”，若直线不经过第二象限，则a 的取值范围又是什么？
解(1)当a －1＝0，即a ＝1时，直线为x ＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
(2)当a －1≠0，即a ≠1时，直线化为斜截式方程为y ＝1
a －1x －a ＋2a －1
，因为直线不过第
二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y 轴的截距小于等于零，即⎩⎪⎨⎪
⎧
1
a －1
≥0，a ＋2
a －1
≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a >1，
a ≤－2或a >1，
综上，可知a ≥1.
反思感悟已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
跟踪训练3直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
解(1)①当a ＝－1时，直线l 的方程为y ＋3＝0，显然不符合题意； ②当a ≠－1时，令x ＝0，则y ＝a －2，
令y ＝0，则x ＝
a －2a ＋1
.
∵l 在两坐标轴上的截距相等，
∴a －2＝
a －2a ＋1
，
解得a ＝2或a ＝0. 综上，a 的值为2或0.
(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，故要使l 不经过第二象限，只需⎩⎪⎨⎪⎧
－(a ＋1)≥0，a －2≤0，
解得a ≤－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1]．
1．知识清单：
(1)直线方程的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)直线一般式方程的应用．
2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归．
3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况．
1．直线x 3＋y
4＝1化成一般式方程为()
A ．y ＝－43x ＋4
B ．y ＝－4
3(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12 答案C
2．在平面直角坐标系中，直线x ＋3y －3＝0的倾斜角是() A ．30°B ．60°C ．150°D ．120° 答案C
解析直线斜率k ＝－3
3，所以倾斜角为150°，故选C.
3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )，则该直线过定点________． 答案(－2,1)
解析直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0， 即k (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，
∴当x ＋2＝0，－y ＋1＝0时过定点， ∴x ＝－2，y ＝1， ∴该直线过定点(－2,1)．
4．若直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角是45°，则实数m 的值是________． 答案3
解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2－5m ＋2m 2
－4
＝1，m 2－4≠0，
∴m ＝3.
课时对点练
1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为()
A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0
C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0
答案D
解析根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件()
A．bc＝0B．a≠0
C．bc＝0且a≠0D．a≠0且b＝c＝0
答案D
解析y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为
b＝c＝0，a≠0.
3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是()
答案C
解析将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a.
A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误．
4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足()
A．ab>0，bc>0B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0
答案B
解析直线ax＋by＋c＝0化为y＝－a
b x－
c
b
，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、第二、第
四象限，所以－a
b<0，－c
b>0，所以ab>0，bc<0.
5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()
A．－3，－1B.3，－1C．－3，1D.3，1
答案A
解析原方程化为x
1 a ＋y
1
b
＝1，
∴1
b
＝－1，∴b＝－1.
∴ax＋by－1＝0的斜率k＝－a
b
＝a，
∵3x－y－3＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan120°＝－3，∴a＝－3，故选A.
6．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()
A．2x＋y＋1＝0B．2x－y＋1＝0
C．2x＋y－1＝0D．x＋2y＋1＝0
答案A
解析因为点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，所以2a1＋b1＋1＝0，由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．因为点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，所以2a2＋b2＋1＝0，由此可知点P2(a2，b2)在直线2x＋y＋1＝0上，所以过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
7．斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为________________．
答案2x－y＋1＝0
解析由y－3＝2(x－1)得2x－y＋1＝0.
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案－4
15
解析把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－4
15.
9．已知直线l：x－2y＋2m－2＝0.若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，求实数m的值．
解直线l与两坐标轴的交点分别为(－2m＋2,0)，(0，m－1)，
则所围成的三角形的面积为1
2×|－2m＋2|×|m－1|，
由题意可知1
2×|－2m＋2|×|m－1|＝4，
化简得(m－1)2＝4，解得m＝3或m＝－1.
10．已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．
解设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y－1＝0上，
∴设B点坐标为(x,1)．
又∵A点坐标为(1,3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12，2. 又∵点D 在中线CD ：x －2y ＋1＝0上，
∴x ＋12－2×2＋1＝0，解得x ＝5，
∴B 点坐标为(5,1)．
同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)．
故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.
11．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是()
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 答案D
解析∵k ＝－1a 2＋1
，∴－1≤k <0. ∴倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 12．设A (－2,2)，B (1,1)，若直线l ：ax ＋y ＋1＝0与线段AB 有交点，则a 的取值范围是
()
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[2，＋∞)
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，2 C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2，32 答案C
解析由ax ＋y ＋1＝0得，y ＝－ax －1，
因此直线l 过定点P (0，－1)，且斜率k ＝－a ，
如图所示，当直线l 由直线P A 按顺时针方向旋转到直线PB 的位置时，符合题意．
易得k PB ＝1－(－1)
1－0＝2，k P A ＝2－(－1)
－2－0＝－32.
结合图形知，－a ≥2或－a ≤－32，解得a ≤－2或a ≥32.故选C.
13．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为________________．
答案2x ＋3y ＋4＝0
解析∵两条直线a 1x ＋b 1y ＋4＝0和a 2x ＋b 2y ＋4＝0都过点A (2,3)，
∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0，
因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0.
14．若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________．
答案3
解析由题意可知直线过点(0,1)，
代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，
解得m＝3或m＝－1，
当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3.
15．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为____________．
答案x＋4y－14＝0
解析过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)．
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AMH≌Rt△COA，
∵OC＝1，∴AM＝OC＝1，又MH＝OA＝2，∴OM＝OA＋AM＝3，
∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)，
∴直线FH的方程为y－3
4－3＝
x－2
－2－2
，
化为一般式方程为x＋4y－14＝0.
16．已知方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0(m∈R)．
(1)若方程表示一条直线，求实数m的取值范围；
(2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m的值，并求出此时的直线方程；
(3)若方程表示的直线在x轴上的截距为－3，求实数m的值；
(4)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m的值．
解(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或m＝3；
令2m2＋m－1＝0，解得m＝－1或m＝1
2.
所以若方程表示一条直线，则m≠－1.
即实数m的取值范围为{m|m≠－1}．
(2)由(1)知当m＝1
2
时，方程表示的直线的斜率不存在，且直线方程为x＝4
3.
(3)依题意，得2m －6
m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，m 2－2m －3≠0， 所以m ＝－53.
(4)因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，
所以－m 2－2m －32m 2＋m －1
＝1,2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43， 所以若方程表示的直线的倾斜角为45°，则m ＝43.。